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第2讲 推理能力课--特殊四边形证明
知识梳理
（一）菱形
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2、菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
3、菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）
4、菱形的判定：
①一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
（二）矩形
1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2、矩形的性质：
平行四边形的性质矩形都具有；
角：矩形的四个角都是直角；
边：邻边垂直；
对角线：矩形的对角线相等；
矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．
3、由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4、矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
说明：
证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
（三）正方形
1、定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2、正方形的性质：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
3、正方形的判定：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
例2、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3、如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
例1、矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
例2、矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（　　）
A． B． C． D．
例3、如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
例1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等
例2、如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（　　）
A．﹣4+4 B．4+4 C．8﹣4 D．+1
例3、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，且AF=BP=CQ=DE．
求证：（1）EF=FP=PQ=QE；
（2）四边形EFPQ是正方形．
矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为
（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）
例2、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　）
A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，）
例1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
例2、如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E．
（1）求证：△BEA≌△DEF；
（2）若AB=2，AD=4，求AE的长．
1、下列性质中，菱形对角线不具有的是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2、如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE的长为cm，则对角线BD的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．cm D．2cm
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3、如图，在菱形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1=∠2 B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC═BD
4、如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
5、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；
④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为（　　）
A．6 B．1.5 C． D．
7、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8、如图，已知点E，F分别是 ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．
9、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在DG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，求CH的长．
1、下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形；
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等；
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）
A． B．2 C．+1 D．2+1
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3、如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使 ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（　　）
A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC
4、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，则DE的长度是（　　）
A．3 B．5 C． D．
5、如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（　　）
A．S=2 B．S=2.4 C．S=4 D．S与BE长度有关
6、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
1、在平面中，下列命题为真命题的是（　　）
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
2、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，则此菱形的面积为（　　）
A．48cm2 B．24cm2 C．18cm2 D．12cm2
3、如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（　　）
A．4.5 B．5 C．6 D．9
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
4、已知菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠DAO=30°，点D的坐标为（0，2），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路线，以每秒1个单位长度的速度在菱形ABCD的边上移动，当移动到第2016秒时，点P的坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2）
5、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）
A． B． C． D．
6、如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1 O1的对角线交BD于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC2016O2016的面积为（　　）
A． B． C． D．
7、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
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I. 知识梳理
（一）菱形
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2、菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
3、菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）
4、菱形的判定：
①一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
（二）矩形
1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2、矩形的性质：
平行四边形的性质矩形都具有；
角：矩形的四个角都是直角；
边：邻边垂直；
对角线：矩形的对角线相等；
矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．
3、由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4、矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
说明：
证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
（三）正方形
1、定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2、正方形的性质：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
3、正方形的判定：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
II.考点精讲
例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
【解析】A．
例2、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，
∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；
②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，
∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；
③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；
④S△ABD=AB DE=AB BE=AB AB=AB2，即④正确．
综上可得①②④正确，共3个．故选C．
例3、如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
【解析】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，
∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8．
例1、矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【解析】A．
例2、矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（　　）
A． B．
C． D．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AB∥CD， BC=AD=1，∠C=90°，
∴∠BAM=∠AMD，∵AM平分∠DMB，∴∠AMD=∠AMB，∴∠BAM=∠AMB，
∴BM=AB=2，∴CM===，
∴DM=CD﹣CM=2﹣；故选：D．
例3、如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
【解析】证明：（1）∵∠ABD的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE=∠ABD，∵∠CDB的平分线DF交BC于点F，
∴∠CDF=∠CDB，∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CDF=∠ABE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，∠A=∠C，
即，∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．
例1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等
【解析】B．
例2、如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（　　）
A．﹣4+4 B．4+4
C．8﹣4 D．+1
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=45°，AD=CD=2，
则S△ACD=AD CD=×2×2=2；AC=AD=2，则EC=2﹣2，
∵△MEC是等腰直角三角形，∴S△MEC=ME EC=（2﹣2）2=6﹣4，
∴阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC=2﹣（6﹣4）=4﹣4．故选：A．
例3、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，且AF=BP=CQ=DE．
求证：（1）EF=FP=PQ=QE；
（2）四边形EFPQ是正方形．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵AF=BP=CQ=DE，∴DF=CE=BQ=AP，
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF=FP=PQ=QE；
（2）∵EF=FP=PQ=QE，∴四边形EFPQ是菱形，
∵△APF≌△BQP，∴∠AFP=∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF=90°，∴∠APF+∠BPQ=90°，∴∠FPQ=90°，∴四边形EFPQ是正方形．
矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为
（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）
【解析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交
点为E，此时△CDE的周长最小．
∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），
∴直线CH解析式为y=﹣x+4，
∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．
例2、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　）
A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，）
【解析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此时PC+PD最短，
在RT△AOG中，AG===，
∴AC=2，∵OA BK= AC OB，
∴BK=4，AK==3，
∴点B坐标（8，4），
∴直线OB解析式为y=x，直线AD解析式为y=﹣x+1，
由解得，∴点P坐标（，）．故选D．
例1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】设CH=x，则DH=EH=9﹣x，
∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．
例2、如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E．
（1）求证：△BEA≌△DEF；
（2）若AB=2，AD=4，求AE的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，
∵把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E，
∴DF=CD，∠F=∠C=90°，∴AB=FD，∠A=∠F，
在△BEA和△DEF中∴△BEA≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵△BEA≌△DEF，∴BE=DE=AD﹣AE=4﹣AE，
在Rt△BAE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，∴22+AE2=（4﹣AE）2，解得：AE=．
1、下列性质中，菱形对角线不具有的是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【解析】C．
2、如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE的长为cm，则对角线BD的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．cm D．2cm
【解析】如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB=BC=2cm，∵高AE长为cm，∴BE==1（cm），
∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∴△ACB是等边三角形，
∴OA=1cm，AC⊥BD，∴OB==（cm），∴BD=2OB=2cm，故选：D．
3、如图，在菱形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1=∠2 B．AC⊥BD
C．AB=AD D．AC═BD
【解析】D．
4、如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【解析】根据菱形的对角相等得∠ADC=∠B=70°．
∵AD=AB=AE，∴∠AED=∠ADE．根据折叠得∠AEB=∠B=70°．
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=70°，
∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAE）÷2=55°．∴∠EDC=70°﹣55°=15°．故选B．
5、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；
④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】②错误，故选C．
6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为（　　）
A．6 B．1.5 C． D．
【解析】连接OE，∵△OBE的面积+△OCE的面积=△OBC的面积，
∴OB EM+OC EN=BC AB，
∴（EM+EN）×=×2×3，得：EM+EN=；故选D．
7、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解析】连接AC，EC，EC与BD交于点P，此时PA+PE的最小，
∵正方形ABCD中，AB=BC=1，E为AB中点，∴BE=，
∴EC==，故选A．
8、如图，已知点E，F分别是 ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，
∴AE=BC=CE，同理，AF=AD=CF，
∴AE=CE=AF=CF，∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接EF交AC于点O，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，∴AC=BC=5，AB=AC=5，
∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，OA=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=AB=，
∴EF=5，∴菱形AECF的面积=AC EF=×5×5=．
9、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在DG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，求CH的长．
【解析】∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，
BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF===2
∴CH=AF=．
1、下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形；
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等；
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】正确的只有③，故选A．
2、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）
A． B．2 C．+1 D．2+1
【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=BC=，CF=CD=，
∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．
3、如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使 ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（　　）
A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC
【解析】C．
4、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，则DE的长度是（　　）
A．3 B．5 C． D．
【解析】D．
5、如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（　　）
A．S=2 B．S=2.4 C．S=4 D．S与BE长度有关
【解析】连接FB∵四边形EFGB为正方形；∴∠FBA=∠BAC=45°，
∴FB∥AC；∴△ABC与△AFC是同底等高的三角形∴S=2；故选A
6、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
【解析】（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC DF=×4×5=10．
1、在平面中，下列命题为真命题的是（　　）
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【解析】C．
2、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，则此菱形的面积为（　　）
A．48cm2 B．24cm2 C．18cm2 D．12cm2
【解析】B．
3、如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（　　）
A．4.5 B．5 C．6 D．9
【解析】∵四边形ABCD为菱形，且周长为36，∴AB=BC=CD=AD=9，
又∵O为BD中点，H为AD的中点，∴OH为△ABD的中位线，∴OH=AB=4.5，故选A．
4、已知菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠DAO=30°，点D的坐标为（0，2），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路线，以每秒1个单位长度的速度在菱形ABCD的边上移动，当移动到第2016秒时，点P的坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2）
C．（2，0） D．（0，2）
【解析】在RT△AOD中，∵∠AOD=90°，∠DAO=30°，OD=2，
∴AD=2OD=4，OA==2，
∵点P的运动速度为1米/秒，∴从点A到点B所需时间==4秒，
∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．∵=126，
∴移动到第2016秒和第16秒的位置相同，当P运动到第16秒时点P在点A处，
∴移动到第2016秒时，点P的坐标为（﹣2，0）．故选A．
5、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）
A． B． C． D．
【解析】：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，
又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，
∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．
6、如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1 O1的对角线交BD于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC2016O2016的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解析】=S矩形ABCD，=，
∴= S矩形ABCD=，同理可得：平行四边形ABO2C2的面积=，
平行四边形ABO3C3的面积=，…∴平行四边形ABC2016O2016的面积=．故选B．
7、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，
∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；
（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，
延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵，
∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．
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