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第01讲 一元二次方程和一元二次方程的解法（直接开平方）
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过观察，归纳一元二次方程的概念； 2．会用直接开平方法解形如（x+h） =k（h、k为常数，k≥0）
1.用方程的关系表示
正方形的面积是4，设正方形的边长为x，表示它们之间的关系。
x =4
2.认识一元二次方程
回顾一下一元一次方程的概念
一元一次方程：一个未知数，最高次数的为1的方程。
因此，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程三要素：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2.
3.一元二次方程的一般形。
一般形式 ax +bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）
项及项的系数 二次项为ax ；二次项系数为a.
一次项为bx；一次项系数为b.
常数项为c.
特点 方程左边是关于未知数的二次整式，右边为0.
4.一元二次方程的特殊形式
特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项
ax +bx=0（a≠0，b≠0） a b 0
ax +c=0 （a≠0，c≠0） a 0 c
ax =0 a 0 0
5.一元一次方程的解
概念 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
判断一个数是不是一元二次方程的根 将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个返程的根。
6.一元二次方程的解法（一）
解x2=4（用平方根的方法） x=±2
于是我们知道一元二次方程x2=4有两个根，它们分别记为x1=2，x2=-2.
像这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开方法.形如（h、k为常数，k≥0）的一元二次方程，可以用直接开方法求解.
考点一：一元二次方程的定义
例1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、化简后为是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；
结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得．
故选：C．
【变式1-2】若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把代入一元二次方程中求出a的值，再根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得或，
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∴．
∴a的值为0．
故答案为：0．
【变式1-3】已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1）由题意，得解得．
（2）由题意，得，∴．
考点二：一元二次方程的一般形式
例2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，，
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中， a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据概念作答即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数，常数项．
故选A．
【变式2-1】若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可．熟知一元二次方程的一般形式各项的系数是关键．
【详解】解：
∵一元二次方程化成一般式为，
故选：A．
【变式2-2】把方程化为一元二次方程的一般形式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
首先根据完全平方公式进行计算，把方程变形为一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【详解】解：方程
去括号得：，
即，
移项合并同类项得：，
即可化成，
故答案为：．
【变式2-3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)关于的方程．
【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为
(2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0
(3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键；
（1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
【详解】（1）解：
移项，得．
二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．
（2），
去括号，得；
移项、合并同类项，得，
整理，得．
二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0．
（3）
移项、合并同类项，得．
二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
考点三：一元二次方程的解
例3.若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
故选：D．
【变式3-1】如果是一元二次方程的一个根，则b的值是（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解此题的关键是能否得出一个关于b的方程，
把代入方程的出新方程，解方程即可．
【详解】解：把是一元二次方程得：
，
解得：，
故选：D．
【变式3-2】已知m是方程的一个根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴
，
故答案为：．
【变式3-3】如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

(1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．
(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积．
【答案】(1)是勾系一元二次方程；
(2)2．
【分析】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可．
（2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键．
【详解】（1）根据定义，方程变形为，
得到，
且，
故方程是否为“勾系一元二次方程”．
（2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根，
∴，
∴，
∵四边形的周长是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故的面积为2．
考点四：直接开平方法
例4．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，把代入方程得，然后解方程即可，解题的关键是熟记方程的解和熟练掌握解一元二次方程．
【详解】解：把代入方程，得，
解得，
故选：．
【变式4-1】方程的解为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：
∴，
．
故选D．
【变式4-2】方程的根是
【答案】
【分析】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．移项，系数化成1，再两次开方即可．
【详解】解：，
，
，
开方得：，或（舍去），
开方得：，
故答案为：．
【变式4-3】用直接开平方法解下列方程：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键；
（1）根据直接开平方法可进行求解方程；
（2）根据直接开平方法可进行求解方程
【详解】（1）解：移项，得，
根据平方根的意义，得，
即．
（2）解：移项，得，
两边同除以3，得，
根据平方根的意义，得，
即．
考点五：一元二次方程解的估算
例5．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是
【详解】由表格可知：
在和之间，对应的在和之间，
所以一个解的取值范围为
故选
【变式5-1】已知，依据下表，它的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，的值随着的增大而增大，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，据此可得答案．
【详解】解：由表格可知，的值随着的增大而增大，
当时，，
当时，，
那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，
∴方程的一个解的范围为．
故选：B．
【变式5-2】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ．
1.2 1.3 1.4 1.5
0.36 0.75
【答案】 1.3 1.4
【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间．
【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间，
即：．
故答案为：1.3，1.4．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
【变式5-3】无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．
材料一：估算法确定无理数的小数部分．
∵，即，
∴的整数部分为，
∴的小数部分为；
材料二：面积法求一个无理数的近似值，
已知面积为的正方形的边长是，
∵，
∴设（为的小数部分，），
画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，，
∵，
∴，
略去，得方程，
解得，
即，
解决问题：
(1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）；
(2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法．
【答案】(1)；
(2)求得的整数部分，即可得到．
【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可；
（）根据材料二即可总结得出；
本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算．
【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是，
∵，
∴设，可画出如图示意图：
由图中面积计算，，
∵，
∴，
∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，
解得，
∴；
（2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到．
1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【详解】解：A、该方程含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程中，当时，没有二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
2．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．， D．
【答案】A
【分析】本题考查解一元二次方程，运用直接开方法求解即可．
【详解】解：，
直接开方得：，
∴，
故选：A．
3．关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义及其解法，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．根据方程解的定义，将代入求解，再结合一元二次方程定义确定即可得出结论．
【详解】解：是关于x的一元二次方程，
，解得，
关于x的一元二次方程有一个根是1，
，
化简得，解得，
综上所述：，
故选：A．
4．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，再把代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，2
【答案】C
【分析】根据方程的两个根分别为，3，得到，或，即可求解，
本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解．
【详解】解：∵的两个根分别为，3，
∴中，，或，
解得：或，
故选：C．
6．根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形中有关数字的变化规律，每个图形中，左边三角形上的数字即为图形的序数，右边三角形上的数字为，下面三角形上的数字，先把代入求出的值，能准确观察到相关规律是解题的关键．
【详解】解：通过观察可得规律：，，
∵，
∴，解得：或（舍去），
故选：．
7．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2
【答案】B
【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，
所以-h-=-3，-h+=2，
方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±，
所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法．
8．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020 B． C．-2020 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】∵，，a+c=0
∴，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
即是方程的一个根
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．
9．一元二次方程的一次项系数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为a，b，c，据此即可解答．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数为．
故答案为：．
10．一元二次方程的根是 ．
【答案】，．
【分析】本题考查一元二次方程．利用直接开平方法即可求出答案．
【详解】解：，
，
或0．
故答案为：，．
11．方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：
∴
解得：，
故答案为：．
12．已知是方程的一个根，求 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想．
因为是方程的一个根，所以，然后把代入即可．
【详解】解：是方程的一个根，
，
．
故答案为：3．
13．若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设是方程的一个根．根据方程解的意义知，既满足方程，也满足方程，将代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【详解】解：设是方程的一个根，则，所以．
由题意，也是方程的根，所以，
把代入此式，得，整理得．
从而可知：方程的两根也是方程的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（其中为常数），
所以，．
因此，，
故答案为：．
14．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”．
（1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号）
①；②；③．
（2）若方程是“自然方程”，m的值为 ．
【答案】 ② 2或0/0或2
【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算：
（1）利用“自然方程”定义判断即可；
（2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可．
【详解】解：①
，
∴，
∴，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
②
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该方程是“自然方程”；
③
∴，
∴，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
故答案为：②
（2），
∴，
∴，
∴，
∵方程是“自然方程”，
∴，
∴或0．
故答案为：2或0
15．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解与直接开平方的方法解方程是关键；
（1）把方程化为，再进一步计算即可；
（2）把方程化为，再进一步计算即可；
【详解】（1）解：∵，
∴
解得：
（2）∵，
∴
∴或
解得：
16．若a是方程的一个根，求的值．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，进而得到，，整体代入代数式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，，
∴．
17．【阅读材料】
【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
【类比探究】
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______；
【拓展运用】
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】类比探究（1）；拓展运用（2）所求方程为
【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题是一道材料题，解题时，要提取材料中的关键性信息．
（1）利用题中的方法，设所求方程的根为，则，把代入已知方程得出，即可得解；
（2）利用题中的方法，所求方程的根为，则，于是，把代入方程得，化为整式方程即可得出答案．
【详解】解：【类比探究】（1）设所求方程的根为，则，
，
把代入方程，得：，
故答案为：；
【拓展运用】（2）设所求方程的根为，则，于是，
把代入方程，得，
去分母，得，
若，有，于是，方程有一个根为，不合题意，
∴，故所求方程为．
18．阅读小明用下面的方法求出方程．
解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或
经检验，或都是原方程的解．
所以，原方程的解为或．
请仿照他的方法，求出方程的解．
【答案】或
【分析】根据题目中的方法得到，解得或，经检验即可得到方程的解．此题考查了无理方程的解法，读懂题意，正确进行计算是解题的关键．
【详解】解：
移项得，，
方程两边同时平方，得，
解得，或，
经检验或都是原方程的解．
所以，原方程的解为或．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 一元二次方程和一元二次方程的解法（直接开平方）
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过观察，归纳一元二次方程的概念； 2．会用直接开平方法解形如（x+h） =k（h、k为常数，k≥0）
1.用方程的关系表示
正方形的面积是4，设正方形的边长为x，表示它们之间的关系。
2.认识一元二次方程
回顾一下一元一次方程的概念
一元一次方程： 。
因此，只含有一个 ，且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程三要素：（1） ；（2） ；（3） .
3.一元二次方程的一般形。
一般形式
项及项的系数 二次项为 ；二次项系数为 .
一次项为 ；一次项系数为 .
常数项为 .
特点 方程左边是关于未知数的二次整式，右边为0.
4.一元二次方程的特殊形式
特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项
ax +bx=0（a≠0，b≠0）
ax +c=0 （a≠0，c≠0）
ax =0
5.一元一次方程的解
概念 使一元二次方程左右两边 的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
判断一个数是不是一元二次方程的根 将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个返程的根。
6.一元二次方程的解法（一）
解x2=4（用平方根的方法）
于是我们知道一元二次方程x2=4有两个根，它们分别记为
像这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开方法.形如（h、k为常数，k≥0）的一元二次方程，可以用直接开方法求解.
考点一：一元二次方程的定义
例1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【变式1-2】若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ．
【变式1-3】已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？
考点二：一元二次方程的一般形式
例2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，，
【变式2-1】若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式2-2】把方程化为一元二次方程的一般形式是 ．
【变式2-3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)关于的方程．
考点三：一元二次方程的解
例3.若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【变式3-1】如果是一元二次方程的一个根，则b的值是（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．
【变式3-2】已知m是方程的一个根，则的值为 ．
【变式3-3】如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

(1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．
(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积．
考点四：直接开平方法
例4．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．
【变式4-1】方程的解为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式4-2】方程的根是
【变式4-3】用直接开平方法解下列方程：
(1)
(2)．
考点五：一元二次方程解的估算
例5．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知，依据下表，它的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式5-2】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ．
1.2 1.3 1.4 1.5
0.36 0.75
【变式5-3】无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．
材料一：估算法确定无理数的小数部分．
∵，即，
∴的整数部分为，
∴的小数部分为；
材料二：面积法求一个无理数的近似值，
已知面积为的正方形的边长是，
∵，
∴设（为的小数部分，），
画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，，
∵，
∴，
略去，得方程，
解得，
即，
解决问题：
(1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）；
(2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法．
1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．， D．
3．关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（ ）
A． B．2 C．0 D．
4．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，2
6．根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2
8．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020 B． C．-2020 D．
9．一元二次方程的一次项系数是 ．
10．一元二次方程的根是 ．
11．方程的解是 ．
12．已知是方程的一个根，求 ．
13．若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ．
14．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”．
（1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号）
①；②；③．
（2）若方程是“自然方程”，m的值为 ．
15．解方程：
(1)
(2)
16．若a是方程的一个根，求的值．
17．【阅读材料】
【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
【类比探究】
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______；
【拓展运用】
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
18．阅读小明用下面的方法求出方程．
解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或
经检验，或都是原方程的解．
所以，原方程的解为或．
请仿照他的方法，求出方程的解．
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