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第12 讲方差（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
二．计算器-标准差与方差
由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作．
以如图的计算器为例说明：
首先，按2ndf键，再按on/c（清零）键，即进入统计状态，右上角有stat显示．
接着，进入数据输入存
储状态，输入一个数据后按M+键，即对数据进行储存，可显示1，表示输入了第一个数据，依次再输入，
显示2，为第二个数据．数据输入完成后，就可进行计算，按2ndf，再按RM，即显示为平均值，其他同此．
先按2ndf键再按其他键，表示选择的是该键上方的功能．
【考点剖析】
一．方差（共9小题）
1．（2022 贵阳模拟）七年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是s甲2＝65，s乙2＝56.5，s丙2＝53，s丁2＝50.5，你认为派哪一个同学去参赛更合适（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2022春 北仑区期中）用如下算式计算方差：S2[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（xn﹣2）2]，上述算式中的“2”是这组数据的（　　）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
3．（2022春 温州期中）现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数均为1.82米，方差分别为S3.7，S4.2，则身高较整齐的球队是 　 　队．
4．（2022春 朝阳区校级期中）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手10次测试成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（分） 9.2 9.5 9.5 9.2
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2022春 诸暨市期中）已知数据x1，x2，x3的平均数是5，方差是2．则数据2x1﹣3；2x2﹣3；2x3﹣3的平均数是 　 　，方差是 　 　．
6．（2022春 嘉兴期中）一组数据1，2，a，3的平均数是3，则这组数据的方差是 　 　．
7．（2022春 龙港市期中）某研究员随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株杂交水稻苗测试高度，经测量、计算平均数和方差的结果为12cm，12cm，S3.2cm2，S8.6cm2，则杂交水稻长势比较整齐的是 　 　试验田．（填“甲”或“乙”）
8．（2022 宁波模拟）某射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加射击比赛，在队内选拔赛中，每人射击10次，四人成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 8.5 8.2 8.5 8.2
方差 1.7 2.3 2 1.8
根据表中数据选择其中一人参加比赛，最合适的人选是 　 　．
9．（2022 建邺区一模）2021年7月24日，杨倩获得了东京奥运会的首枚金牌，这也激发了人们对射击运动的热情．李雷和林涛去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下：
李雷10次射击成绩统计表
命中环数 命中次数
5环 2
6环 1
7环 3
8环 3
9环 1
（1）完成下列表格：
平均数（单位：环） 中位数（单位：环） 方差（单位：环2）
李雷 7 7 　 　
林涛 7 　 　 5
（2）李雷和林涛很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由．
二．计算器-标准差与方差（共2小题）
10．先简化数据，再用科学计算器分别计算下列各组数据的方差：
（1）8241，8250，8248，8253，8245；
（2）12341，12340，12349，12349，12344．
11．用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差：
甲组 1 2 3 4 5
乙组 100 200 300 400 500
（1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？
（2）如果用科学计算器计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，你能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算吗？请你试一试．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2022春 鼓楼区校级期中）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差的数值如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数 9.2 9.3 9.5 9.1
方差 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2022 皇姑区一模）某数学兴趣小组为了了解本班同学一周课外阅读的时间，随机调查了5名同学，并将所得数据整理如表：
学生编号 1 2 3 4 5
一周课外阅读时间（小时） 7 5 4 □ 8
表中有一个数字被污染后而模糊不清（该处用□表示），但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（　　）
A．1.5，4 B．2，4 C．2，6 D．6，6
3．（2022 海陵区一模）小丽同学住在学校附近，某周星期一至星期五早晨步行到校所花时间（单位：分钟）分别为11，10，11，9，x，已知这组数据的平均数为10，则其方差为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022 椒江区二模）对甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（　　）
选手 甲 乙 丙 丁
方差 1.34 0.16 2.56 0.21
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2022 盐池县二模）甲、乙两人5次数学考试成绩如表：则以下判断中正确的是（　　）
甲 84 86 85 83 87
乙 84 85 86 85 85
A．，
B．，
C．，
D．，
二．填空题（共7小题）
6．（2022 乌海一模）某超市销售五种饮料，单价分别为（单位：元）3，3，x，5，7．若这组数据的平均数是2x，则这组数据的方差为 　 　．
7．（2022 遵义模拟）若数据2，1，a，3，0的平均数是2，则这组数据的方差是 　 　．
8．（2022 兴宁区校级模拟）2022年冬奥会将在北京市和张家口市联合举行，北京成为奥运史上第一个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的城市．为了激发同学们对冬奥会的热情，某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙、丙三组进行训练，经过5次测试，若甲、乙、丙三组的平均成绩相同，且方差，，则应选择 　 　组参加全市中学生冰球联谊赛．
9．（2022 李沧区一模）某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖的数据无关的是 　 　．（填写序号即可）
成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
人数 1 2 3 5 7 7 10 12
10．（2022 东城区校级模拟）有甲、乙两组数据，如表所示：甲、乙两组数据的方差分别为，，则　 　．（填“＞”，“＜”或“＝”）
甲 10 12 13 14 16
乙 12 12 13 14 14
11．（2022 铜仁市一模）甲、乙二人五次数学考试成绩如下：
甲：135，134，132，138，136；
乙：134，135，135，135，136．
则甲、乙两人成绩比较稳定的是 　 　．
12．（2022春 金华期中）在样本方差的计算公式，数字10表示 　 　，数字20表示 　 　．
三．解答题（共5小题）
13．（2022 如东县一模）在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：
9.6 8.8 8.8 8.9 8.6 8.7
对打分数据有以下两种处理方式：
方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计；
平均分 中位数 方差
8.9 a 0.107
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计；
平均分 中位数 方差
b 8.8 c
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由．
14．（2022 宛城区一模）北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．x＜80，B．80≤x＜85，C．85≤x＜90，D．90≤x＜95，E．95≤x≤100），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：
90，91，91，92．
b．乙校20名志愿者的成绩成绩是：
82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．
d．两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学校 平均数 中位数 众数 方差
甲 92 a 95 36.6
乙 92 92.5 b 31.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：a＝　 　，b＝　 　，α＝　 　°．
（2）你认为哪个学校的志愿者测试成绩较好，请说明理由（写出一条即可）．
（3）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者有多少？
15．（2022春 如皋市期中）八年级某老师对一、二两班学生进行了一次“安全知识竞赛”，并将成绩进行了统计，绘制了如图图表（满分10分，学生得分均为整数）．
（1）补充完成下列的成绩统计分析表：
班级 平均分 中位数 众数 方差
一班 7.1 　 　 6 2.69
二班 6.9 8 　 　 5.89
（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上!”观察表可知，小亮是 　 　班学生（填“一”或“二”）；
（3）甲同学依据平均分推断，一班学生安全知识水平更好些．乙同学不同意甲的推断，请给出两条支持乙同学观点的理由．
16．（2022春 朝阳区校级月考）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：
注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这40名被调查者中，
①指标y低于0.4的有 　 　人；
②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作s12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作s22，则　 　，s12　 　s22（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有 　 　人；
（3）若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的有 　 　人．
17．（2022春 拱墅区期中）八年级举行锡越子比赛，每班推出5名学生参赛，按团体总分排列名次．下表是成绩最好的甲班和乙班各5名学生的比赛数据（单位：个）．由于两班的总分、平均分都相等，数学老师提出：可否对所得数操作进一步处理，得出其他统计量作为评定的参考？同时，给出下列问题请你回答．
1号 2号 3号 4号 5号 总分
甲班 100 98 110 89 103 500
乙班 89 100 95 119 97 500
（1）计算两班比赛数据的中位数；
（2）计算两班比赛数据的方差；
（3）根据以上新统计量，作为团体，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？请简单地说明理由！
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第12 讲方差（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
二．计算器-标准差与方差
由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作．
以如图的计算器为例说明：
首先，按2ndf键，再按on/c（清零）键，即进入统计状态，右上角有stat显示．
接着，进入数据输入存
储状态，输入一个数据后按M+键，即对数据进行储存，可显示1，表示输入了第一个数据，依次再输入，
显示2，为第二个数据．数据输入完成后，就可进行计算，按2ndf，再按RM，即显示为平均值，其他同此．
先按2ndf键再按其他键，表示选择的是该键上方的功能．
【考点剖析】
一．方差（共9小题）
1．（2022 贵阳模拟）七年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是s甲2＝65，s乙2＝56.5，s丙2＝53，s丁2＝50.5，你认为派哪一个同学去参赛更合适（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵他们的平均成绩都是每分钟180个，s甲2＝65，s乙2＝56.5，s丙2＝53，s丁2＝50.5，
∴S丁2＜S丙2＜S甲2＜S乙2，
∴射击成绩最稳定的是丁；
故选：D．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
2．（2022春 北仑区期中）用如下算式计算方差：S2[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（xn﹣2）2]，上述算式中的“2”是这组数据的（　　）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
【分析】根据方差的定义即可得出答案．
【解答】解：S2[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（xn﹣2）2]中的“2”是这组数据的平均数，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义．
3．（2022春 温州期中）现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数均为1.82米，方差分别为S3.7，S4.2，则身高较整齐的球队是 　甲　队．
【分析】根据方差的意义解答．
【解答】解：∵s甲2＜s乙2，
∴身高较整齐的球队是甲队．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．（2022春 朝阳区校级期中）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手10次测试成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（分） 9.2 9.5 9.5 9.2
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据平均数的概念、方差的性质判断即可．
【解答】解：成绩好的选手是乙、丙，
成绩发挥稳定的选手是甲、乙，
∴成绩好且发挥稳定的选手是乙，
∴应该选择乙参加射箭比赛，
故选：B．
【点评】本题考查的是平均数、方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．（2022春 诸暨市期中）已知数据x1，x2，x3的平均数是5，方差是2．则数据2x1﹣3；2x2﹣3；2x3﹣3的平均数是 　7　，方差是 　8　．
【分析】根据方差和平均数的变化规律可得：数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3的平均数是2×2﹣3，方差是2×22，再进行计算即可．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3的平均数是5，
∴数据2x1﹣3；2x2﹣3；2x3﹣3的平均数是2×5﹣3＝7；
∵数据x1，x2，x3的方差是2，
∴数据2x1﹣3；2x2﹣3；2x3﹣3的方差是22×2＝8；
故答案为：7，8．
【点评】本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有n个数据，x1，x2，…xn，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍．
6．（2022春 嘉兴期中）一组数据1，2，a，3的平均数是3，则这组数据的方差是 　　．
【分析】先根据算术平均数的定义求出a的值，继而根据方差的定义求解即可．
【解答】解：根据题意知a＝3×4﹣（1+2+3）
＝12﹣6
＝6，
∴这组数据为1、2、3、6，
∴该组数据的方差为[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]，
故答案为：．
【点评】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握方差和算术平均数的概念．
7．（2022春 龙港市期中）某研究员随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株杂交水稻苗测试高度，经测量、计算平均数和方差的结果为12cm，12cm，S3.2cm2，S8.6cm2，则杂交水稻长势比较整齐的是 　甲　试验田．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵12，12，S甲2＝3.2，S乙2＝8.6，
∴S甲2＜S乙2，
∴杂交水稻长势比较整齐的是甲试验田，
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8．（2022 宁波模拟）某射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加射击比赛，在队内选拔赛中，每人射击10次，四人成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 8.5 8.2 8.5 8.2
方差 1.7 2.3 2 1.8
根据表中数据选择其中一人参加比赛，最合适的人选是 　甲　．
【分析】根据甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中甲的方差最小，说明甲的成绩最稳定，得到甲最合适的人选．
【解答】解：∵甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中甲的方差最小，
∴甲的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明甲成绩既高又稳定，
∴最合适的人选是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9．（2022 建邺区一模）2021年7月24日，杨倩获得了东京奥运会的首枚金牌，这也激发了人们对射击运动的热情．李雷和林涛去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下：
李雷10次射击成绩统计表
命中环数 命中次数
5环 2
6环 1
7环 3
8环 3
9环 1
（1）完成下列表格：
平均数（单位：环） 中位数（单位：环） 方差（单位：环2）
李雷 7 7 　1.6　
林涛 7 　8　 5
（2）李雷和林涛很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由．
【分析】（1）根据中位数的定义求出甲和乙的中位数，再根据极差的定义用最大值减去最小值求出乙的极差即可；
（2）根据方差的意义方差越小数据越稳定即可得出答案．
【解答】解：（1）李雷方差为：[2×（5﹣7）2+（6﹣7）2+3×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝1.6，
林涛中位数为：（8+8）÷2＝8，
故答案为：1.6，8；
（2）选择李雷参加射击比赛，
理由：由表格可知，李雷和林涛的平均数一样，但是李雷的方差小，波动小，成绩比较稳定，故选择李雷参加射击比赛．
【点评】本题考查了中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
二．计算器-标准差与方差（共2小题）
10．先简化数据，再用科学计算器分别计算下列各组数据的方差：
（1）8241，8250，8248，8253，8245；
（2）12341，12340，12349，12349，12344．
【分析】（1）将原数据以8250为基准，原来的数据化为：﹣9、0、﹣2、3、﹣5，根据方差定义：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，代入方程公式计算即可；
（2）将原数据以12340为基准，原来的数据化为：1、0、9、9、4，根据方差公式即可求解．
【解答】解：（1）将原数据以8250为基准，原来的数据可以化为：
﹣9、0、﹣2、3、﹣5
∵（﹣9+0﹣2+3﹣5）＝﹣2.6，
∴s2[（﹣9﹣2.6）2+（0﹣2.6）2+（﹣2﹣2.6）2+（3﹣2.6）2+（﹣5﹣2.6）2]
＝44.08；
所以这组数据的方差为44.08；
（2）将原数据以12340为基准，原来的数据可以化为：
1、0、9、9、4
∵（1+0+9+9+4）＝4.6，
∴s2[（1﹣4.6）2+（0﹣4.6）2+（9﹣4.6）2+（9﹣4.6）2+（4﹣4.6）2]
＝14.64．
所以这组数据的方差为14.64．
【点评】本题考查了方差，解决本题的关键是掌握方差公式．
11．用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差：
甲组 1 2 3 4 5
乙组 100 200 300 400 500
（1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？
（2）如果用科学计算器计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，你能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算吗？请你试一试．
【分析】（1）根据平均数和方差公式分别进行计算即可得出答案；
（2）根据（1）的结论进行计算即可．
【解答】解：（1）甲组数据的平均数为（1+2+3+4+5）＝3，
方差为[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2；
乙组数据的平均数为（100+200+300+400+500）＝300，
方差为[（100﹣300）2+（200﹣300）2+（300﹣300）2+（400﹣300）2+（500﹣300）2]＝20000；
比较这两组数据，它们的对应关系是乙组每个数据是甲组对应数据的100倍，乙组的平均数是甲组平均数的100倍，乙组方差是甲组方差的10000倍；
（2）能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算，方法如下：
∵甲组数据的平均数是2，方差为2，
∴0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数为3÷100＝0.03，方差为2÷10000＝0.0002．
【点评】本题考查了方差和平均数，解答本题的关键通过计算平均数和方差得出规律．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2022春 鼓楼区校级期中）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差的数值如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数 9.2 9.3 9.5 9.1
方差 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】解：∵这四人中方差最小的是乙，
∴这四人中发挥最稳定的是乙，
故选：B．
【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
2．（2022 皇姑区一模）某数学兴趣小组为了了解本班同学一周课外阅读的时间，随机调查了5名同学，并将所得数据整理如表：
学生编号 1 2 3 4 5
一周课外阅读时间（小时） 7 5 4 □ 8
表中有一个数字被污染后而模糊不清（该处用□表示），但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（　　）
A．1.5，4 B．2，4 C．2，6 D．6，6
【分析】先由平均数的公式计算出模糊不清的值，再根据中位数和方差的公式计算即可．
【解答】解：∵这组数据的平均数为6，
∴模糊不清的数是：6×5﹣7﹣5﹣4﹣8＝6，
将数据重新排列为4、5、6、7、8，
所以这组数据的中位数为6，
则这组数据的方差为[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（4﹣6）2+（8﹣6）2]＝2；
故选：C．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
3．（2022 海陵区一模）小丽同学住在学校附近，某周星期一至星期五早晨步行到校所花时间（单位：分钟）分别为11，10，11，9，x，已知这组数据的平均数为10，则其方差为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据数据的平均数求出x的值，再根据方差的公式求出方差的大小．
【解答】解：∵数据的平均数是（11+10+11+9+x）＝10，
∴x＝9；
∴方差为s2[（11﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（9﹣10）2+（9﹣10）2]
．
故选：D．
【点评】本题考查了计算数据的平均数与方差的问题，解题的关键是根据公式进行计算．
4．（2022 椒江区二模）对甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（　　）
选手 甲 乙 丙 丁
方差 1.34 0.16 2.56 0.21
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵2.56＞1.34＞0.21＞0.16，
∴乙的方差最小，
∴成绩最稳定的是乙，
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（2022 盐池县二模）甲、乙两人5次数学考试成绩如表：则以下判断中正确的是（　　）
甲 84 86 85 83 87
乙 84 85 86 85 85
A．，
B．，
C．，
D．，
【分析】四个选项中主要比较的是算术平均数与方差，求出甲、乙两人5次数学考试成绩的算术平均数与方差，比较即可解答．
【解答】解：（84+86+85+83+87）÷5＝85，（84+85+86+85+85）÷5＝85，，
S甲2[（84﹣85）2+（86﹣85）2+（85﹣85）2+（83﹣85）2+（87﹣85）2]＝2，
S乙2[（84﹣85）2+（85﹣85）2+（86﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2]＝0.4．
S甲2＞S乙2．
故选：A．
【点评】本题考查了平均数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
二．填空题（共7小题）
6．（2022 乌海一模）某超市销售五种饮料，单价分别为（单位：元）3，3，x，5，7．若这组数据的平均数是2x，则这组数据的方差为 　3.2　．
【分析】根据平均数的计算方法可以求得x＝2，然后可以求出平均数为4，再利用方差计算公式计算即可．
【解答】解：∵3，3，x，5，7这5个数的平均数为2x，
∴2x，
∴x＝2，
∴这组数据的平均数是4，
∴这组数据的方差是[（3﹣4）2×2+（2﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]＝3.2，
故答案为：3.2．
【点评】本题主要考查平均数和方差，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解答此题的关键．
7．（2022 遵义模拟）若数据2，1，a，3，0的平均数是2，则这组数据的方差是 　2　．
【分析】先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差的计算公式计算可得．
【解答】解：由平均数的公式得：（0+1+2+3+a）÷5＝2，解得a＝4；
∴方差＝[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]÷5＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
8．（2022 兴宁区校级模拟）2022年冬奥会将在北京市和张家口市联合举行，北京成为奥运史上第一个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的城市．为了激发同学们对冬奥会的热情，某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙、丙三组进行训练，经过5次测试，若甲、乙、丙三组的平均成绩相同，且方差，，则应选择 　乙　组参加全市中学生冰球联谊赛．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2＝0.75，S乙2＝0.5，S丙2＝0.9，
∴S乙2＜S甲2＜S丙2，
∴成绩最稳定的是乙．
故选：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9．（2022 李沧区一模）某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖的数据无关的是 　③　．（填写序号即可）
成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
人数 1 2 3 5 7 7 10 12
【分析】通过计算成绩为91、92的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，即可进行选择．
【解答】解：由表格数据可知，成绩为91、92的人数为50﹣（1+2+3+5+7+7+12+10）＝3（人），
成绩为100出现次数最多，因此成绩的众数是100，
所以众数与被遮盖的数据无关，
故答案为：③．
【点评】本题考查众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提．
10．（2022 东城区校级模拟）有甲、乙两组数据，如表所示：甲、乙两组数据的方差分别为，，则　＞　．（填“＞”，“＜”或“＝”）
甲 10 12 13 14 16
乙 12 12 13 14 14
【分析】根据方差的定义列式计算即可．
【解答】解：∵甲13，乙13，
∴s甲2[（10﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（16﹣13）2]＝4，
s乙2[2×（12﹣13）2+（13﹣13）2+2×（14﹣13）2]＝0.8，
∴s甲2＞s乙2，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义．
11．（2022 铜仁市一模）甲、乙二人五次数学考试成绩如下：
甲：135，134，132，138，136；
乙：134，135，135，135，136．
则甲、乙两人成绩比较稳定的是 　乙　．
【分析】根据平均数的定义先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：甲的平均数是：（135+134+132+138+136）÷5＝135，
则甲的方差是：[（135﹣135）2+（134﹣135）2+（132﹣135）2+（138﹣135）2+（136﹣135）2]＝4，
乙的平均数是：（134+135+135+135+136）÷5＝135，
则乙的方差是：[（134﹣135）2+（135﹣135）2+（135﹣135）2+（135﹣135）2+（136﹣135）2]＝0.4，
∵0.4＜4，
∴乙的成绩比较稳定．
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的定义与意义，牢记方差的计算公式是解答本题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
12．（2022春 金华期中）在样本方差的计算公式，数字10表示 　样本容量　，数字20表示 　平均数　．
【分析】根据方差公式：S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．
【解答】解：，
所以数字10表示样本容量，数字20表示平均数．
故答案为：样本容量，平均数．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
三．解答题（共5小题）
13．（2022 如东县一模）在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：
9.6 8.8 8.8 8.9 8.6 8.7
对打分数据有以下两种处理方式：
方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计；
平均分 中位数 方差
8.9 a 0.107
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计；
平均分 中位数 方差
b 8.8 c
（1）a＝　8.8　，b＝　8.8　，c＝　0.005　；
（2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由．
【分析】（1）依据中位数、平均数、方差的定义即可求解；
（2）去掉一个最高分和一个最低分统计平均分的方法更合理，这样可以减少极端值对数据的影响．
【解答】解：（1）方式一：不去掉任何数据，这组数据的中位数为：a8.8；
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，
平均数为b（8.8+8.8+8.9+8.7）＝8.8，
方差为：c[（8.8﹣8.8）2+（8.8﹣8.8）2+（8.9﹣8.8）2+（8.7﹣8.8）2]＝0.005，
故答案为：8.8，8.8，0.005；
（3）方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计更合理，
理由：这样可以减少极端值对数据的影响．
【点评】本题主要考查了平均数和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14．（2022 宛城区一模）北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．x＜80，B．80≤x＜85，C．85≤x＜90，D．90≤x＜95，E．95≤x≤100），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：
90，91，91，92．
b．乙校20名志愿者的成绩成绩是：
82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．
d．两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学校 平均数 中位数 众数 方差
甲 92 a 95 36.6
乙 92 92.5 b 31.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：a＝　91.5　，b＝　96　，α＝　126°　°．
（2）你认为哪个学校的志愿者测试成绩较好，请说明理由（写出一条即可）．
（3）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者有多少？
【分析】（1）求出甲校D组的占比，进而求出C组的占比，求出C组的人数，根据中位数的意义，可得a，从乙校成绩中找出出现次数最多的数即为众数b，求出A、B、C三组人数的比例乘以360°即可得α的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数、方差等比较做出判断即可；
（3）利用样本估计总体的方法即可求解．80，82，85，87，88，89，89，91，92，92，93，94，96，96，96，96，97，98，99，100．
【解答】解：（1）甲校D组所占的百分比为：20%，
甲校C组所占的百分比为：1﹣5%﹣5%﹣45%﹣20%＝25%，
C组的人数为20×25%＝5（名），
∴甲校的中位数a91.5，
乙校的出现次数最涉感是96，因此众数是96，即b＝96．
a＝360°x （5%+5%+25%）＝126°，
故答案为：91.5，96，126；
（2）乙校志愿者测试成绩较好．理由如下：
∵甲、乙两校的平均数虽然相同，但是乙校的中位数、众数均比甲校的大，
甲校的方差为36.6，乙校的方差是31.4，
而36.6＞31.4，
∴乙校的成绩较为稳定，
∴乙校志愿者测试成绩较好；
（3）根据题意得：甲校20名志愿者成绩在90分以上的人数为：20×（45%+20%）﹣1＝12，
20名志愿者成绩在90分以上的人数为13，
∴（人），
答：成绩在90分以上的志愿者有315人．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
15．（2022春 如皋市期中）八年级某老师对一、二两班学生进行了一次“安全知识竞赛”，并将成绩进行了统计，绘制了如图图表（满分10分，学生得分均为整数）．
（1）补充完成下列的成绩统计分析表：
班级 平均分 中位数 众数 方差
一班 7.1 　6　 6 2.69
二班 6.9 8 　8　 5.89
（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上!”观察表可知，小亮是 　甲　班学生（填“一”或“二”）；
（3）甲同学依据平均分推断，一班学生安全知识水平更好些．乙同学不同意甲的推断，请给出两条支持乙同学观点的理由．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得一班的中位数和二班的众数，从而可以解答本题；
（2）根据两个班的中位数可以判断小亮在哪个班；
（3）根据表格中的数据可以写出支持乙同学的两条理由．
【解答】解：（1）一班学生的成绩共10个数据，从小到大排列排在第20、21两个数都是6，
∴中位数为6分；
二班学生成绩值8出现次数最多，故众数为8；
故答案为：6；8；
（2）∵一班的中位数是6，二班的中位数是8，
6＜8，
∴小亮是一班同学，
故答案为：甲；
（3）支持乙同学观点的理由：①二班学生的众数高于一班；②二班学生的中位数高于一班．（答案不唯一）．
【点评】本题考查条形统计图、加权平均数、方差、中位数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．（2022春 朝阳区校级月考）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：
注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这40名被调查者中，
①指标y低于0.4的有 　9　人；
②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作s12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作s22，则　＜　，s12　＞　s22（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有 　100　人；
（3）若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的有 　125　人．
【分析】（1）①根据图象，数出直线y＝0.4下方的人数即可；
②根据图象，可知20名患者的指标x的取值范围是0≤x＜0.5，且有16名患者的指标x＜0.3；20名非患者的指标x的取值范围是0.2≤x＜0.6，且位置相对比较集中，因此即可求解；
（2）利用样本估计总体，用500乘样本中非患者指标x低于0.3所占的百分比即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）①根据图象，可得指标y低于0.4的有9人．
故答案为：9；
②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作S12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作S22，则
，S12＞S22．
故答案为：＜，＞；
（2）500100（人）．
故答案为：100；
（3）根据图象，可知“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”的有15人，而患者有20人，
则发生漏判的概率是：1，
发生漏判的有：500125（人），
故答案为：125．
【点评】本题考查了平均数、方差的意义，利用样本估计总体，以及概率公式，准确识图，从图中获取有用信息是解题的关键．
17．（2022春 拱墅区期中）八年级举行锡越子比赛，每班推出5名学生参赛，按团体总分排列名次．下表是成绩最好的甲班和乙班各5名学生的比赛数据（单位：个）．由于两班的总分、平均分都相等，数学老师提出：可否对所得数操作进一步处理，得出其他统计量作为评定的参考？同时，给出下列问题请你回答．
1号 2号 3号 4号 5号 总分
甲班 100 98 110 89 103 500
乙班 89 100 95 119 97 500
（1）计算两班比赛数据的中位数；
（2）计算两班比赛数据的方差；
（3）根据以上新统计量，作为团体，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？请简单地说明理由！
【分析】（1）中位数，就是一组数按从小到大的顺序排列，中间位置的那个数，如果有偶数个数，那就是中间的两个数的平均数；
（2）方差是各变量值与其均值离差平方的平均数；
（3）理解各数据表达的含义．
【解答】解：（1）甲班的中位数为100，乙班的中位数为98；
（2）甲班平均分为：（100+98+110+89+103）＝100，
S甲2[（100﹣100）2+（98﹣100）2+（110﹣100）2+（89﹣100）2+（103﹣100）2]＝46.8；
乙班平均分为：（89+100+95+119+97）＝100，
乙班的方差为：[（86﹣100）2+（100﹣100）2+（98﹣100）2+（119﹣100）2+（97﹣100）2]＝114；
（3）应该把冠军奖状发给甲班．
因为两班的平均分相同，但甲班的优秀率比乙班高，比赛数据的中位数也比乙班大，甲班比赛数据的方差比乙班小，说明甲班的成绩比乙班稳定，综合分析，甲班成绩好，所以应该把冠军奖状发给甲班．
【点评】本题考查了中位数、加权平均数、方差，理解它们的意义是解题的关键．
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