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数形思想课--二次函数的图像与性质
（一）
模块一、二次函数的图象和性质方法技巧
理解并掌握二次函数的图象的形状(抛物线)、顶点(最高点或最低点)、开口方向(向上或向下)、对称轴等知识，运用数形结合思想解决问题.
【例1】(1)抛物线y＝2x ＋1的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；二次函数y＝－(x＋1) ﹣2的图象的开口方向是 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2).
(2)抛物线y＝2x ＋1在x轴的 方；当x＞0时，图象自左向右逐渐 ，它的顶点是最低点；抛物线y＝－(x＋1) ﹣2，当x 时，它的图象在x轴的 ，顶点是 。
【解析】当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，y＝a(x﹣h) ＋k的顶点坐标为(h，k)，对称轴是直线x＝h；当a＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a＜0时，抛物线的顶点为最高点。
【例2】如图，若抛物线y＝ax 与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是(　　)
A.≤a≤1 B．≤a≤2 C.≤a≤1 D.≤a≤2
【解析】确定a的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D时，开口最小；抛物线经过点B时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a值分别2，，∴≤a≤2.
故选Ｄ．
【点评】|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝x ；②y＝－x ，③y＝－2x 的图象，则三个图象I，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③① .
【解析】当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；当|a|越大，开口越小，当|a|越小，开口越大。故抛物线I的解析式为y＝－x ，抛物线Ⅱ的解析式为y＝﹣2x ；抛抛物线Ⅲ的解析式为y＝x .故填②③①
【例4】抛物线y＝ax ＋bx＋5经过A(2,5).B(﹣1,2)两点。若点C在该抛物线上，则点C的坐标可能是(　　)
A.(﹣2,0) B.(0.5,6.5) C.(3,2) D.(2,2)
【解析】抛物线经过(0，5)，A(2,5)，由对称性可知对称轴为直线x＝1，由对称性知点B(﹣1，2)关于对称轴的对称点为(3，2)，故选C.
已知二次函数y＝－x ＋1，其图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ，该图象的顶点是最 点。
【答案】下；直线x=0；（0,1）；高
2.如图，点A1，A2，…，An。在抛物线y＝x 上，点B1，B2，.…，Bn。在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn。都为等腰直角三角形(点B0为坐标原点)，则△A2019 B2018 B2019的腰长等于(　　)
A.2018 B.2019 C.2018 D.2019
【答案】选C
3.如图，抛物线y＝a(x﹣h) ＋k与x轴的一个交点A在点(－2，0)和(－1，0)之间(包括这两个点)，顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点，则a的取值范围是 .
【答案】﹣ ≤a≤－
模块二、二次函数的增减性方法技巧
比较二次函数值的大小的方法：
(1)代入比较法：若已知函数的解析式，则将几个点的横坐标分别代入，求出相应的函数值，再比较大小；
(2)增减性比较法：当点在对称轴同侧时，直接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧时，利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再比较.
(3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小。
【例1】若点A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2).C(3，y3)为二次函数y＝(x＋1) ＋k的图象上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y2：
【解析】对称轴为直线x＝﹣1，点C(3，y1)关于直线x＝﹣1的对称点C’(﹣5，y3)，∵a＞0，﹣5＜﹣4＜﹣3，y2＜y1＜y3，应选B.
【例2】下列关于函数y＝(x﹣3) ＋1的四个命题：①当x＝0时，y有最小值10；②n为任意实数，x＝3＋n时的函数值大于x＝3﹣n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤r≤n＋1时，y的整数值有(2n一4)个；④若函数图象过点(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a＞0，b＞0，则a＜b，其中真命题的序号是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
【答案】Ｃ
【例3】二次函数y＝﹣(x﹣h) ＋2的图象上有两点A(1，y1)，B(2，y2)，若y1≤y2，则h的取值范围为＿＿＿＿＿
【解析】∵a＜0，y1≤y2，∴点B距离对称轴较近，.∴h﹣1≥2﹣h，∴h≥2
【例4】关于x的二次函数y＝(x﹣m) ﹣1，当－1≤x≤3时，函数有最小值－2m＋11，则m的值为__________
【解析】当顶点(m，－1)在区间的左侧，即m≤－1时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，有最小值(﹣1﹣m) ﹣1＝﹣2m＋11，解得m1＝﹣3﹣4，m2＝﹣3＋4(舍)，当－1＜m≤3时，－2m＋11＝﹣1，解得m＝6(舍)当m＞3时，y随x的增大而减小，当x＝3时，有最小值，(3﹣m) ﹣1＝﹣2m＋11，解得m1＝﹣3(舍)，m2＝5，综上，m的值为－3﹣4或5.
1.若抛物线y＝ax (a＜0)经过点A(﹣1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，则(　　)
A.y1＞y2＞y3 B.y1＜y3＜y2 C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y1＜y2
【答案】A
2.二次函数y＝(x－h) ＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3时，其函数y的最小值为5，则h的值为(　　)
A.1或－5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3
【答案】B
模块三、抛物线的平移、对称变换方法技巧
【例1】将二次函数y＝x 的图象向左平移1个单位长度得到y＝____________；将二次函数y＝－(x－1) 的图象向右平移2个单位长度得到y＝____________
【解析】向左平移1个单位长度，自变量x变为(x＋1)，即y＝(x＋1)2，向右平移2个单位长度，自变量x变为(x﹣2)，即y＝﹣(x﹣3) .
【例2】在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线与抛物线y＝ax 相交于A，B两点(点B在第一象限)，当a＝1，点B的纵坐标为2时，向右平移抛物线使该抛物线经过点B，与AB的延长线交于点C，求平移后的抛物线的解析式.
【解析】y＝x ，当y＝2时，2＝x ，.xA＝，xB＝－，AB＝2，将y＝x 向右平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝(x－2) .
【例3】将二次函数y＝(x﹣2) ＋1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为A'，B'.若曲线段AB扫过的面积为9，则新图象的函数解析式是(　　)
A.y＝(x﹣2) ﹣2 B.y＝(x﹣2) ＋7 C.y＝(x﹣2) ﹣5 D.y＝(x﹣2) ＋4
【解析】连接AB，A'B'，则S阴影＝S四边形AA'B'Ｂ，由平移可知，AA'＝BB'.AA'//BB'，∴四边形ABＢ'A'是平行四边形，分别延长A'A，B'B，交x轴于点M，N.∵A(l，m).B(4，n)，∴MN＝4－1＝3，S平行四边形ABB'A'＝AA'*MN，9＝3AA'，∴AA'＝3，即沿y轴向上平移了3个单位长度，∴平移后的函数的解析式为y＝(x﹣2) ＋4.故选D.
【例4】将二次函数y＝3(x﹣1) ＋2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象的解析式是(　　)
A.y＝3(x﹣3) ＋5 B.y＝3(x＋1) ﹣1 C.y＝3(x﹣3)﹣1 D.y＝3(x＋1) ＋5
【解析】y＝3(x﹣1) ＋2的顶点坐标为(1，2)，平移后的顶点坐标为(－1，－1)，∴平移后的图象所对应的解析式为y＝3(x＋1) ﹣1，故选B.
【例5】将抛物线y＝﹣(x＋1) ﹣2沿直线y＝x向右上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为__________
【解析】沿直线y＝x方向向右上平移2个单位长度，可分解为先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，因此平移后的解析式y＝﹣(x﹣1)
【例6】将抛物线y＝(x＋1) ＋4沿x轴翻折，得到的新抛物线的解析式为_____________
【答案】y＝﹣(x＋1) ﹣4.
【例7】将抛物线y＝(x＋1) ＋4绕点(1，2)旋转180°，所得新抛物线的解析为y＝﹣(x﹣3).
【解析】原抛物线的顶点为(－1，4)..点(－1，4)关于(1，2)的对称点为(3，0)，而开口方向相反，所得新抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3) .
1.抛物线y＝﹣(x﹣4) ＋3通过怎样平移可得到抛物线y＝﹣x ？
解：抛物线y＝－(x－4) ＋3，向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线y＝﹣x 。
2.将抛物线y＝2x 向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为( 　　)
A.y＝2(x﹣3) ﹣5 B.y＝2(x＋3) ＋5 C.y＝2(x﹣3) ＋5 D.y＝2(x＋3) ﹣5
【答案】A
3.如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到P'(2，－2)，点A的对应点为A'，则抛物线上PA段所扫过的区域(阴影部分)的面积为 12 .
【答案】12
4.若将抛物线y＝﹣3(x﹣1) ＋2绕点(－1，－2)旅转180°，求所得新抛物线的解析式
解：原抛物线的顶点为(1，2)，点(1，2)绕点(﹣1，－2)旋转180°的对应点(﹣3，﹣6)，且开口方向相反，∴所得新抛物线的解析式为y＝3(x＋3) ﹣6.
5．将抛物线y＝﹣(x﹣2) ＋1沿直线y＝﹣x＋的方向平移后恰好经过点(5，－)，求平移后的抛物线的解析式。
解：∵原抛物线的顶点为(2,1)，∴新抛物线的顶点在直线y＝﹣x＋上，
∴新抛物线可设为y＝－(x－t) －t＋，∴－＝－(5－t) －t＋，
∴t＝5或t＝,∴平移后抛物线的解析式为y＝－(x－4) －或y＝－(x－) －。
1、若y=（a2+a）是二次函数，那么（　　）
A．a=﹣1或a=3 B．a≠﹣1或a≠0 C．a=3 D．a=﹣1
【解析】C．
2、下列函数关系中，是二次函数的是（　　）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系
D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系
【解析】D．
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的对称轴是（　　）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
【解析】B．
4.已知A(x1，2019)，B(x2，2019)是抛物线y＝ax ＋bx＋2018(a≠0)上的两点，则当x＝x1＋x2时，二次函数的值是(　　)
A.＋5 B.﹣＋5 C.2019 D.2018
解：由抛物线的对称性知A，B关于对称轴x＝－对称，∴.x1＋x2＝－，∴当x＝x1＋x2时，y＝a(－) ＋b(－)＋2018＝2018.故选Ｄ
5.已知关于正整数x的二次式y＝2x2＋2bx＋c(b，c为实数)，若当且仅当x＝4时，y有最小值，则实数b的取值范围是__________.
解：对称轴为x＝－，∵x为正整数；∴＜－＜(注；对称轴要靠近x＝4)，∴﹣9＜b＜﹣7.
6．抛物线y＝(x﹣h) ＋k过点A(2，6)，且对称轴与线段BC有交点，B(1，0)，C(4，0)，求k的取值范围.
解：∵1≤h≤4，k＝6﹣(2﹣h) ，∴2≤k≤6.
7.已知抛物线C:y＝(x﹣1) ＋2.
(1)将抛物线C向左平移2个单位长度，再沿x轴作轴对称变换，得到抛物线C1，求C1的解析式；
(2)将抛物线C沿直线x＝3作轴对称变换，得到抛物线C2，求C2的解析|
解：(1)y＝﹣(x＋1) ﹣2；(2)y＝(x﹣5) ＋2.
8.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m=0．
（1）求证：不论m为任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m与x轴交于A、B两点（点A与点B在y轴异侧），且AB=4，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m向上平移b个单位长度后，所得到的图象与直线y=x没有交点，请直接写出b的取值范围．
【解析】（1）△=b2﹣4ac=[﹣（2m+1）]2﹣4×2m
=4m2﹣4m+1=（2m﹣1）2
∵不论m为任何实数时，总有△=（2m﹣1）2≥0，
∴该方程总有两个实数根．
（2）令y=x2﹣（2m+1）x+2m=0，即x2﹣（2m+1）x+2m=0，
则（x﹣2m）（x﹣1）=0，解得x=2m，x=1，
由AB=4，|1﹣2m|=4，解得m=或m=﹣，
当m=时，抛物线解析式为y=x2﹣6x+5，点A（1，0），点B（5，0）不合题意，舍去，
当m=﹣时，抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，点A（﹣1，0），点B（3，0），符合题意，∴
∴抛物线的表达式为y=x2+2x﹣3
（3）将抛物线y=x2+2x﹣3向上平移b个单位后得到的抛物线为：，
依题意列方程组：，消去y，得x2+x+b﹣3=0，
∵图象与直线y=x没有交点，∴△=12﹣4×1×（b﹣3）＜0，解得，
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第9讲 数形思想课--二次函数的图像与性质（一）
模块一、二次函数的图象和性质方法技巧
理解并掌握二次函数的图象的形状(抛物线)、顶点(最高点或最低点)、开口方向(向上或向下)、对称轴等知识，运用数形结合思想解决问题.
【例1】(1)抛物线y＝2x ＋1的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；二次函数y＝－(x＋1) ﹣2的图象的开口方向是 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2).
(2)抛物线y＝2x ＋1在x轴的 方；当x＞0时，图象自左向右逐渐 ，它的顶点是最低点；抛物线y＝－(x＋1) ﹣2，当x 时，它的图象在x轴的 ，顶点是 。
【例2】如图，若抛物线y＝ax 与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是(　　)
A.≤a≤1 B．≤a≤2 C.≤a≤1 D.≤a≤2
【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝x ；②y＝－x ，③y＝－2x 的图象，则三个图象I，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 .
【例4】抛物线y＝ax ＋bx＋5经过A(2,5).B(﹣1,2)两点。若点C在该抛物线上，则点C的坐标可能是(　　)
A.(﹣2,0) B.(0.5,6.5) C.(3,2) D.(2,2)
已知二次函数y＝－x ＋1，其图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ，该图象的顶点是最 点。
2.如图，点A1，A2，…，An。在抛物线y＝x 上，点B1，B2，.…，Bn。在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn-1Bn。都为等腰直角三角形(点B0为坐标原点)，则△A2019 B2018 B2019的腰长等于(　　)
A.2018 B.2019 C.2018 D.2019
3.如图，抛物线y＝a(x﹣h) ＋k与x轴的一个交点A在点(－2，0)和(－1，0)之间(包括这两个点)，顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点，则a的取值范围是 .
模块二、二次函数的增减性方法技巧
比较二次函数值的大小的方法：
(1)代入比较法：若已知函数的解析式，则将几个点的横坐标分别代入，求出相应的函数值，再比较大小；
(2)增减性比较法：当点在对称轴同侧时，直接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧时，利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再比较.
(3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小。
【例1】若点A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2).C(3，y3)为二次函数y＝(x＋1) ＋k的图象上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y2：
【例2】二次函数y＝﹣(x﹣h) ＋2的图象上有两点A(1，y1)，B(2，y2)，若y1≤y2，则h的取值范围为＿＿＿＿＿
【例3】关于x的二次函数y＝(x﹣m) ﹣1，当－1≤x≤3时，函数有最小值－2m＋11，则m的值为__________
1.若抛物线y＝ax (a＜0)经过点A(﹣1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，则(　　)
A.y1＞y2＞y3 B.y1＜y3＜y2 C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y1＜y2
2.二次函数y＝(x－h) ＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3时，其函数y的最小值为5，则h的值为(　　)
A.1或－5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3
模块三、抛物线的平移、对称变换方法技巧
【例1】将二次函数y＝x 的图象向左平移1个单位长度得到y＝____________；将二次函数y＝－(x－1) 的图象向右平移2个单位长度得到y＝____________
【例2】在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线与抛物线y＝ax 相交于A，B两点(点B在第一象限)，当a＝1，点B的纵坐标为2时，向右平移抛物线使该抛物线经过点B，与AB的延长线交于点C，求平移后的抛物线的解析式.
【例3】将二次函数y＝(x﹣2) ＋1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为A'，B'.若曲线段AB扫过的面积为9，则新图象的函数解析式是(　　)
A.y＝(x﹣2) ﹣2 B.y＝(x﹣2) ＋7 C.y＝(x﹣2) ﹣5 D.y＝(x﹣2) ＋4
【例4】将二次函数y＝3(x﹣1) ＋2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象的解析式是(　　)
A.y＝3(x﹣3) ＋5 B.y＝3(x＋1) ﹣1 C.y＝3(x﹣3)﹣1 D.y＝3(x＋1) ＋5
【例5】将抛物线y＝﹣(x＋1) ﹣2沿直线y＝x向右上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为__________
【例6】将抛物线y＝(x＋1) ＋4沿x轴翻折，得到的新抛物线的解析式为_____________
【例7】将抛物线y＝(x＋1) ＋4绕点(1，2)旋转180°，所得新抛物线的解析为____________.
抛物线y＝﹣(x﹣4) ＋3通过怎样平移可得到抛物线y＝﹣x ？
2.将抛物线y＝2x 向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为( 　　)
A.y＝2(x﹣3) ﹣5 B.y＝2(x＋3) ＋5 C.y＝2(x﹣3) ＋5 D.y＝2(x＋3) ﹣5
3.如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到P'(2，－2)，点A的对应点为A'，则抛物线上PA段所扫过的区域(阴影部分)的面积为 .
4.若将抛物线y＝﹣3(x﹣1) ＋2绕点(－1，－2)旅转180°，求所得新抛物线的解析式
5．将抛物线y＝﹣(x﹣2) ＋1沿直线y＝﹣x＋的方向平移后恰好经过点(5，－)，求平移后的抛物线的解析式。
1、若y=（a2+a）是二次函数，那么（　　）
A．a=﹣1或a=3 B．a≠﹣1或a≠0 C．a=3 D．a=﹣1
2、下列函数关系中，是二次函数的是（　　）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系
D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的对称轴是（　　）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
4.已知A(x1，2019)，B(x2，2019)是抛物线y＝ax ＋bx＋2018(a≠0)上的两点，则当x＝x1＋x2时，二次函数的值是(　　)
A.＋5 B.﹣＋5 C.2019 D.2018
5.已知关于正整数x的二次式y＝2x2＋2bx＋c(b，c为实数)，若当且仅当x＝4时，y有最小值，则实数b的取值范围是__________.
6．抛物线y＝(x﹣h) ＋k过点A(2，6)，且对称轴与线段BC有交点，B(1，0)，C(4，0)，求k的取值范围.
7.已知抛物线C:y＝(x﹣1) ＋2.
(1)将抛物线C向左平移2个单位长度，再沿x轴作轴对称变换，得到抛物线C1，求C1的解析式；
(2)将抛物线C沿直线x＝3作轴对称变换，得到抛物线C2，求C2的解析|
8.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m=0．
（1）求证：不论m为任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m与x轴交于A、B两点（点A与点B在y轴异侧），且AB=4，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m向上平移b个单位长度后，所得到的图象与直线y=x没有交点，请直接写出b的取值范围．
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