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第20讲 正切、正弦、余弦
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握正切、正弦、余弦的概念，知道锐角三角函数； 2．会运用公式求边长或角度。
1.认识正切的概念
在Rt▲ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与
邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，
即
（1）那么tanB等于什么呢？有tanC这个值吗？
c无邻边，所以tanc无意义
（2）那么tanA与tanB是什么关系呢？
互为倒数
因此，如果有两个角 互余 ，那么这两个数的正切值 互为倒数 。
2.在Rt▲ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与
斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
我们把∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
（1）那么sinB和cosB等于什么呢？有sinC和cosC这个值吗
sinc=1 cosc=0
（2）那么sinA与cosB有什么关系？sinB与cosA呢？
相等
因此，如果两个角 互余 ，那么其中一个数的 正弦值 等于另一个数的 余弦值 。
（3）观察一下sinA、cosA、tanA的结果，总结它们的关系。
（4）根据sinA与cosA的值，求出sin A+cos A。
sin A+cos A=1
考点一：正切、正弦、余弦的概念理解
例1．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断．
【详解】解：，
，
、，故不符合题意；
、结论正确，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意．
故选：B．
【变式1-1】如图，在中，于点，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误；
故选C．
【变式1-2】如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ．
【答案】 c b a
【分析】根据各边名称定义写出每边的代号即可．
【详解】（1）直角三角形的斜边为最长边c
（2）∠B的对边是∠B正对的边b
（3）∠B的邻边是a，
（4）∠B的对边比斜边即等于b÷c=
故答案为①c②b③a④
【点睛】本题考查直角三角形各边名称，熟记这些名称是解题关键．
【变式1-3】如图，在中，，，，，的对边分别是，，．
(1)利用锐角三角函数的定义求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了三角函数的定义；
（1）根据三角函数的定义进行证明即可；
（2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可．
解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，．
【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，，
∴，，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．
考点二：求正切、正弦、余弦的值
例2．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
先由菱形的性质得，再由勾股定理求出，然后由锐角三角函数的定义即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，且，
，
，
，
故选：C．
【变式2-1】如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点C作交于点E计算即可．
【详解】解：如图，过点C作交于点E．
∵，，
∴．
∵，
∴设，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【变式2-2】如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是 ．
【答案】
【分析】此题考查三角函数，勾股定理，根据，设，求出，再根据勾股定理求出．
【详解】在中，，
∴，
设，
∵垂直平分，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为．
【变式2-3】如图，在中，．
(1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知，，求的值．
【答案】(1)画图见解析
(2)
【分析】（1）作的角平分线，过作的垂线，垂足为，以为圆心，为半径画圆，则即为所求；
（2）由（1）得：，，，结合，，由面积可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，以为圆心，为半径画圆，作于M，
由角平分线的性质可得：到的距离为圆的半径，
∴是的切线，即，
由作图可得：是的切线，
∴即为所求．
（2）解：由（1）得：，，，
∵，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是作角平分线，作垂线，作圆，切线的判定，角平分线的性质，锐角的正切的含义，熟练的作图是解本题的关键．
考点三：由正切、正弦、余弦的值求边长
例3.如图，的半径为5，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，正切等知识．熟练掌握切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，正切的定义是解题的关键．
如图，连接，则，由，可得，由圆周角定理得，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵切于点B，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式3-1】如图是等边三角形，点是边的三等分点，连接．若的周长为9，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质和正弦的定义，先过点D作于点E，由题意得到，，在中，利用正弦定义求即可．
【详解】解：过点D作于点E，
∵是等边三角形且周长为9，
∴，，
∵点是边BC的三等分点，
∴，
在中，
，
∴，
∴点到AC的距离为．
故选：A
【变式3-2】如图，在正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，此时与交于点，则的长度为 ．

【答案】/
【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，根据正方形的性质、勾股定理求出，根据旋转的性质，得出得出，根据计算，最后根据得出答案即可，熟练掌握解直角三角形、数形结合是解题的关键．
【详解】解：∵在正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
【变式3-3】如图，在矩形中，为边上一点，连结．若，过点作于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）利用即可证明；
（）由设，，则，由勾股定理得，进而得，再根据可得，求出即可求解；
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴．
1．在中，，，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解直角三角形，根据已知条件，利用正切定义求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
故选：D．
2．在中，，，，则的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7.5
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据正弦函数的定义即可直接求解．
【详解】解：∵，
设，，
∴，
∴，
解得，
∴．
故选：C．
3．如图，在中，，是边上的中线，，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据是边上的中线得到，再根据锐角的正弦值列式计算即可得解．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∴．
故选：C．
4．如图，点在正方形网格的格点上，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，计算出和的长度．设于，小正方形边长为1，然后根据正方形的性质和勾股定理，可以得到和的长，然后即可计算出的值，从而可以得到的值．
【详解】解：如图，设于，
设小正方形边长为1，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
在中，．
的值是，
故选：D．
5．如图，在正方体中，的正切值为（ ）

A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理、正切的定义，由题意得，，设，则，再由正切的定义计算即可得解．
【详解】解：由题意得：，，
设，则，
∴，
故选：A．
6．如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理和求三角函数值，作于点D，由勾股定理可得，再用三角形等面积法，求出的长，从而求出答案．
【详解】解：如图，作于点D，
每个小正方形边长为1，
，
由三角形等面积法可得：，即，
，
，
故选：B．
7．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．
设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：设宽为，
∵宽与长的比是，
∴长为：，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
变形得：，
，，
∴，
故选A．
8．如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算方法，掌握全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法，合理构造三角形全等是解题的关键．
过点作于点，过点作于点，可证，可得，再证，可得，设，则，，，，
，在中，运用勾股定理可得，根据等面积法，可求出的值，在中，可求出的值，再根据正切值的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点是中点，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：D ．
9．如图，在矩形中，，，与的平分线相交于点．直线是边AD的垂直平分线，连接AE交直线于点，则 ，线段PE的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形性质、解三角形、相似三角形的判定和性质．
过点E作，垂足为H，过点E作，垂足为N，可得、都是等腰直角三角形，从而求出，，进而可得，，再由正切定义和平行线分线段成比例定理求解．
【详解】解：过点E作，垂足为H，过点E作，垂足为N，
∵在矩形中，，，，
∴，，
∴、都是等腰直角三角形，
∴
∴，
∴，
∴在中，，
，
又∵直线是边AD的垂直平分线，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
故答案为： ； ．
10．在中，，，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查求角的余弦值，根据余弦值等于角度邻边与斜边的比值，进行计算即可．
【详解】解：∵，，，

∴；
故答案为：．
11．如图，半径为6的扇形中，，C，D分别是半径的中点，连接，则图中阴影部分面积为 ．（用含的式子表示）
【答案】/
【分析】本题考查了锐角三角函数，扇形面积；过点C作于E，求出，则可求得面积，再利用扇形面积减去面积，即得阴影部分面积．
【详解】解：如图，过点C作于E，
C，D分别是半径的中点，
，
，
，
则；
故；
故答案为：．
12．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形，设小正方形的边长为，依题意可得，，，继而得到，进而得，根据正切的定义可求出答案．解题的关键是准确识图，熟练掌握正方形的性质、平行线的判定及性质和正切的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵有个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，设小正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．

【答案】/
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切数的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
∴在中，，
∴，
设，则
∵在中， ，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义．
14．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于D，先求出，再利用等面积法求出，利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，
由网格的特点和勾股定理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，在中， ，求的值．
【答案】
【分析】由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，正弦、余弦、正切．熟练掌握是解题的关键．
16．如图，在中，，点在边上，，．

(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；
（1）利用三角形外角的性质，结合等角对等边即可解决问题．
（2）过点作的垂线构造出直角三角形即可解决问题．
【详解】（1）解：，
，
又，
．
又，
，
．
，，
．
（2）过点作的垂线，垂足为，
，
，
．
在中，，
．
17．如国，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点，且与边相切于点，与相切于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，得到，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的判定定理好可得证；
（2）连接，设，，根据勾股定理得到，求得，，设的半径为，则，，证明，根据相似三角形的性质即可得结论．
【详解】（1）证明：∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∵，是的切线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，，与相切于点，
∴，，
设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设的半径为，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
18．给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．
(1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°；
(2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）
【答案】(1)=；120
(2)；理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理和等腰三角形的性质：
（1）先判断出，进而判断出，得出，，即可得出答案；
（2）在上截取，使，连接，先判断出，进而判断出，最后利用等边三角形性质求解，即可得出答案；
（3）方法同（2）可得解
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴和是等边三角形，
∴
∴；
故答案为：=；120；
（2）解：；理由如下：如图，
在上截取，使，连接，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵
∴，
∵，，，
∴
由（1）知，，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴；
（3）解：；理由如下：如图，
在上截取，使，连接交于K，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵
∴，
∵，，，
∴
由（1）知，，
∴，
∴
∴
又
∴
∴
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第20讲 正切、正弦、余弦
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握正切、正弦、余弦的概念，知道锐角三角函数； 2．会运用公式求边长或角度。
1.认识正切的概念
在Rt▲ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与
邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，
即
（1）那么tanB等于什么呢？有tanC这个值吗？
（2）那么tanA与tanB是什么关系呢？
因此，如果有两个角 ，那么这两个数的正切值 。
2.在Rt▲ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与
斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
我们把∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
（1）那么sinB和cosB等于什么呢？有sinC和cosC这个值吗
（2）那么sinA与cosB有什么关系？sinB与cosA呢？
因此，如果两个角 ，那么其中一个数的 等于另一个数的 。
（3）观察一下sinA、cosA、tanA的结果，总结它们的关系。
（4）根据sinA与cosA的值，求出sin A+cos A。
考点一：正切、正弦、余弦的概念理解
例1．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，在中，于点，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ．
【变式1-3】如图，在中，，，，，的对边分别是，，．
(1)利用锐角三角函数的定义求证：；
(2)若，求的值．
考点二：求正切、正弦、余弦的值
例2．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是 ．
【变式2-3】如图，在中，．
(1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知，，求的值．
考点三：由正切、正弦、余弦的值求边长
例3.如图，的半径为5，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【变式3-1】如图是等边三角形，点是边的三等分点，连接．若的周长为9，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】如图，在正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，此时与交于点，则的长度为 ．

【变式3-3】如图，在矩形中，为边上一点，连结．若，过点作于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
1．在中，，，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7.5
3．如图，在中，，是边上的中线，，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点在正方形网格的格点上，则是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方体中，的正切值为（ ）

A． B． C．1 D．
6．如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，，与的平分线相交于点．直线是边AD的垂直平分线，连接AE交直线于点，则 ，线段PE的长为 ．
10．在中，，，，则的值是 ．
11．如图，半径为6的扇形中，，C，D分别是半径的中点，连接，则图中阴影部分面积为 ．（用含的式子表示）
12．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是 ．
13．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．

14．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值等于 ．
15．如图，在中， ，求的值．
16．如图，在中，，点在边上，，．

(1)求的长；
(2)求的值．
17．如国，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点，且与边相切于点，与相切于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的直径．
18．给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．
(1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°；
(2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）
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