资源简介

第5讲 数形思想课--反比例函数与几何综合
模块一.反比例函数与全等及勾股定理
利用全等、相似将线段关系转化为坐标关系，实现“几何问题坐标化”。
例1：如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 。
例2：(原创题)如图，点A(2，4)，B均为双曲线y＝在第一象限上的点，且∠AOB＝45°，求点B的坐标。
例3：如图，矩形ABCO的顶点B(10，8)，点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上的点D重合，过点E的反比例函数y＝ (k＞0)的图象与边AB交于点F，求点F的坐标。
1.如图，A(2，3)是双曲线y＝ (x＞0)上的一点，P为x轴正半轴上一点，将点A绕点P顺时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，求点P的坐标。
2.如图，直线y＝3x－ 3交坐标轴于A，B两点，将△AOB沿AB翻折得到△ACB，点D在AC的延长线上. 且CD＝ 4AC，反比例函数y＝的图象经过点D，求k的值.
模块二.反比例函数与图形变换
图形变换的本质是点的变换，解题的关键是根据变换规律，将变换后的关键点的坐标表示出来，再根据条件建立关系式.
【例1】平面直角坐标系中，点 A( －2，0) ，B(0，3)，点P为第二象限内一点，
(1)如图，将线段AB绕点P旋转180*得线段CD，点A与点C对应，试画出图形；
(2)若(1)中得到的点C，D恰好在同－ －个反比例函数y＝ R的图象上，求直线BC的解析式；
(3)若点Q(m ，m)为第四象限的一点，将线段AB绕点Q顺时针旋转90°得到线段EF ，其中点A与点E对应，若点E，F恰好在同一个反比例函数的图象上，直接写出m，n之间的关系式为 。
1.在平面直角坐标系中，点A(a，0)为x轴上一动点，点M的坐标为(1，－1)，点N的坐标为(3，－4)，连接AM，MN，点N关于直线AM的对称点为点N'.
(1)若a＝2，在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN'(保留作图痕迹)，直接写出点N'的坐标为 ；
(2)若a＞0，连接AN，AN' ，当点A运动到∠N'AN＝90°时，点N'恰好在双曲线y＝上(如图2)，求k的值；
(3)点A在x轴上运动，若∠N' MN＝90° ，此时a的值为 。
模块三.反比例函数与定值、最值
通过采取解析法求定值，利用配方法或建立二次函数模型求最值.
【例1】如图，点 C(6，1)，D(1 ，6)在双曲线y＝的图象上，点T在双曲线第－象限上(不同于C，D)，直线TC，TD分别交y轴于E，F，则OF－OE的值是 .
【例2】如图，双曲线 y＝的第一象限的分支上一动点P，点A(－2，－2)，B(2，2)，则PA－ PB的值为
。
1.如图，已知矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标是（6，4），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，且与BC边交于点D．
（1）①求反比例函数的解析式与点D的坐标；
②直接写出△ODE的面积；
若P是OA上的动点，求使得”PD+PE之和最小”时的直线PE的解析式．
1.如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y=的图象上．（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标；
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
2.已知反比例函数和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标：
（3）根据函数图象，求不等式＞2x﹣1的解集；
（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第5讲 数形思想课--反比例函数与几何综合
模块一.反比例函数与全等及勾股定理
利用全等、相似将线段关系转化为坐标关系，实现“几何问题坐标化”。
例1：如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 。
答案：y＝－ (x＜0)
解析：连接OC，过点A，C分别作x轴的垂线构造三垂直全等。
例2：(原创题)如图，点A(2，4)，B均为双曲线y＝在第一象限上的点，且∠AOB＝45°，求点B的坐标。
答案：过点A作AD⊥OA交OB延长线于点D，作AE⊥y轴于点E，DF⊥AE于点F，则
△ADF≌△QAE，∴AF＝OE＝4，DF＝AE＝2，∴D(6，2)，∴lOD：y＝x，∵A(2，4)，∴y＝，联立，得B(2，)。
例3：如图，矩形ABCO的顶点B(10，8)，点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上的点D重合，过点E的反比例函数y＝ (k＞0)的图象与边AB交于点F，求点F的坐标。
答案：由题意知，AD＝AB＝10，AO＝8，由勾股定理可求OD＝6，则CD＝4，设CE＝x，则DE＝BE＝8－x，在Rt△DCE中，CD2＋CE2＝DE2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴E(10，3)，设F(a，8)，则10×3＝8a，∴a＝，∴F(，8)。
1.如图，A(2，3)是双曲线y＝ (x＞0)上的一点，P为x轴正半轴上一点，将点A绕点P顺时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，求点P的坐标。
答案：设P(t，0)，过点A作AM⊥x轴于点M，过B作BN⊥x轴于点N，则△APM≌△PBN，∴PN＝AM＝3，BN＝PM＝t－2，∴B(t＋3，t－2)，又∵点A，B在y＝上，∴(t＋3)(t－2)＝6，∴t1＝－4，t2＝3，∵t＞0，t＝3，∴P(3，0)
2.如图，直线y＝3x－ 3交坐标轴于A，B两点，将△AOB沿AB翻折得到△ACB，点D在AC的延长线上. 且CD＝ 4AC，反比例函数y＝的图象经过点D，求k的值.
解：过点B作BE//AC，交工轴于点E，则∠EBA＝∠BAC＝∠EAB，∴EA＝EB，易求OA＝1，OB＝3，设EA＝ EB＝x，则x2＝(x－1)2 ＋32，解得x＝5，由题意，AC＝AO＝ 1，∵CD＝4AC，∴AD＝ 5AC＝5，∴
AD＝ EB，∴将线段EB向右平移5个单位得线段AD，∴D(5，－ 3)，∴k＝5X(－3)＝－15.
模块二.反比例函数与图形变换
图形变换的本质是点的变换，解题的关键是根据变换规律，将变换后的关键点的坐标表示出来，再根据条件建立关系式.
【例1】平面直角坐标系中，点 A( －2，0) ，B(0，3)，点P为第二象限内一点，
(1)如图，将线段AB绕点P旋转180*得线段CD，点A与点C对应，试画出图形；
(2)若(1)中得到的点C，D恰好在同－ －个反比例函数y＝ R的图象上，求直线BC的解析式；
(3)若点Q(m ，m)为第四象限的一点，将线段AB绕点Q顺时针旋转90°得到线段EF ，其中点A与点E对应，若点E，F恰好在同一个反比例函数的图象上，直接写出m，n之间的关系式为 。
【解析】 (1)略；
(2)设P(m，n)，则C(2 ＋ 2m， 2n)，D(2m，2n－3)，∵点C，D恰好在同一个反比例函数y＝的图象上， ∴2n(2＋ 2m) ＝ 2m(2n－3)，得2n＝ － 3m，设直线BC的解析式为y＝tx＋3，将C(2 ＋2m，－3m)代入y＝tx＋3中，得(2＋2m)t＋3＝－3m，解得t＝－ ，∴y＝－ x＋3.
(3)由三垂直得，E(m － n，m＋n＋2)，F(m＋3－n，n＋ m)，∴(m－n)(m＋n＋2)＝(m＋3－n)(n＋m)，整理得m＝－5n.
1.在平面直角坐标系中，点A(a，0)为x轴上一动点，点M的坐标为(1，－1)，点N的坐标为(3，－4)，连接AM，MN，点N关于直线AM的对称点为点N'.
(1)若a＝2，在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN'(保留作图痕迹)，直接写出点N'的坐标为 ；
(2)若a＞0，连接AN，AN' ，当点A运动到∠N'AN＝90°时，点N'恰好在双曲线y＝上(如图2)，求k的值；
(3)点A在x轴上运动，若∠N' MN＝90° ，此时a的值为 。
解：(1)N'(－ 2，1)。提示：取点B(3，1)。则BN⊥x轴，M、A、B三点在同一条直线上，
(2)由AN，AN'垂直且相等。可构建三垂直全等得N'(a－4，a － 3)，∴k＝(a－4)(a－3)＝a2 －7a＋ 12，∴MN＝ MN'，由勾股定理得(a－5)2＋(a－ 2)2＝ 13，∴a2－ 7a＋8＝0，∴12－ k＝8，∴k＝4；
(3)－4或.由∠NMN＝90°，构建三垂直全等得N(4，1)或N’(－ 2，－3)。∵直线AM过N N’的中点C，且点C的坐标为（，－ ）或（，），∴直线AM的解析式为y＝－x－或y＝5x－ 6，令y＝0，分别求得A(－4，0)或A(，0)。
模块三.反比例函数与定值、最值
通过采取解析法求定值，利用配方法或建立二次函数模型求最值.
【例1】如图，点 C(6，1)，D(1 ，6)在双曲线y＝的图象上，点T在双曲线第－象限上(不同于C，D)，直线TC，TD分别交y轴于E，F，则OF－OE的值是 .
【解析】 OF－OE＝5. 理由如下：设点T(m，)，由D(1，6)得直线TD的解析式：y＝－x＋＋6，∴OF＝＋6.由C(6，1)得直线TC的解析式：y＝－x＋＋1，∴OE＝＋1，∴OF－OE＝5.
【例2】如图，双曲线 y＝的第一象限的分支上一动点P，点A(－2，－2)，B(2，2)，则PA－ PB的值为
。
【解析】方法1：设点P(m，)，则PA＝＝m＋＋2，同理PB＝ m＋－2，
∴PA－PB＝4.
方法2：特殊位置法.
1.如图，已知矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标是（6，4），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，且与BC边交于点D．
（1）①求反比例函数的解析式与点D的坐标；
②直接写出△ODE的面积；
（2）若P是OA上的动点，求使得PD+PE之和最小”时的直线PE的解析式．
【解析】（1）①连接OB，则O、E、B三点共线．
∵B的坐标是（6，4），E是矩形对角线的交点，∴E的坐标是（3，2），
∴k=3×2=6，则函数的解析式是y=．
当y=4时，x=1.5，即D的坐标是（1.5，4）；
②S△OBC=BC OC=×6×4=12，
S△OCD=OC CD=×4×1.5=3，S△BDE=×（6﹣1.5）×2=4.5，
则S△ODE=S△OBC﹣S△OCD﹣S△BDE=12﹣3﹣3﹣4.5=4.5；
（2）作E关于OA轴的对称点E'，则E'的坐标是（3，﹣2）．
连接E'D，与x轴交点是P，此时PO+PE最小．设y=mx+n，
把E'和D的坐标代入得：，解得：，则 直线PE的解析式是y=﹣4x+10．
1.如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y=的图象上．（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标；
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
【解析】（1）k=×1=，∴反比例函数的表达式为y=；
（2）∵A（，1），AB⊥x轴于点C，∴OC=，AC=1，
由射影定理得OC2=AC BC，可得BC=3，B（，﹣3），
S△AOB=××4=2．∴S△AOP=S△AOB=．设点P的坐标为（m，0），
∴×|m|×1=，∴|m|=2，∵P是x轴的负半轴上的点，∴m=﹣2，∴P（﹣2，0）；
（3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下：∵OA⊥OB，OA=2，OB=2，AB=4，
∴==，∴∠ABO=30°，∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，∴BO=BD=2，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，
∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣OC=，BC﹣DE=1，∴E（﹣，﹣1），
∵﹣×（﹣1）=，∴点E在该反比例函数的图象上．
2.已知反比例函数和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标：
（3）根据函数图象，求不等式＞2x﹣1的解集；
（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，
∴b=2a﹣1①，2a+2k﹣1=b+k+2②， ∴整理②得：b=2a﹣1+k﹣2，
∴由①②得：2a﹣1=2a﹣1+k﹣2， ∴k﹣2=0， ∴k=2，∴反比例函数的解析式为：y==；
（2）解方程组，解得：，，∴A（1，1），B（，﹣2）；
（3）根据函数图象，可得出不等式＞2x﹣1的解集；即0＜x＜1或x；
（4）当AP1⊥x轴，AP1=OP1，∴P1（1，0），
当AO=OP2，∴P2（，0），
当AO=AP3，∴P3（2，0），
当AO=P4O，∴P4（﹣，0）．
∴存在P点P1（1，0），P2（，0），P3（2，0），P4（﹣，0）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑