资源简介

第14讲 模型思想课--垂直模型中的相似
模块一、双垂直模型中的相似
⑴ 如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方场内的点B，
已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离MN= 米．
⑵ 如右图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米．已知小华的身高为米，那么他所住楼房的高度为 米．
⑶ 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度等于（ ）
A． B． C． D．
⑷ 如图，正方形中，为的中点，于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
⑸ 如图1，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图2所示的四边形．若，，那么这个四边形的面积是_____________．
⑴ C；⑵ ；⑶ B；⑷ D；⑸ .
模块二、三垂直模型中相似
在中，，于， 则在这个图形中，我们可以得到个直角三角形， 这个直角三角形两两相似，即 进而可以得到组比例关系，这组比例关系中，有个比例式比较特殊： ⑴ ；⑵ ；⑶ ， 这个比例式转化为乘积式为： ⑴；⑵ ；⑶ ， 这就是著名的“射影定理”
【例1】⑴如图，在中，为直角，于点，，，写出其中的一对相
似三角形是 和 ；并写出它的面积比 ．
⑵ 如图，中，于，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）
①； ②； ③；④； ⑤
A．1　 B．2 C．3 D．4
⑶ 如图，是斜边上的高，如果两条直角边，则 ．
⑴ 答案不唯一，和，；⑵ C；
⑶
由题意，，，
则，，
又，，，，，
则，∴．
如图，已知中，，是边上中线，是边上的中线，且于
点，于点，若，，求的长．
【解析】连结
∵，
∴，即，
又∵，且
则，，
∴，，
∵是边中线，是边中线，
∴，
∴，∴，
在中，，
∴，∴．
【例1】 ⑴如图，梯形中，，，为上一点，且，若，，
，则= ．
⑵如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么 ．
⑴ 10；⑵ 4
(3) 如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是 ．
【解析】(3) ．
抓住相似模型．
，
∴
设，，∴
在中，
，∴
正方形的面积为．
【例2】 等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、
F. 如图，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.
【解析】⑴ 可证△EBP∽△PCF.
∴ ．
设BP=x，则 ．解得 .
∴ PE的长为4或．
【例3】如图，在平面直角坐标系xoy中，B(0，4)，C(2，0)，点D在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且CD＝，∠BCD＝90°，以BC为边作□BCEF，其中点F在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点E在x轴上，求点E的横坐标．
【解析】过点D作DH⊥x轴，垂足为点H．OB＝4，OC＝2，BC＝2．易证△BOC∽△CHD，∴．∴CH＝2．DH＝1．∴D(4，1)．∵点D在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴k＝4，y＝．y＝4代入得x＝1．∴F(1，4)，BF＝1．∴在□BCEF中，CE＝BF＝1，OE＝3．故点E的横坐标为3．
【例4】已知抛物线与x轴的交点为A（1，0），与y轴交于点C，点D为抛物线上一点，∠ACD＝60°，求点D的横坐标．
【解析】过点A作ABAC交CD的延长线于点B，过点B作BEx轴，垂足为点E，A（1，0），C（0，），则OA＝1，OC＝，易证△OAC∽△EBA．∴．
∴BE＝OA＝，AE＝，∴B（10，）．直线CB解析式为y＝．该直线与抛物线y＝，联立得：，x＝0或，∴，故D点横坐标为
1、如图，是一块锐角三角形余料，边mm，高mm，要把它加工成长方形零件，使长方形的边在上，其余两个顶点分别在上．求这个长方形零件面积的最大值。
设长方形零件的边，则．
∵
∴，
∴，
∴
∴ ，解得
所以长方形的面积
当时，．
（mm）．
所以这个长方形零件面积的最大值是．
2、如图，斜边上的高为，若，，则 ， ， ．
【解析】，，．
如图，中，，于，是上任意一点，连结，过作于，求证：．
∵，
∴
又
∴
∴，即
又∵为直角三角形，
∴
又
∴
∴，即
∴．
4、如图，在中，，，．点在斜边上，分别作，，垂足分别为、，得四边形．设，．
⑴ 用含的代数式表示为 ；
⑵ 求与之间的函数关系式，并求出的取值范围；
⑶ 设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值．
⑴ ；
⑵ 可证
∴
∴
∴
⑶
当时，取到最大值为．
5、如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．点为线段上一点（不包括端点），且，求的面积．
如图，设，则．
∵，∴．
又，
∴．
又∵．
∴
∴．即．
解得，（不符合题意，舍去）．
∴，即．
当时，，
∴，，
．
6、如图，一次函数y＝－x＋2的图象与反比例函数y＝的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C．若AC＝2BC，求m的值．
解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．∴△ACD∽△BCE．∴，∴AD＝2BE．设B点纵坐标为－n，则A点纵坐标为2n．∵直线AB的解析式为y＝－x＋2，∴A(3－3n，2n)，B(3＋n，－n)，∵反比例函数y＝的图象经过A，B两点，∴(3－3n)·2n＝(3＋n)·(－n)，解得n＝2或n＝0(舍去)，∴m＝(3－3n)·2n＝－3×4＝－12．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第14讲 模型思想课--垂直模型中的相似
模块一、双垂直模型中的相似
⑴ 如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方场内的点B，
已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离MN= 米．
⑵ 如右图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米．已知小华的身高为米，那么他所住楼房的高度为 米．
⑶ 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度等于（ ）
A． B． C． D．
⑷ 如图，正方形中，为的中点，于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
⑸ 如图1，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图2所示的四边形．若，，那么这个四边形的面积是_____________．
模块二、三垂直模型中相似
在中，，于， 则在这个图形中，我们可以得到个直角三角形， 这个直角三角形两两相似，即 进而可以得到组比例关系，这组比例关系中，有个比例式比较特殊： ⑴ ；⑵ ；⑶ ， 这个比例式转化为乘积式为： ⑴；⑵ ；⑶ ， 这就是著名的“射影定理”
【例1】⑴如图，在中，为直角，于点，，，写出其中的一对相
似三角形是 和 ；并写出它的面积比 ．
⑵ 如图，中，于，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）
①； ②； ③；④； ⑤
A．1　 B．2 C．3 D．4
⑶ 如图，是斜边上的高，如果两条直角边，则 ．
如图，已知中，，是边上中线，是边上的中线，且于
点，于点，若，，求的长．
【例1】 ⑴如图，梯形中，，，为上一点，且，若，，
，则= ．
⑵如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么 ．
(3) 如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是 ．
【例2】 等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、
F. 如图，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.
【例3】如图，在平面直角坐标系xoy中，B(0，4)，C(2，0)，点D在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且CD＝，∠BCD＝90°，以BC为边作□BCEF，其中点F在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点E在x轴上，求点E的横坐标．
【例4】已知抛物线与x轴的交点为A（1，0），与y轴交于点C，点D为抛物线上一点，∠ACD＝60°，求点D的横坐标．
1、如图，是一块锐角三角形余料，边mm，高mm，要把它加工成长方形零件，使长方形的边在上，其余两个顶点分别在上．求这个长方形零件面积的最大值。
2、如图，斜边上的高为，若，，则 ， ， ．
如图，中，，于，是上任意一点，连结，过作于，求证：．
4、如图，在中，，，．点在斜边上，分别作，，垂足分别为、，得四边形．设，．
⑴ 用含的代数式表示为 ；
⑵ 求与之间的函数关系式，并求出的取值范围；
⑶ 设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值．
5、如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．点为线段上一点（不包括端点），且，求的面积．
6、如图，一次函数y＝－x＋2的图象与反比例函数y＝的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C．若AC＝2BC，求m的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑