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第12讲 图形思想课--相似三角形的判定
知识梳理
（一）相似三角形的概念
对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．
1、相似三角形是相似多边形中的一种；
2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；
3、相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；
4、相似用“∽”表示，读作“相似于”；
5、相似三角形的对应边之比叫做相似比，书写对应边的比时，一定要找准对应边。
（二）相似三角的判定方法
1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
（三）相似三角形基本类型
1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC
2、相交线型：常见的有如下四种情形
（1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC
（2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB
（3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC
3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，
下图为常见的基本图形．
4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．
5、斜交型：
如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”）
6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）
例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解析】C △ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，所以有三对相似三角形．
例2、如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD AC D．=
【解析】 D．
根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
例3、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．
【解析】（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF；
（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形．
例4、如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC CD的大小关系； （2）求∠ABD的度数．
【解析】（1）（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC CD的值，
从而可得到AD2与AC CD的关系；
（2）∵AD=BC，AD2=AC CD，∴BC2=AC CD，即．
又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．
本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用．
例1、下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）
A． B． C． D．
【解析】B. 此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．
例2、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【解析】A．
例3、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）
【解析】（1）首先根据小正方形的边长，求出△ABC和△DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例.
（2）答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可；
△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1．
例1、如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【解析】B．
例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
【解析】由题意可设AP=2tcm，DQ=tcm，
又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值，
①当 =时，△APQ∽△ABD，
∴=，解得：t=3；
②当=时，△APQ∽△ADB，∴=，解得：t=1.2．
∴当t=3或1.2时，△APQ与△ABD相似．
1、下列命题中，是真命题的为（　　）
A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似
【解析】D．
2、 如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（　　）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【解析】图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，
△AGE∽△CDA共5对．
4、如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．正确的有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】B．①②③正确；④错误．
首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC与∠C的度数，则可求得所有角的度数，可得△BCD也是等腰三角形，则可证得△ABC∽△BCD．
此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
5、如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】D．如图①，∠OAB=∠BAC1，∠AOB=∠ABC1时，△AOB∽△ABC1．
如图②，AO∥BC，BA⊥AC2，则∠ABC2=∠OAB，故△AOB∽△BAC2；
如图③，AC3∥OB，∠ABC3=90°，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△C3BA；
如图④，∠AOB=∠BAC4=90°，∠ABO=∠ABC4，则△AOB∽△C4AB．
6、如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，
设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB； （2）求证：△ADF∽△BAD．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；
全等三角形的对应边相等，对应角相等．
7、如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．
【解析】根据已知可以分△PDC∽△ABP或△PCD∽△PAB两种情况进行分析．
∵AB⊥DB，CD⊥DB∴∠D=∠B=90°，设DP=x，
当PD：AB=CD：PB时，△PDC∽△ABP，
∴=，解得DP=2或12，
当PD：PB=CD：AB时，△PCD∽△PAB，
∴=，解得DP=5.6 ∴DP=5.6或2或12．
1、下列命题中，真命题是（　　）
①同旁内角互补，两直线平行．②三角形任意两边之和不小于第三边；③两条对角线平分的四边形是平行四边形；④两边及其中一角对应相等的两个三角形全等；⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
A．①③⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③④⑤
【解析】A．
2、如右图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，
不能推出△ABP与△ECP相似的是（　　）
∠APB＝∠EPC　 B. ∠APE＝90°
C. P是BC的中点 D. BP︰BC＝2︰3
【解析】C
4、如图，在 ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【解析】△AGB∽△FGH，△HED∽△HBC，△HED∽△BEA，△AEB∽△HBC，共4对．故选C．
5、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B． C． D．
【解析】B．
6、如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．下列结论错误的是（　　）
A．四边形EDCN是菱形 B．四边形MNCD是等腰梯形
C．△AEM与△CBN相似 D．△AEN与△EDM全等
【解析】D． 首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得A正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得B正确，利用SSS即可判定D正确，利用排除法即可求得答案．
7、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有（　　）
①∠EAF=45°； ②△ABE∽△ACD；
③AE平分∠CAF； ④BE2+DC2=DE2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】B．①④正确.需注意的是绝对相似的三角形大致有三种：
①全等三角形；②等腰直角三角形；③等边三角形．
据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°；
②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似；
③根据SAS可证△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF；DE=EF；
④BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
8、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为4，求BG的长．
、
【解析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）∵ABCD为正方形，∴ED∥BG， ∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．
1、如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【解析】△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，∴△EDC∽△CBP，故有3对.
2、如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B． C． D．
【解析】C．
3、如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，
这样的直线共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解析】C.
∵截得的三角形与△ABC相似， ∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意 ∴过点M作直线l共有三条．
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知识梳理
（一）相似三角形的概念
对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．
1、相似三角形是相似多边形中的一种；
2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；
3、相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；
4、相似用“∽”表示，读作“相似于”；
5、相似三角形的对应边之比叫做相似比，书写对应边的比时，一定要找准对应边。
（二）相似三角的判定方法
1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
（三）相似三角形基本类型
1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC
2、相交线型：常见的有如下四种情形
（1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC
（2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB
（3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC
3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，
下图为常见的基本图形．
4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．
5、斜交型：
如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”）
6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”\“三垂直型”）
例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
例2、如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD AC D．=
例3、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．
例4、如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC CD的大小关系； （2）求∠ABD的度数．
例1、下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）
A． B． C． D．
例2、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
例3、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）
例1、如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
1、下列命题中，是真命题的为（　　）
A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似
2、 如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（　　）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
第2题图 第3题图 第4题图
3、如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．正确的有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
4、如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，
设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB； （2）求证：△ADF∽△BAD．
6、如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．
1、下列命题中，真命题是（　　）
①同旁内角互补，两直线平行．②三角形任意两边之和不小于第三边；③两条对角线平分的四边形是平行四边形；④两边及其中一角对应相等的两个三角形全等；⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
A．①③⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③④⑤
2、如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，
不能推出△ABP与△ECP相似的是（　　）
∠APB＝∠EPC　 B. ∠APE＝90°
C. P是BC的中点 D. BP︰BC＝2︰3
第2题图 第3题图 第4题图
3、如图，在 ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B． C． D．
5、如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．下列结论错误的是（　　）
A．四边形EDCN是菱形 B．四边形MNCD是等腰梯形
C．△AEM与△CBN相似 D．△AEN与△EDM全等
第5题图 第6题图
6、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有（　　）
①∠EAF=45°； ②△ABE∽△ACD；
③AE平分∠CAF； ④BE2+DC2=DE2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为4，求BG的长．
1、如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
第1题图 第2题图 第3题图
2、如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B． C． D．
3、如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，
这样的直线共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
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