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第1讲 推理能力课--平行四边形证明
知识梳理
一、平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示方法：用符号“”表示，平行四边形记作“”。
（2）平行四边形的边、角性质
边的性质：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等。
角的性质：①平行四边形的对角相等；②平行四边形的邻角互补。
（3）两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的
距离，叫做这两条平行线之间的距离。
（4）平行四边形的对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。、
（5）平行四边形的周长与面积
①面积公式：平行四边形的面积=底高；
②等底等高的平行四边形的面积相等；
③平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。
二、平行四边形判定方法
（1）从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）从角看：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）从对角线看：①对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三、三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；
（2）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的
一半。
例1、如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　）
A．150° B．130° C．120° D．100°
图1 图2 图3 图4
例2、如图2， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（　　）
A．13 B．17 C．20 D．26
例3、如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　）
A．OE=DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE
例4、如图,4，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为　 　．
例5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
例6、如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．
例7、如图，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
1、如图，在 ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（　 　）
A．2 B．3 C．4 D．6
第1题图 第2题图 第4题图 第5题图
2、如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm
3、如图，在 ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
4、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO
5、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（　　）
A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE
6、如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
1、如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（　　）
A．10 B．14 C．20 D．22
第1题图 第2题图 第4题图 第5题图
2、如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　）
A．66° B．104° C．114° D．124°
3、能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（　　）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
4、某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（　　）
A．3300m B．2200m C．1100m D．550m
5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，点E是边CD上一点，连接BE，并延长与AD的延长线相交于点F，请你只添加一个条件：　 　，使四边形BDFC为平行四边形．
6、如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A+∠B=136°，则∠ANM=　 　°．
第6题图 第7题图
7、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=　 　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
1、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是　 ．（填写一组序号即可）
2、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
1、如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
第1题图 第2题图 第4题图 第5题图
2、如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠B=150°，则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A．2 B．3 C． D．6
3、下列结论中一定成立的是（　　）
A．如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．如果四边形ABCD的对角线AC平分BD，那么四边形ABCD是平行四边形
D．三条边相等的四边形是平行四边形
4、如图，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，E是AB边的中点．则DE的长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是
　　 cm．
6、如图所示，在 ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为　 　．
第6题图 第7题图
7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=　 　时，四边形ADFE是平行四边形．
8、如图，已知 ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．
（1）求证：△ADG≌△FDM．
（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．
9、如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．
10、如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
11、如图Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE． EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）求四边形ADFE的周长．
12、如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
13、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的长．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 推理能力课--平行四边形证明
知识梳理
一、平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示方法：用符号“”表示，平行四边形记作“”。
（2）平行四边形的边、角性质
边的性质：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等。
角的性质：①平行四边形的对角相等；②平行四边形的邻角互补。
（3）两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的
距离，叫做这两条平行线之间的距离。
（4）平行四边形的对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。、
（5）平行四边形的周长与面积
①面积公式：平行四边形的面积=底高；
②等底等高的平行四边形的面积相等；
③平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。
二、平行四边形判定方法
（1）从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）从角看：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）从对角线看：①对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三、三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；
（2）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的
一半。
考点精讲
例1、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　）
A．150° B．130°
C．120° D．100°
【解答】选C．由平行四边形的性质可知：AD//BC，所以∠DEB+∠EBC=180°且∠A+∠ABC=180°，所以可先求出∠EBC=30°，再由角平分线的性质可推出∠A为120°
例2、如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（　　）
A．13 B．17
C．20 D．26
【解答】选B．
例3、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　）
A．OE=DC B．OA=OC
C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，
又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，
∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；
∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．
例4、如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为　36°　．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，
∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，∴∠FED′=108°﹣72°=36°；故答案为：36°．
例5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF=×4×2=4．
例6、如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△BEF都是等边三角形，
∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠EAD=60°，
∴∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD．
（2）由（1）得△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
∵△BEF、△ABC是等边三角形，
∴BE=EF，
∴∠EFB=∠ABC=60°，
∴EF∥CD，
∴BE=EF=CD，
∴EF=CD，且EF∥CD，
∴四边形EFCD是平行四边形
例7、如图，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE的长为（　　）
A．2 B．4
C．6 D．8
【解答】∵DE是△ABC的中位线，BC=8，∴DE=BC=4，故选B．
强化练习
1、如图，在 ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（　　）
A．2 B．3
C．4 D．6
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，
同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．
2、如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　）
A．3cm B．4cm
C．5cm D．8cm
【解答】∵ ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B
3、如图，在 ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
【解答】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，∴∠ABE=∠FCE，
∵E为BC中点，∴BE=CE，
在△ABE与△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB=FC；
（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，∴AD=DF，
∵△ABE≌△FCE，∴AE=EF，∴DE⊥AF．
4、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO
【解答】选：D．
5、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（　　）
A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE
【解答】∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，
∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，∵，
∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．
6、如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
【解答】（1）在△ABC中，∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，∴DE=BC，∵CF=BC，∴DE=CF．
（2）∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB，∵BC=4，BD=2，∴CD==2，
∵DE∥CF，DE=CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴EF=CD=2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．∵∠DHC=90°，∠DCB=30°，∴DH=DC=，
∵DE=CF=2，∴S四边形DEFC=CF DH=2×=2
1、如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（　　）
A．10 B．14
C．20 D．22
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长是：14．故选：B．
2、如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　）
A．66° B．104°
C．114° D．124°
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，
∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．
3、能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（　　）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3
C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
【解答】选D．
4、某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（　　）
A．3300m B．2200m
C．1100m D．550m
【解答】选：B．
5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，点E是边CD上一点，连接BE，并延长与AD的延长线相交于点F，请你只添加一个条件：　BC=DF　，使四边形BDFC为平行四边形．
【解答】∵四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥DF，∴当BC=DF时，四边形BDFC是平行四边形．
故答案为：BC=DF．
6、如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A+∠B=136°，则∠ANM=　44　°．
【解答】在△ABC中，∵∠A+∠B=136°，
∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣136°=44°，
∵△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，∴MN∥BC，
∠ANM=∠ACB=44°．故答案为：44．
7、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=　2或6　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【解答】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BC﹣BF=6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=6﹣2t，解得：t=2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BF﹣BC=2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t﹣6，解得：t=6；
综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6
1、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是　①③　．（填写一组序号即可）
【解答】可选条件①③，
∵AD∥BC，∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴DO=BO，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为：①③．
2、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．
1、如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD=135°，
∴∠MCD=180°﹣∠DCB=180°﹣135°=45°．故选A．
2、如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠B=150°，则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A．2 B．3 C． D．6
【解答】选B．
3、下列结论中一定成立的是（　　）
A．如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．如果四边形ABCD的对角线AC平分BD，那么四边形ABCD是平行四边形
D．三条边相等的四边形是平行四边形
【解答】选A．
4、如图，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，E是AB边的中点．则DE的长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】∵在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，
∴D是AC的中点．∵E是AB边的中点，∴DE=BC=×10=5．故选B．
5、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是　5　 cm．
【解答】如上图所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，
同理有EF=AB，DF=BC，
∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．
6、如图所示，在 ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为　50°　．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，
∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．
∵EF⊥BF，∴∠F=90°，
∴∠BEF=90°﹣40°=50°．
故答案是：50°．
7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=　　时，四边形ADFE是平行四边形．
【解答】当=时，四边形ADFE是平行四边形．
理由：∵=，∴∠CAB=30°，
∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，
∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；
∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．
8、如图，已知 ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．
（1）求证：△ADG≌△FDM．
（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAF=∠DFA，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=FD，
∵DE⊥BC，DH⊥AB，∴∠ADG=∠FDM=90°，
在△ADG和△FDM中，，∴△ADG≌△FDM（ASA）．
（2）AB=DG+EC．证明：延长GD至点N，使DN=CE，连接AN，
∵DE⊥BC，AD∥BC，∴∠ADN=∠DEC=90°，
在△ADN和△DEC中，，∴△ADN≌△DEC（SAS），
∴∠NAD=∠CDE，AN=DC，∵∠NAG=∠NAD+∠DAG，∠NGA=∠CDE+∠DFA，
∴∠NAG=∠NGA，∴AN=GN=DG+CE=DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AB=DG+EC．
9、如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，
∵BE=EC=CF，∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF．
（2）四边形AECD的形状是平行四边形，证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，
∵∠ACB=∠F，∴AC∥DF，∴四边形ACFD是平行四边形，∴AD∥CF，AD=CF，
∵EC=CF，∴AD∥EC，AD=CE，∴四边形AECD是平行四边形．
10、如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
【解答】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE=EC．
∵BD=CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF=（AB﹣AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF=DE=BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG=AC，
∴BF=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）．
11、如图Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE． EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）求四边形ADFE的周长．
【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：∵∠BAC=30°，BC=2，∠ACB=90°，
∴AB=AE=4，
∵AF=BF=AB=2，
则EF=AD=2，
故四边形ADFE的周长为：2（4+2）=8+4．
12、如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
【解答】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，
所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；
②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=3，
所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，
由勾股定理得，CG===，
所以，四边形BDFC的面积=3×=3；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．
13、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的长．
【解答】证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG=BC，EF∥BC，EF=BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：过点O作OM⊥BC于M，
Rt△OCM中，∠OCM=30°，OC=4
∴OM=OC=2，
∴CM=2，
Rt△OBM中，∠BMO=∠OMB=45°，
∴BM=OM=2，
∴BC=2+2，∴EF=1+．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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