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第11讲 图形思想课--图形的相似
知识梳理
（一）比例的性质
1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质
（二）平行线分线段成比例定理
1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。
2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有：
= ，，等等。
3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。
4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示：
（三）平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错
2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有
　　　　　　　　　
（四）相似三角的判定方法
1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
（五）相似三角形基本类型
1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC
2、相交线型：常见的有如下四种情形
（1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC
（2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB
（3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC
3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，
下图为常见的基本图形．
4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．
5、斜交型：
如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”）
6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）
（六）黄金分割
（七）相似三角形的性质
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
3、相似三角形周长的比等于相似比.
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.
（八）利用三角形相似测量高度方法
1、利用阳光下的影子测量物高
根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形.
在同一时刻，
2、利用标杆测量物高
3、利用镜子原理测量物高
（九）图形的位似
1、位似图形的定义 2、图形位似的性质
例1、已知，
（1）求的值； （2）如果，求x的值．
例2、如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：+=．
例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
例1、如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（　　）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
例2、如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．
例1、一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．
例2、△ABC经过一定的运动得到△A1B1C1，然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大为△A1B2C2，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A1B2C2中的对应点P2的坐标为（　　）
A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4） D．（2a+4，2b+6）
1、已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2、如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED=EC，ED与AC交于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
第2题图 第3题图 第4题图
3、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
5、已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
第5题图 第6题图
6、如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
8、如图，为了测量路灯S的高度，把一根1.5m长的竹竿AB竖立在地面上，测得竹竿的影长BC为1m，然后拿着竹竿沿DB方向远离路灯方向走了4米到B′，再把竹竿竖立在地面上（即A′B′），测得竹竿的影长为1.8m，求路灯的高度．
1、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1）
C．（2，2） D．（4，2）
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2、如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（　　）
A．= B．= C．+=1 D．=
3、为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（　　）
A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm
4、如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）
A．= B．= C．= D．=
5、2021年6月27日，四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训，参加培训的小王想把一块Rt△ABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片，如图所示，若∠C=30°，AB=10cm，则该矩形BDEF的面积最大为（　　）
A．4cm3 B．5cm3 C．10cm3 D．25cm3
6、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（　　）
A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米
7、如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
8、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．
1、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
3、如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ）
A．：1 B．：1 C．5：3 D．不确定
4、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ AC，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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知识梳理
（一）比例的性质
1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质
（二）平行线分线段成比例定理
1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。
2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有：
= ，，等等。
3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。
4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示：
（三）平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错
2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有
　　　　　　　　　
（四）相似三角的判定方法
1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
（五）相似三角形基本类型
1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC
2、相交线型：常见的有如下四种情形
（1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC
（2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB
（3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC
3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，
下图为常见的基本图形．
4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．
5、斜交型：
如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”）
6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）
（六）黄金分割
（七）相似三角形的性质
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
3、相似三角形周长的比等于相似比.
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.
（八）利用三角形相似测量高度方法
1、利用阳光下的影子测量物高
根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形.
在同一时刻，
2、利用标杆测量物高
3、利用镜子原理测量物高
（九）图形的位似
1、位似图形的定义 2、图形位似的性质
例1、已知，
（1）求的值； （2）如果，求x的值．
【解析】（1）∵==，∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，
∴===﹣1；
（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，
∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3（舍去），∴x=﹣2．
例2、如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：+=．
【解析】∵AC∥BD，EF∥BD，∴，，
∴==1，∴+=．
例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】有三对相似三角形，Rt△ABE∽Rt△DEF，Rt△ABE∽Rt△EBF，
Rt△EBF∽Rt△DEF．理由如下：
设正方形的边长为4a，则AE=DE=2a，DF=a，CF=3a，
在Rt△BCF中，BF==5a， 在Rt△ABE中，BE==2a，
在Rt△DEF中，EF==a， ∵BE2+EF2=BF2，∴△BEF为直角三角形，∠BEF=90°，
∵==2，==2， ∴=， ∴Rt△ABE∽Rt△DEF，同理得=，
∴Rt△ABE∽Rt△EBF， ∴Rt△EBF∽Rt△DEF． 故选：C．
例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
【解析】设AP=2tcm，DQ=tcm，∵AB=12cm，AD=6cm，∴AQ=（6﹣t）cm，
∵∠A=∠A， ∴①当 =时，△APQ∽△ABD，
∴=，解得：t=3；
②当 =时，△APQ∽△ADB，∴=，解得：t=1.2．
∴当t=3或1.2时，△APQ与△ABD相似．
例1、如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（　　）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
【解析】如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得
而CB=1.2，∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得
，∴x=4.45，∴树高是4.45m．故选C．
例2、如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．
【解析】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴=，=，
∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，∴=，=，
∴=，解得BD=52，
∴=，解得AB=54．
答：建筑物的高为54米．
例1、一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．
【解析】如图所示∵四边形PQMN是矩形，∴BC∥PQ，∴△APQ∽△ABC，
∴，由于矩形长与宽的比为3：2，∴分两种情况：
①若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PN=2k，则，解得：k=2，
∴PQ=6cm，PN=4cm；
②PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k，则，解得：k=，
∴PN=cm，PQ=cm；
综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为cm，宽为cm．
例2、△ABC经过一定的运动得到△A1B1C1，然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大为△A1B2C2，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A1B2C2中的对应点P2的坐标为（　　）
A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3）
C．（2a+6，2b+4） D．（2a+4，2b+6）
【解析】△A1B1C1是由△ABC通过平移得到的，
其平移规律是右移三个单位后，再上移2个单位，
所以点P移到P1的坐标为（a+3，b+2）．
△A1B2C2是由三角线A1B1C1通过位似变换得到的，
所以在△A1B2C2上的各点坐标，都做了相应的位似变换，即乘以了2．
∴点P1的对应点P2的坐标为（2a+6，2b+4）．故选C．
1、已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【解析】D．
2、如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED=EC，ED与AC交于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解析】过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，如图所示：
∵D为BC中点，DG∥AC，∴G为AB的中点，∠EAC=∠DGE，
∴DG是△ABC的中位线，∴AC=2DG，
∵AB=AC，ED=EC，∴∠B=∠ACB，∠EDC=∠ECD，
∵∠EDC=∠B+∠DEG，∠ECD=∠ACB+∠ACE，∴∠ACE=∠EDG，
在△ACE和△GED中，，∴△ACE≌△GED（AAS），∴AE=DG，
∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴DG=AB=AG=BG，∴AE=AG，
∵DG∥AC，∴AF：DG=AE：GE=1：2，即DG=2AF，∴AC=4AF，∴=；故选：B．
3、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，
当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6，
当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C．
4、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【解析】B．
5、已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【解析】正方形中平行于底边的边是4，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则 =，解得x=5，所以另一段长为25﹣5=20，
因为20÷4=5，所以是第5张．故选：B．
6、如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，
∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解析】如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7
∴AB==5， ∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=，
∴BD=BG﹣DG=7﹣=，∴=．故选A．
7、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【解析】（1）∠B=∠C=45°．∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．
（2）讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．
②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，
于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2
③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，
如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的
三线合一可知：AE=CE=AC=1．
8、如图，为了测量路灯S的高度，把一根1.5m长的竹竿AB竖立在地面上，测得竹竿的影长BC为1m，然后拿着竹竿沿DB方向远离路灯方向走了4米到B′，再把竹竿竖立在地面上（即A′B′），测得竹竿的影长为1.8m，求路灯的高度．
【解析】∵AB⊥DC′，DS⊥DC′，∴SD∥AB，∴△ABC∽△SDC，
∴=，即=，解得DB=h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥DC′，∴△A′B′C′∽△SDC′，
∴=，=②，
把①代入②得，=，解得：h=9．
答：路灯离地面的高度是9米．
1、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1）
C．（2，2） D．（4，2）
【解析】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的
位似图形，且相似比为，∴=，
∵BG=6，∴AD=BC=2， ∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，
∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．
2、如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（　　）
A．= B．= C．+=1 D．=
【解析】D．
3、为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（　　）
A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm
【解析】D．
4、如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）
A．= B．= C．= D．=
【解析】C．
5、2015年6月27日，四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训，参加培训的小王想把一块Rt△ABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片，如图所示，若∠C=30°，AB=10cm，则该矩形BDEF的面积最大为（　　）
A．4cm3 B．5cm3
C．10cm3 D．25cm3
【解析】∵Rt△ABC中，∠C=30°，AB=10cm，∴BC==10cm．
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠C=30°，设EF=x，则AF=x，∴BF=10﹣x，
∴S矩形BDEF=BD BF=x （10﹣x）=﹣x2+10x（0＜x＜10），
∴当x=﹣=5时，S最大==25cm2．故选D．
6、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（　　）
A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米
【解析】根据题意可构造相似三角形模型如图：
延长FE交AB于G，则Rt△ABC∽Rt△AGF，
∴AG：GF=AB：BC=物高：影长=1：0.5
∴GF=0.5AG又∵GF=GE+EF，BD=GE ∴GF=4.6 ∴AG=9.2
∴AB=AG+GB=9.5，即树高为9.5米．故选A．
7、如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
【解析】设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，
则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，
∵∠PBQ=∠ABC，∴当=时，△BPQ∽△BAC，
即=，解得t=2（s）；
当=时，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．
8、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．
【解析】在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，∴=，即=，解得BC=4，
∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，即树高5.5m．
1、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】B．
2、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【解析】B．
3、如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ）
A．：1 B．：1 C．5：3 D．不确定
【解析】连接OA、OD，
∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，
∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°，
∴OD：OE=OA：OB=：1，
∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA即∠DOA=∠EOB，
∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1．故选：A．
4、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ AC，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=FB FG=S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD FE=AD2=FQ AC，④正确；故选：D．
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