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专题03 分式
【考点1：】分式 【考点2：】分式的基本性质
【考点3：】分式的加减 【考点4：】分式的乘除
【考点5：】分式方程
一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.
2.分式的基本性质
　　（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简.
二、分式的运算
1．约分　
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　
3．基本运算法则
　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.
注：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
四、分式方程的应用
　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
考点剖析
【考点1：】分式
1．分式中，当时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零 B．分式无意义
C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零
2．若分式的值为0，则x 的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
3．若，且，则分式 ．
4．已知，则分式为 ．
5．已经，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
6．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将变形为满足以上结果要求的形式： ；
(2)将变形为满足以上结果要求的形式： ；
(3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ．
【考点2：】分式的基本性质
1．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（ ）
A． B． C． D．
2．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．不变
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
3．已知，，则 ．
4．不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ．
5．（1）通分：和；（2）约分：
6．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
【考点3：】分式的加减
1．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．1
3．化简： ．
4．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务．
5．观察下列等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
…
(1)按上面的规律，第6个等式为 ．
(2)请你归纳出第个等式（用含的等式表示， 为正整数），并运用分式的有关知识证明你的结论．
6．【阅读理解】
材料1：为了研究分式与分母的关系，小明得到数据如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 0.5 0.25 …
从表格数据观察可知，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．
【应用新知】
（1）当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）；
当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
【能力提升】
（3）当时，求代数式值的取值范围．
【考点4：】分式的乘除
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．对于任意两个非零实数，，定义新运算“*”如下：，例如：．则
（1） ．
（2）若，则的值为 ．
4．如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即，那么 ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
5．计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
6．【阅读材料】在解决分式问题时，例数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其例数形式，进行相应的化简计算，最后再将求得的值求倒数以达到解决问题目的．
例：若，求代数式的值．
解：，
，
，
．
【尝试解决】已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【考点5：】分式方程
1．某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．2
3．若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是 ．
4．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
5．解方程：
(1)；
(2)．
6．为了方便师生锻炼身体，某学校准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，乙工程队每天施工，甲工程队每天比乙工程队每天多施工，甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于．求甲工程队至少单独施工多少天？
过关检测
1．代数式，，，，，中分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．若，则□内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
3．淇淇准备完成题目： “解方程： ”发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是， 请你帮助淇淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
5．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（ ）
A． B． C． D．
6．2023年9月23日，第19届亚运会在浙江举行，金华作为协办城市也在紧锣密鼓的做着最后的准备，迎接亚洲各国宾客的到来．体育中心的一项装饰任务，若甲、乙两队合作，4天可以完成．他们合作了3天后，乙队另有任务，甲队单独又用了天才全部完成．问甲、乙两队单独做，各需几天完成？设甲队单独做需要天，根据题意可列出方程（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，…，（n为正整数，且，1），则用含t的式子的结果为（ ）
A．t B．－t C． D．
8．甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．利用分式基本性质变形可得，则整式 ．
10．当时，分式无意义，则的值为 ．
11．若实数x满足，则的值为 ．
12．若关于的一元一次不等式组恰好有个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ．
13．若实数都是整数，且，则 ．
14．已知非0实数a，b，c满足．则 ．
15．已知，，都是正数）．
(1)计算：；
(2)若，说明的理由；
(3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系．
16．某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
(2)如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于62%(不考虑其他因素)，那么每件恤衫的标价至少是多少元？
17．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．
18．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”．
(1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k．
(2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”．
①________（用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________．
(3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值．
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【考点1：】分式 【考点2：】分式的基本性质
【考点3：】分式的加减 【考点4：】分式的乘除
【考点5：】分式方程
一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.
2.分式的基本性质
　　（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简.
二、分式的运算
1．约分　
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　
3．基本运算法则
　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.
注：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
四、分式方程的应用
　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
考点剖析
【考点1：】分式
1．分式中，当时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零 B．分式无意义
C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零
【答案】D
【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零．
根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果．
【详解】当时，
，
即，
解得： ，
当，时，分式的值为零
故选：D．
2．若分式的值为0，则x 的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故选：C．
3．若，且，则分式 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了等式的性质，分式的定义，正确化简是解题的关键．利用，且，求出即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
故答案为：2024．
4．已知，则分式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减和分式的值，解题的关键是掌握分式的性质和整体代入求值．利用已知条件中的等式可变形为，再整体代入分式，然后合并同类项、约分求值．
【详解】解：∵，
，即，
，
故答案为：．
5．已经，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式：
（1）根据完全平方公式得到，则；
（2）根据完全平方公式得到，则．
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
．
6．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将变形为满足以上结果要求的形式： ；
(2)将变形为满足以上结果要求的形式： ；
(3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)2或6
【分析】本题主要考查了分式的求值，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键．
（1）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可；
（2）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可；
（3），且为正整数，推出为整数，进而推出或，由此可得答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，且为正整数，
∴为正整数，
∴为整数，
∵也为正整数，
∴或，
∴或，
故答案为：2或6．
【考点2：】分式的基本性质
1．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查分式的基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
2．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．不变
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【分析】本题考查的是分式的性质，先把分式中的x、y用，代替，再把所得式子与原式相比较即可．
【详解】解：把分式中，的值都扩大为原来的2倍，
则分式变为，
即分式的值缩小为原来的，
故选：A．
3．已知，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解．
【详解】解：
；
当，时，原式．
故答案为：1．
4．不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
5．（1）通分：和；（2）约分：
【答案】（1）；；（2）
【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．
（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；
（2）原式变形后，约分即可得到结果．
【详解】解：（1）；
（2）原式．
6．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的灵活运用，熟记公式与运算法则是解本题的关键；
（1）先计算整式的乘法与除法运算，再合并同类项，最后整体代入计算即可；
（2）先计算整式的乘法运算，合并同类项，最后计算，再代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
∵，
原式；
（2）
，
∵，
原式．
【考点3：】分式的加减
1．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的减法，先化成同分母的分式，再分子相减即可．
【详解】原式
，
故选：A．
2．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】本题考查异分母的分式的减法，掌握分式加减法的法则是解题的关键．
先分解因式并约分，再加减即可．
【详解】
故选：D．
3．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查同分母分式的减法，分母不变，分子相减，将结果化为最简形式即可．
【详解】解：；
故答案为：．
4．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可．
【详解】解：根据题意得：
，
即结果提前天完成任务．
故答案为：
5．观察下列等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
…
(1)按上面的规律，第6个等式为 ．
(2)请你归纳出第个等式（用含的等式表示， 为正整数），并运用分式的有关知识证明你的结论．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】此题考查分式的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．
（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第n个式子为．
（2）由（1）的规律发现第n个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
【详解】（1）解：第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：；
……
由此规律可得，第6个等式为，
即．
故答案为：．
（2）由（1）可得，第个等式为．
证明：等式右边等式左边，
∴等式成立．
6．【阅读理解】
材料1：为了研究分式与分母的关系，小明得到数据如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 0.5 0.25 …
从表格数据观察可知，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．
【应用新知】
（1）当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）；
当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
【能力提升】
（3）当时，求代数式值的取值范围．
【答案】（1）减小，减小；（2）2；（3）
【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
（1）由的变化情况，判断、的变化情况即可；
（2）由，即可求解；
（3）由，再结合的取值范围即可求解．
【详解】解：（1）∵当时，随着的增大而减小，
∴随着的增大，的值减小；
∵当时，随着的增大减小，
∵，
∴随着的增大，的值减小；
（2）∵，
∵当，随着的增大时，的值无限接近0，
∴的值无限接近2；
（3），
∵时，，
∴，
∴．
【考点4：】分式的乘除
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项，分式的乘除运算，分式的乘方，同分母分式的减法运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用合并同类项的法则，分式的乘除运算法则，分式的乘方法则，同分母分式的减法运算法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意；
故选：D．
2．若，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了分式的运算，幂的乘方，由，得到，进而得到，即可求解，掌握分式的运算的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．对于任意两个非零实数，，定义新运算“*”如下：，例如：．则
（1） ．
（2）若，则的值为 ．
【答案】 / 506
【分析】本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）按照新定义进行计算即可；
（2）根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：（1）．
故答案为：；
（2），
，
，
故答案为：506．
4．如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即，那么 ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
【答案】
【分析】本题主要考查了与分式运算相关的规律探索题，正确根据题意得到是解题的关键．
【详解】解：∵，
故．
故答案为：．
5．计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，当时，原式．
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）根据同分母分式的加减法则进行计算即可；
（2）先通分，再把分子相加减即可；
（3）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当时，原式．
6．【阅读材料】在解决分式问题时，例数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其例数形式，进行相应的化简计算，最后再将求得的值求倒数以达到解决问题目的．
例：若，求代数式的值．
解：，
，
，
．
【尝试解决】已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查倒数法求解分式，掌握分式的性质是解题的关键．
（1）根据材料提示的倒数法进行计算即可求解；
（2）运用倒数法，完全平方公式即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
．
（2）解：，
．
【考点5：】分式方程
1．某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，
根据题意得：，
即，
故选：D．
2．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
【详解】解：
方程两边都乘，得，
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，
故的值是3．
故选：．
3．若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为负数列出不等式求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
解得，
∵关于x的方程 的解为负数，
∴，
∴，
故答案为：．
4．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，先解一元一次不等式组，求出的取值范围，再解分式方程，求出，最后再求出同时满足已知的两个条件，求出答案即可．
【详解】，
由①得：，
由②得：，
关于的不等式组的解集为，
，
解得：，
，
，
，
，
，
关于的分式方程的解为正整数，
或4或6或8或，
解得：或1或3或5或7，
，
，
，即
满足条件的整数的值为：1或3或5，
所有满足条件的整数的值之和是：，
故答案为：9．
5．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，
（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程无解；
（2）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为．
6．为了方便师生锻炼身体，某学校准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，乙工程队每天施工，甲工程队每天比乙工程队每天多施工，甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于．求甲工程队至少单独施工多少天？
【答案】(1)300
(2)5天
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）利用工作时间工作总量工作效率，结合甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工天，根据两队完成的施工面积不少于可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为300；
（2）解：设甲工程队单独施工天，则乙工程队单独施工天，
根据题意得，解得，
所以甲工程队至少单独施工5天．
过关检测
1．代数式，，，，，中分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此求解即可．
【详解】解：代数式，，，，，中是分式的有，，共2个，
故选：A．
2．若，则□内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的乘除法，单项式除以单项项，单项式乘以单项项，根据整式的乘除法法则进行计算即可，掌握整式的乘除法法则是解题的关键．
【详解】解：由题意可得,内应填的代数式为：，
故选：D．
3．淇淇准备完成题目： “解方程： ”发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是， 请你帮助淇淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程，设分母的位置印刷不清的地方为，依题意，，得出，进而逐项分析判段，即可求解．
【详解】解：设分母的位置印刷不清的地方为，依题意，
解得：
当时，，故A选项正确，符合题意；
，B选项错误，
，C选项错误；
，D选项错误
故选：A．
4．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．
解分式方程，根据分式方程的解为非负数，进而列出一元一次不等式，结合分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴且，
解得：且，
故选：D．
5．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解．
【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数，
必为正整数．
为的正因数，可能为，，，，
为非负整数，
可能为，，．
又为正整数，
或或均符合题意，共种可能．
故选：A．
6．2023年9月23日，第19届亚运会在浙江举行，金华作为协办城市也在紧锣密鼓的做着最后的准备，迎接亚洲各国宾客的到来．体育中心的一项装饰任务，若甲、乙两队合作，4天可以完成．他们合作了3天后，乙队另有任务，甲队单独又用了天才全部完成．问甲、乙两队单独做，各需几天完成？设甲队单独做需要天，根据题意可列出方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设甲单独完成需要天，根据“他们合作了3天后，乙队另有任务，甲队单独又用了天才全部完成”列出方程即可求出答案．
【详解】解：设甲单独完成需要天，则甲的工作效率为
由题意可知：两人合作的工作效率为，
乙的工作效率为，
．
故选：B．
7．已知，，，…，（n为正整数，且，1），则用含t的式子的结果为（ ）
A．t B．－t C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意求出、、、，并从中找出循环节为、、，求出每一个循环节三个数的乘积，即可求出答案．
本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律．
【详解】∵，
，
，
结果每3个一循环，循环节为、、，
∵，
∴从到一共673个循环，且余2，
，
，
．
故选：B
8．甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的实际应用，以及分式方程的实际应用，根据函数与图象中的信息，结合时间、路程、速度三者之间的关系和追击问题的等量关系，对上述说法一一分析，即可解题．
【详解】解：由图知甲、乙两位同学最终停下来时，离A地的路程s（）最大为，
①正确，
由图知乙到B地时，甲到B地时，（），
②正确，
乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．
设乙从A地刚出发时的速度为，则停留后的速度为，
由图知乙在中途停留前已走，则停留后行驶路程为（），总的行驶时间为（），
有，解得，
乙从A地刚出发时的速度为（），
③正确，
根据图象可知，甲的速度为
乙在途中停留后，二者第三次相遇， 乙中途停留前运动时间为
乙的第二个拐点时间为（），
由图知第三次相遇在第二个拐点之后，即第三次相遇时间大于第二个拐点时间，
设乙继续前进t小时后二者相遇， 根据题意得：
解得
故第三次相遇为乙出发后
④正确．
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
9．利用分式基本性质变形可得，则整式 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的基本性质，根据分子分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变求解即可．
【详解】解：，
∴，
故答案为：．
10．当时，分式无意义，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可．
【详解】∵当时，分式无意义，
∴当时，，
代入得，解得，
故答案为：．
11．若实数x满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，代数式求值．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
先通分，然后进行除法运算，可得化简结果，然后整体代入求解即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
12．若关于的一元一次不等式组恰好有个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ．
【答案】
【分析】首先分别解一元一次不等式组及分式方程得到，，再根据一元一次不等式组恰好有个偶数解及分式方程有整数解即可解答．
再根据分式方程有整数解可得
【详解】解：∵，
由得：，
由得：，
∵不等式组恰好有个偶数解，
∴，
∴不等式组的个偶数解为，
∴，
∴，
解得：，
∵分式方程可化为，
解得：，
∵分式方程有解，
∴，
∴，
∵分式方程有整数解，
∴为整数，必须为的倍数，
∵且，
∴符合条件的整数为，
∴符合条件的整数的和为，
故答案为．
【点睛】本题考查了利用一元一次不等式组及分式方程的解求参数，学会解一元一次不等式组及分式方程是解题的关键．
13．若实数都是整数，且，则 ．
【答案】8
【分析】本题考查分式的方程的应用，熟练解分式方程是正确解决本题的关键．
利用已知条件建立分式方程，并全面地进行分类讨论即可得出．
【详解】解：当时，，
，
不是整数，与题设矛盾，
，
令，
由题设m、n为正整数，
设，
由①得，
代入②，整理得，
是正整数，
或2或3，
又，
或，
当时，
由①②解得，（不合题意，舍去），
当时，
由①②解得，，
．
故答案为：8.
14．已知非0实数a，b，c满足．则 ．
【答案】9
【分析】用第一个括号里的算式分别乘以第二个括号里的三个分式，结合化简，所得三部分合并再化简，结合二数和完全立方式展开变形，代入化简即得．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算化简，完全立方公式的推导及变形运用，是解决本题的关键．
【详解】∵，
同理，，，
∴原式，
又，即，
则，
故原式．
故答案为：9．
15．已知，，都是正数）．
(1)计算：；
(2)若，说明的理由；
(3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或或
【分析】本题考查了分式的加减运算；
（1）根据分式减法计算即可．
（2）根据得到，的关系式．
（3）根据与，的关系求解．
【详解】（1）解：
．
（2），
，
，
，
，
．
（3）
，
是正整数，，都是正数，
或或．
或或，
或或．
16．某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
(2)如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于62%(不考虑其他因素)，那么每件恤衫的标价至少是多少元？
【答案】(1)该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是40元和44元
(2)每件恤衫的标价至少是72元
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
（1）设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；
（2）设每件恤衫的标价至少是元，根据题意列出不等式解答即可．
【详解】（1）解：设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据题意可得，解得，
经检验是方程的解，
，
答：该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是40元和44元；
（2）解：（件），
设每件恤衫的标价是元，根据题意可得，解得，
答：每件恤衫的标价至少是72元．
17．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．
【答案】(1)，；
(2)这的水不能倒完，理由见解析；
(3)经过次操作之后能达到．
【分析】（1）模仿阅读材料可得答案；
（2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断；
（3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴
故答案为：，．
（2）解：∵
，
∴这的水不能倒完；
（3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为
，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
∴经过次操作之后能达到．
【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式．
18．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”．
(1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k．
(2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”．
①________（用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________．
(3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值．
【答案】(1)是，
(2)①－3x－6；②1
(3)6或22
【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，二元方程的整数解，理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键．
（1）把与相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可；
（2）把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“关联分式”，且“关联值” ，求出多项式M，最后根据为正整数，分式的值为正整数求出x值即可．
（3）把E与F相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据E与F互为“关联分式”，且“关联值” ，得到，当时，，当时，则，根据a，b为整数解得，或，，即可求得．
【详解】（1）解：，，
，
与互为“关联分式”， “关联值”；
（2）解：①，，
，
与互为“关联分式”，且“关联值” ，
，
，
②，
分式的值为正整数．
或，此时的值为1或，
为正整数，
的值为1．
（3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”，
∴
∵
∴
∴
∴
∵a，b为整数
∴当时，
当时，则
∵a，b为整数
∴，或，，
∴．
综上，c的值为6或22．
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