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图形变换课--旋转变换
模块一.旋转作图方法技巧：
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，同一旋转图中旋转角是相等的，根据这一性质可以画旋转图形；各对应点到旋转中心的距离相等，通过作两对对应点的中垂线，可以确定旋转中心。
【例1】如图，△ABC绕B点旋转后，点O是点A的对应点，画出△ABC旋转后的三角形.
【解析】要画出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C '.
【例2】如图，在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点。已知A（－2，2），C（－1，－2），将△ABC绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（ ）
A.（2，－2） B.（－5，－3） C.（2，2） D.（3，－1）
答案：D .【解析】将点A右移2个单位，再下移2个单位到原点O，如图建立直角坐标系，取点D（－1，2），则△ADC为直角三角形，且AD＝1，DC＝4，将△ADC绕点C顺时针旋转90°到RtB△A'D'C，则A'D'＝1，CD'＝4.即将点C右移4个单位，然后上移1个单位，得点A'（3，－1）.
【例3】如图，四边形ABCD绕点O旋转后，顶点A的对应点为点E，试确定点B，点C，点D的对应点的位置以及旋转后的四边形。
【解析】如图，点B，C，D的对应点分别是点F，G，H，四边形EFGH是四边形ABCD绕点O旋转后得到的四边形。
【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，△A'B'C'由△ABC绕点P旋转得到，则点P坐标为 .
答案：（1，－1）.【解析】连AM '，CC '，分别作它们的中垂线，两中垂线的交点为P（1，－1）.
1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，－4），B（0，－4），C（1，－1）.
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，则点C2的坐标为 ；
（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为 .
解：（1）如图C1（1，1）；
（2）如图C2（－3，3）；
（3）如图，作BB2的中垂线，作CC2的中垂线，两中垂线的交点为（－3，－1），即旋转中心为（－3，－1）.
模块二.直角坐标系中画旋转图形方法技巧
紧扣三要素画图，数形结合求坐标.
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，OA＝2，∠AOB
＝30°，∠ABO＝45°
（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转120°后的图形；
（2）求旋转变换后点B的对应点B'的坐标；
【解析】（1）如图；
（2）过点A作AC⊥OB于点C，可求AC＝OA＝1，OC＝，OB＝O'B＝＋1，
因∠B'OB＝120°，故点B'与点B关于y轴对称，
过点B作BD⊥x轴于点D，BD＝OB＝＋，OD＝BD＝＋，
故点B的坐标为（＋，＋），点B'坐标为（－－，＋）.
【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－4，0），B（0，2），点P（a，a）.若∠APB＝90°，请直接写出a的值 .
答案：－1或0【解析】∵AP2＝（a＋4）2＋a2，BP2＝（a－2）2＋a2，AB2＝16＋4＝20，∠APB＝90°，
∴AP2＋BP2＝AB2，即2a2＋8a＋16＋2a2－4a＋4＝20，a1＝－1，a2＝0.
1.如图，已知直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，将该直线绕点B顺时针旋转45°，求旋转后所得直线的解析式.
解：A（－1，0），B（0，2），过点A作AC⊥AB交旋转后的直线于点C，作CD⊥x轴于点D，
∵∠ABC＝45°，∴AB＝AC，再证△AOB≌△CDA，∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，
∴C（－3，1），由B（0，2），C（－3，1），可求旋转后直线的解析式为y＝x＋2.
2.已知点A的坐标为（2，4），点M为x轴上一动点，将点A绕点M（m，0）顺时针旋转90°得到点C.若点C恰好落在坐标轴上，则m＝ .
答案：2或－4解：当m＞2时，点C在第一象限，不合；当m＝2时，若点C在x轴上，AM⊥MC，
故△AMC为等腰直角三角形，符合，∴m＝2；当m＜2时，点C只可能在y轴负半轴上，
此时△AM2C2为等腰直角三角形，△AM1M2≌△M2OC2，M2O＝AM1＝4，m＝－4，故m＝2或－4.
模块三.用无刻度的直尺画旋转图形方法技巧
格点多边形绕格点旋转90°的整数倍后，各格点仍落在格点上，所以常构造“K型”全等寻找旋转后多边形的顶点。
【例1】如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（－1，－1），B（－3，3），C（－4，1）都是格点，点B关于y轴的对称点为点B1；
（1）描出点B1，并写出点B1的坐标。
（2）画出△ABC绕某格点按顺时针方向旋转n°（0＜n＜180）后得到△A1B1C1，且A，C的对应点A1，C1都在图中的格点上，写旋转中心的坐标及n的值；
（3）写出线段BC与B1C1的关系。
【解析】（1）画图略，B1（3，3）；
（2）旋转中心的坐标为（0，0），n＝90；
（3）BC⊥B1C1且BC＝B1C1.
【例2】如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（2，1），B（5，4），C（1，8）都是格点。
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC统点A顺时针旋转角度α得到△AB1C1，α＝∠BAC，其中B，C的对应点分别为B1，C1，操作如下：
第一步：找一个格点D，连接AD，使∠DAB＝∠CAB；
第二步：找两个格点C1，E，连接C1E交AD于B1；
第三步：连接AC1，则△AB1C1即为所作出的图形；
请你按步骤完成作图，并直接写出D，C1，E三点的坐标。
【解析】（1）△ABC为直角三角形；
（2）D（9，0），C1（7，6），E（6，－1）.
模块四.利用旋转图形的性质求角度方法技巧
1．利用等腰求角度；
2．通过旋转“化散为聚”求角度．
【例1】如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△，点恰好落在边AB上，连接，则∠＝ ．
答案：【解析】＝AB，∠＝＝70°，∠＝90°－∠＝20°．
【例2】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点B，C，D在一条直线上，点C，F重合），将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后得到△（0＜n＜180），如果//AB，那么n 的值为 ．
答案：
【解析】当//AB时，∠＝∠BAC＝45°，n＝45．
【例1】如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，，求∠BPQ的度数．
答案：
【解析】将△APD绕点A顺时针旋转90°，得△；结合边的隐含关系()＋()＝()，利用勾股定理逆定理可得到△是直角三角形，∠APB＝135°，故∠BPQ＝145°．
【例2】如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD，∠BAE＋∠BCD＝180°，M是ED的中点，连接AM，CM，且AM＝CM，求∠BCD的度数．
答案：
【解析】将△CDM绕点M旋转180°得△FEM，则△CDM≌△FEM，∴EF＝CD＝BC，∠FEM＝∠D，∴∠ABC＝∠AEF，证△AEF≌△ABC，∴∠BAC＝∠EAF，AC＝AF，
又MF＝MC＝AM，∴△ACF为等腰直角三角形，∴∠CAF＝90°，
又∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BCD＝180°－∠BAE＝90°．
【点评】这一类题型具有的特点是：等线段、共端点以及特殊角．通过旋转“使相等的边重合，得出特殊图形”．
【例3】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．
答案：
【解析】将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB，连接DP，
得AD＝AP，DB＝PC＝，∠DAP＝60°，从而可证△ADP为等边三角形，
所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°，在△DPB中，
利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°，从而可得∠APB＝120°．
1．如图，点P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△．
（1）求点P与点之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
答案：
解：（1）连接，由题意可知＝AP，∠PAC＝∠，PC＝，
又∵∠PAC＋∠BAP＝60°，∴∠＝60°．∴△为等边三角形，∴＝AP＝＝6．
（2）∵＋BP＝，∴△为直角三角形，且∠＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°．
2．如图，点P为等边△ABC内一点，∠APB＝113°，∠APC＝123°，求证：以AP，BP，CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数．
答案：
解：将△APC绕点C逆时针旋转60°，得△BCP1，∴AP＝BP1，∠BP1C＝∠APC＝123°，
由CP＝CP1，∠PCP1＝60°得△PCP1为等边三角形，∴PP1＝CP，∠CPP1＝∠CP1P＝60°，
这时，△BPP1就是以BP，AP，CP为三边构成的三角形，∠BP1P＝∠BP1C－∠CP1P＝∠APC－60°＝63°，又∠BPC＝360°－113°－123°＝124°，
∴∠BPP1＝∠BPC－∠CPP1＝64°，∠PBP1＝180°－63°－64°＝53°．
模块五.利用旋转图形的性质求线段长或面积
【例1】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，把△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE，AE，DC交于点F，当F为CD的中点时，求AF的长．
答案：
【解析】过点D作DM⊥AE于点M，过点C作CN⊥AE于点N，DM＝AE＝4，
由△DMF≌△CNF得CN＝DM＝4，
在Rt△ANC中，AN＝＝，AM＝DM＝4，MN＝－4，MF＝MN＝－2，
故AF＝AM＋MF＝4＋－2＝＋2．
【例2】如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，求四边形AB1OD的面积．
答案：
【解析】AC＝，AB1＝1，故B1C＝－1，在Rt△OB1C中，∠OCB1＝45°，
故OB1＝CB1＝－1，＝OB1·B1C＝，S△ADC＝DA·DC＝，
故S＝S△ADC－＝－＝＝－1．
【例3】在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接DP，将DP绕点D逆时针旋转90°后得到线段DE，连接PE，点C关于直线PE的对称点是，连接，，，若四边形是平行四边形，PC＝2，则平行四边形的面积是 ．
答案：
【解析】过点P作PQ⊥CD于点Q，延长交AD于点G，设交DC于点H，则△PQD≌△DHE，∵PC＝2，∴PQ＝GD＝DH＝＝，
∵点与点C关于PE对称，∴＝PC＝QH＝2，∴CD＝AD＝2＋2，
∴＝AD·DH＝4＋2．
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且点A，，在同一条直线上，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．3
答案：
解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，BC＝2，故AB＝4，AC＝＝2，＝AC，∠＝∠＝30°，故∠＝120°，过点C作CH⊥于点H，则HC＝AC＝，＝＝3，＝2＝6，故选A．
2．如图．在△ABC中，∠BAC＝150°，D，E为线段BC上的两点，∠DAE＝60°，且AD＝AE，若DE＝3，CE＝5，则BD的长为 ．
答案：
解：将△ABC沿BA向上翻折至△BAF，连接AF，EF，FC，可得∠BAF＝∠BAC＝150°，∠FAC＝60°，△AFC为等边三角形，可证△ADC≌△AEF，∠AFE＝∠ACD，可得∠FEC＝∠FAC＝60°，
过点F作FH⊥BC于点H，EH＝EF＝8×＝4，HC＝1，FH＝4，设BD＝x，
则BF＝BC＝x＋8，在Rt△BFH中，BF2－BH2＝FH2
即(x＋8)2－(x＋7)2＝48，x＝，故BD＝．
1.如图，点A（0，2），B（1，2），C（2，4）.将△ABC绕点D旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1.
（1）画出点D的位置并写出点D的坐标；
（2）六个点A，B，C，A1，B1，C1中，取三点能构成直角三角形的个数有___个。
解：（1）D（2，1）；（2）4.
2．横，纵坐标均为整数的点叫做格点，如图，点A（1，3），B（2，0），C（0，1）都是格点．将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1（点B，C的对应点分别为B1，C1）．
（1）作出△AB1C1；
（2）找一个格点D，使直线BD平分四边形ACBB1的周长，画出该直线并直接写出点D的坐标．
答案：（1）B1（4，4），C1（3，2）；（2）D（3，7）．
3．如图，在下列14×14的网格中，横，纵坐标均为整数的点叫做格点，例如：A（1，3），B（7，－5），C（12，5）都是格点．
（1）直接写出△ABC的形状是 ；
（2）爱思考的小明探究出一种在网格中通过作图求△ABC的面积的方法：
①作出AB的中点E；
②将△ABC绕点E旋转锐角，使//y轴，并且点也是格点，请画出△，直接写出下列点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）；
③求△ABC的面积．
答案：（1）等腰三角形；（2）①作图略；②（4，4），（4，－6），（14，－1）；③50．
4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C都在格点上．
（1）△ABC的面积是 ；
（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点C顺时针旋转a°得到△DEC（其中0＜a＜180），点B的对应点E落在AC所在的网格线上，操作步骤如下：
第一步：取格点E，使CE＝CB＝5；
第二步：取格点F，使∠FCE＝∠ACB，且CF＝5，连接EF；
第三步：在射线AC上取一点N，使CN＝6，另取一点格点M，MN//EF；
第四步：延长CF交MN于点D，则△DEC为所作．
请你按步骤完成作图，并直接写出AD的长．
答案：（1）12；（2）图略，AD＝．
5．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，点A，B，C，M均在格点上．请你在图中找到一个点P，使得AP，AC关于直线AB对称（要求仅用无刻度的直尺作图）．操作步骤如下：
（1）第一步：将线段AB向上平移2个单位长度得到格点E，F（其中A，B的对应点分别为点E，F），在图中作出线段EF；
（2）第二步：将△MEF绕点O顺时针旋转90°得到△FDC（其中M，F的对应点分别为F，C），在图中作出D，O两点；
（3）第三步：连接CD交EF于点P，连接AP，则AP，AC关于直线AB对称，请简要说明理由．
答案：
（1）见答图；
（2）见答图；
（3）易证△MEF≌△FDC，∴CD⊥EF，∵AB//EF，∴AB⊥CP，∵FB＝CB，AB//EF，∴AB平分CP，∴AB垂直平分CP，∴AP，AC关于直线AB对称．
6．如图，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．
答案：
解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°得△，易证△为等腰直角三角形，∴＝，＝PC＝，在△中，AP＋＝，∴∠＝90°，∴∠APB＝45°．
7．如图，P为等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求S△ABC．
答案：
解：在AC右侧取点D，使∠DAP＝60°且DA＝PA，连接PD，则△APD为等边三角形，
可证△ABP≌△ACD（SAS），DC＝BP＝4，PD＝3，PC＝5，PC2＝PD2＋DC2，∠PDC＝90°，
过点A作AE⊥DC于点E，AE＝AD＝，DE＝，EC＝4＋，
AC2＝AE2＋EC2＝＋16＋＋12＝25＋12，
过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△AFC中，FC＝AC，AF＝＝AC，
S△ABC＝×BC×AF＝AC2＝＋9．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第3讲 图形变换课--旋转变换
模块一.旋转作图方法技巧：
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，同一旋转图中旋转角是相等的，根据这一性质可以画旋转图形；各对应点到旋转中心的距离相等，通过作两对对应点的中垂线，可以确定旋转中心。
【例1】如图，△ABC绕B点顺时针旋转90°后，点O是点A的对应点，画出△ABC旋转后的三角形.
【例2】如图，在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点。已知A（－2，2），C（－1，－2），将△ABC绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（ ）
A.（2，－2） B.（－5，－3） C.（2，2） D.（3，－1）
【例3】如图，四边形ABCD绕点O旋转后，顶点A的对应点为点E，试确定点B，点C，点D的对应点的位置以及旋转后的四边形。
【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，△A'B'C'由△ABC绕点P旋转得到，则点P坐标为 .
1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，－4），B（0，－4），C（1，－1）.
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，则点C2的坐标为 ；
（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为 .
模块二.直角坐标系中画旋转图形方法技巧
紧扣三要素画图，数形结合求坐标.
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，OA＝2，∠AOB
＝30°，∠ABO＝45°
（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转120°后的图形；
（2）求旋转变换后点B的对应点B'的坐标；
【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－4，0），B（0，2），点P（a，a）.若∠APB＝90°，请直接写出a的值 .
1.如图，已知直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，将该直线绕点B顺时针旋转45°，求旋转后所得直线的解析式.
2.已知点A的坐标为（2，4），点M为x轴上一动点，将点A绕点M（m，0）顺时针旋转90°得到点C.若点C恰好落在坐标轴上，则m＝ .
模块三.用无刻度的直尺画旋转图形方法技巧
格点多边形绕格点旋转90°的整数倍后，各格点仍落在格点上，所以常构造“K型”全等寻找旋转后多边形的顶点。
【例1】如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（－1，－1），B（－3，3），C（－4，1）都是格点，点B关于y轴的对称点为点B1；
（1）描出点B1，并写出点B1的坐标。
（2）画出△ABC绕某格点按顺时针方向旋转n°（0＜n＜180）后得到△A1B1C1，且A，C的对应点A1，C1都在图中的格点上，写旋转中心的坐标及n的值；
（3）写出线段BC与B1C1的关系。
【例2】如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（2，1），B（5，4），C（1，8）都是格点。
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC统点A顺时针旋转角度α得到△AB1C1，α＝∠BAC，其中B，C的对应点分别为B1，C1，操作如下：
第一步：找一个格点D，连接AD，使∠DAB＝∠CAB；
第二步：找两个格点C1，E，连接C1E交AD于B1；
第三步：连接AC1，则△AB1C1即为所作出的图形；
请你按步骤完成作图，并直接写出D，C1，E三点的坐标。
模块四.利用旋转图形的性质求角度方法技巧
1．利用等腰求角度；
2．通过旋转“化散为聚”求角度．
【例1】如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△，点恰好落在边AB上，连接，则∠＝ ．
【例2】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点B，C，D在一条直线上，点C，F重合），将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后得到△（0＜n＜180），如果//AB，那么n 的值为 ．
【例1】如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，，求∠BPQ的度数．
【例2】如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD，∠BAE＋∠BCD＝180°，M是ED的中点，连接AM，CM，且AM＝CM，求∠BCD的度数．
【例3】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．
1．如图，点P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△．
（1）求点P与点之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
2．如图，点P为等边△ABC内一点，∠APB＝113°，∠APC＝123°，求证：以AP，BP，CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数．
模块五.利用旋转图形的性质求线段长或面积
【例1】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，把△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE，AE，DC交于点F，当F为CD的中点时，求AF的长．
【例2】如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，求四边形AB1OD的面积．
【例3】在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接DP，将DP绕点D逆时针旋转90°后得到线段DE，连接PE，点C关于直线PE的对称点是，连接，，，若四边形是平行四边形，PC＝2，则平行四边形的面积是 ．
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且点A，，在同一条直线上，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．3
2．如图．在△ABC中，∠BAC＝150°，D，E为线段BC上的两点，∠DAE＝60°，且AD＝AE，若DE＝3，CE＝5，则BD的长为 ．
1.如图，点A（0，2），B（1，2），C（2，4）.将△ABC绕点D旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1.
（1）画出点D的位置并写出点D的坐标；
（2）六个点A，B，C，A1，B1，C1中，取三点能构成直角三角形的个数有___个。
2．横，纵坐标均为整数的点叫做格点，如图，点A（1，3），B（2，0），C（0，1）都是格点．将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1（点B，C的对应点分别为B1，C1）．
（1）作出△AB1C1；
（2）找一个格点D，使直线BD平分四边形ACBB1的周长，画出该直线并直接写出点D的坐标．
3．如图，在下列14×14的网格中，横，纵坐标均为整数的点叫做格点，例如：A（1，3），B（7，－5），C（12，5）都是格点．
（1）直接写出△ABC的形状是 ；
（2）爱思考的小明探究出一种在网格中通过作图求△ABC的面积的方法：
①作出AB的中点E；
②将△ABC绕点E旋转锐角，使//y轴，并且点也是格点，请画出△，直接写出下列点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）；
③求△ABC的面积．
4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C都在格点上．
（1）△ABC的面积是 ；
（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点C顺时针旋转a°得到△DEC（其中0＜a＜180），点B的对应点E落在AC所在的网格线上，操作步骤如下：
第一步：取格点E，使CE＝CB＝5；
第二步：取格点F，使∠FCE＝∠ACB，且CF＝5，连接EF；
第三步：在射线AC上取一点N，使CN＝6，另取一点格点M，MN//EF；
第四步：延长CF交MN于点D，则△DEC为所作．
请你按步骤完成作图，并直接写出AD的长．
5．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，点A，B，C，M均在格点上．请你在图中找到一个点P，使得AP，AC关于直线AB对称（要求仅用无刻度的直尺作图）．操作步骤如下：
（1）第一步：将线段AB向上平移2个单位长度得到格点E，F（其中A，B的对应点分别为点E，F），在图中作出线段EF；
（2）第二步：将△MEF绕点O顺时针旋转90°得到△FDC（其中M，F的对应点分别为F，C），在图中作出D，O两点；
（3）第三步：连接CD交EF于点P，连接AP，则AP，AC关于直线AB对称，请简要说明理由．
6．如图，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．
7．如图，P为等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求S△ABC．
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