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第10讲 数形思想课--二次函数的图像与性质（二）
模块一、化一般式为顶点式的方法技巧
1.熟练掌握顶点坐标公式（），，分清a，b，c的值（包括符号）.
2.掌握配方法的步骤，切记不要改变a的大小.
【例1】已知二次函数.
（1）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
（2）该函数图像经过怎样的平移得到抛物线？
（3）求出函数的最大值或最小值？
【解析】（1）∵，∴对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大;当x＜1时，y随x的增大而减小.
（2）该函数图像向左平移1个单位，向上平移个单位得到抛物线.
（3）∵a＞0，∴函数有最小值.
【例2】将二次函数的解析式化为顶点式，并指出开口方向，对称轴和最值.
【解析】利用顶点坐标公式可求顶点（－3,11）
∴解析式为，其图像开口向下，对称轴为直线x＝－3,最大值为11.
1.二次函数；
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）该函数图像是将的图像经过怎样的平移得到的？
解（1）,顶点坐标为（）
（2）当x＞时，y随x的增大而减小;当x＜1时，y随x的增大而增大.
（3）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图像.
2.已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，求mn的最大值.
解：∵是二次函数，∴m≠2，对称轴为，当m＞2时，开口向上，，即2m＋n，∴mnm(12－2m)＝－2(m－3)2＋18,当0m＜2时，抛物线开口向下，，即m＋2n18,n＞8, mnn(12－2n)＝－2(n－)2＋＜18，综上所述，mn的最大值为18.
模块二、二次函数的识图方法技巧
a的符号与开口方向有关，b的符号与对称轴有关（左同右异），c的符号与y轴的交点有关.
【例1】二次函数的图像如图所示，试判断a,b,c,2a＋b,a＋b＋c,a－b＋c的符号.
【解析】开口向上，a＞0；对称轴＞0，b＜0；与y轴的交点在y轴的负半轴，c＜0;由图像知，＜1，∴－b＜2a，2a＋b＞0，当x＝1时，函数值a＋b＋c＜0；当x＝－1时，函数值a－b＋c＞0.
【例2】如图，抛物线经过点（－1,0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中正确的结论是（ ）
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
【解析】a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0,①不正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0,②正确；当x＝2时，4a＋2b＋c＜0,将b＝a＋c代入，可得2a＋c＜0，③正确；同理④正确。选D.
【归纳】消元时，常常需要利用特殊点找到一个等式，即等式与不等式的组合运用.
1. 二次函数的图像如图所示，给出以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0.其中正确结论是（ ）
A. ③④ B.②③ C.①④ D.①②③
答案：C
2. 二次函数的图像经过点（－1,2），且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中－2＜x1＜－1,0＜x2＜1,下列结论：①4a－2b＋c＜0；②2a－b＜0；③a＋c＜1；④b2＋8a＞4ac.其中正确的结论有（ ）个
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
模块三、用待定系数法求二次函数的解析式方法技巧
根据条件，选择适当的解析式，建立关于待定系数的方程（组），解方程（组）求出待定系数的值.
【例1】已知二次函数的图像经过点A（－1,2），B（0,1），C（2，－7），求该二次函数的解析式.
【解析】
【例2】已知二次函数的最大值为1，其图像经过点（3，－1），求二次函数的解析式.
【解析】
【例3】如图，抛物线经过A、B、C三点，点A（－1,0），点B（3,0），且3AB＝4OC，求抛物线的解析式.
【解析】
【例4】已知二次函数的图像与坐标轴只有两个公共点，求二次函数的解析式.
【解析】或
【例5】如图，直线y＝－x＋1与抛物线交x轴于点A和另一点D，抛物线与y轴交于点C，且CD∥x轴，求抛物线的解析式.
【解析】
1.已知二次函数的图像与x轴交于A（－3,0），B（4,0）两点，且函数的最大值为2，求二次函数的解析式.
答案：
2.如图，抛物线与坐标轴交于A,B,C三点，且OA＝2，OC＝3，求抛物线的解析式.
答案：
3. 已知抛物线经过点A（－1,0）与x轴交于另一点B，交y轴于点C，且S△ABC＝6，求抛物线的解析式.
答案： 或
模块四、二次函数与最值方法技巧
1.用顶点式、公式法求二次函数的最值.
2.利用函数图像的增减性求最值.
【例1】二次函数在的范围内有最小值－5，则c的值是（ ）
A. －6 B.－2 C.2 D.3
答案：D
【解析】可求对称轴为x＝－1,开口向下，离对称轴的距离越大，值越小，∴当x＝2时有最小值3.
【例2】当时，二次函数有最大值4，则m的值为（ ）
A. B. 或－ C.2或－或 D. 2或－
答案：D
【解析】分三种情况:①m＜－2时，m＝;②时，m＝（舍去）m＝－；③m＞1时，m＝2.选D.
1.已知二次函数在的范围内有最小值5，则m的值是（ ）
A. －3或4 B.－5或2 C.－4或3 D.－2或5
答案：A
2. 已知二次函数（h为常数）在的范围内有最小值5，则h的值是（ ）
A. 3或5 B.－1或1 C.－1或5 D.1或3
答案：C
把二次函数y=﹣x2﹣x+3配方化为y=a（x﹣h）2+k形式（　　）
A．y=﹣（x﹣2）2+2 B．y=﹣（x﹣2）2+4
C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=﹣（x﹣1）2+3
【解析】C．
1、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（　　）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2
【解析】A．
2、将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　）
A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3 C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3
【解析】D．
3、二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（　　）
A． B． C． D．
【解析】A．
4、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，
∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，
∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，
∴③正确；∵=﹣2，c=﹣1，∴b2=4a，∴④正确．综上，结论正确的是：③④．故选D．
5、若二次函数y=﹣x2+2x+m2+1的最大值为4，则实数m的值为（　　）
A． B． C．±2 D．±1
【解析】∵y=﹣x2+2x+m2+1=﹣（x﹣1）2+m2+2，∴m2+2=4，解得，m=，故选A．
6、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
【解析】（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，
与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；
令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x；
（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），
设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），
整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，
∴当m==时，d最大===
∴D点的坐标为（，）．
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模块一、化一般式为顶点式的方法技巧
1.熟练掌握顶点坐标公式（），，分清a，b，c的值（包括符号）.
2.掌握配方法的步骤，切记不要改变a的大小.
【例1】已知二次函数.
（1）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
（2）该函数图像经过怎样的平移得到抛物线？
（3）求出函数的最大值或最小值？
【例2】将二次函数的解析式化为顶点式，并指出开口方向，对称轴和最值.
1.二次函数；
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）该函数图像是将的图像经过怎样的平移得到的？
已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，求mn的最大值.
模块二、二次函数的识图方法技巧
a的符号与开口方向有关，b的符号与对称轴有关（左同右异），c的符号与y轴的交点有关.
【例1】二次函数的图像如图所示，试判断a,b,c,2a＋b,a＋b＋c,a－b＋c的符号.
【例2】如图，抛物线经过点（－1,0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中正确的结论是（ ）
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
1. 二次函数的图像如图所示，给出以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0.其中正确结论是（ ）
A. ③④ B.②③ C.①④ D.①②③
2. 二次函数的图像经过点（－1,2），且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中－2＜x1＜－1,0＜x2＜1,下列结论：①4a－2b＋c＜0；②2a－b＜0；③a＋c＜1；④b2＋8a＞4ac.其中正确的结论有（ ）个
A.1 B.2 C.3 D.4
模块三、用待定系数法求二次函数的解析式方法技巧
根据条件，选择适当的解析式，建立关于待定系数的方程（组），解方程（组）求出待定系数的值.
【例1】已知二次函数的图像经过点A（－1,2），B（0,1），C（2，－7），求该二次函数的解析式.
【例2】已知二次函数的最大值为1，其图像经过点（3，－1），求二次函数的解析式.
【例3】如图，抛物线经过A、B、C三点，点A（－1,0），点B（3,0），且3AB＝4OC，求抛物线的解析式.
【例4】已知二次函数的图像与坐标轴只有两个公共点，求二次函数的解析式.
【例5】如图，直线y＝－x＋1与抛物线交x轴于点A和另一点D，抛物线与y轴交于点C，且CD∥x轴，求抛物线的解析式.
1.已知二次函数的图像与x轴交于A（－3,0），B（4,0）两点，且函数的最大值为2，求二次函数的解析式.
2.如图，抛物线与坐标轴交于A,B,C三点，且OA＝2，OC＝3，求抛物线的解析式.
3. 已知抛物线经过点A（－1,0）与x轴交于另一点B，交y轴于点C，且S△ABC＝6，求抛物线的解析式.
模块四、二次函数与最值方法技巧
1.用顶点式、公式法求二次函数的最值.
2.利用函数图像的增减性求最值.
【例1】二次函数在的范围内有最小值－5，则c的值是（ ）
A. －6 B.－2 C.2 D.3
【例2】当时，二次函数有最大值4，则m的值为（ ）
A. B. 或－ C.2或－或 D. 2或－
1.已知二次函数在的范围内有最小值5，则m的值是（ ）
A. －3或4 B.－5或2 C.－4或3 D.－2或5
2. 已知二次函数（h为常数）在的范围内有最小值5，则h的值是（ ）
A. 3或5 B.－1或1 C.－1或5 D.1或3
把二次函数y=﹣x2﹣x+3配方化为y=a（x﹣h）2+k形式（　　）
A．y=﹣（x﹣2）2+2 B．y=﹣（x﹣2）2+4
C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=﹣（x﹣1）2+3
1、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（　　）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2
2、将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　）
A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3 C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3
3、二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（　　）
A． B． C． D．
4、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
5、若二次函数y=﹣x2+2x+m2+1的最大值为4，则实数m的值为（　　）
A． B． C．±2 D．±1
6、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
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