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第16讲 数据整理与概率复习与测试（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
二．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
三．计算器-平均数
（1）如果是普通计算器，那么只能把所有的数字相加，然后除以数字的个数．
（2）如果是科学记算器，那么可以用如下方法：
①调整计算器的模式为STAT模式．
②依次输入数据，每次输入数据后按DATA键确认数据的输入．
③输入完毕后，按x 键，即可获得平均数了．
（3）由于计算器的型号不同，可以按照说明书中的方法进行操作．
四．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
五．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
六．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
七．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
八．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
九．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
十．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
【考点剖析】
一．算术平均数（共1小题）
1．（2021秋 大丰区期末）一组数据x、0、1、﹣2、3的平均数是1，则x的值是（　　）
A．3 B．1 C．2.5 D．0
【分析】根据算术平均数的定义得出1，解之即可．
【解答】解：∵数据x、0、1、﹣2、3的平均数是1，
∴1，
解得x＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
二．加权平均数（共1小题）
2．（2021秋 灌云县期末）小明统计了15天同一时段通过某路口的汽车流量如表：（单位：辆）
汽车流量 142 145 157 156
天数 2 2 5 6
则这15天在这个时段通过该路口的汽车平均流量是（　　）
A．153 B．154 C．155 D．156
【分析】根据加权平均数的定义列式求解即可．
【解答】解：这15天在这个时段通过该路口的汽车平均流量是153，
故选：A．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
三．计算器-平均数（共1小题）
3．（2020 海门市校级模拟）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据75输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是（　　）
A．2.5 B．2 C．1 D．﹣2
【分析】利用平均数的定义可得．将其中一个数据75输入为15，也就是数据的和少了60，其平均数就少了60除以30，从而得出答案．
【解答】解：求30个数据的平均数时，错将其中一个数据75输入为15，即使总和减少了60，
那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是2；
故选：D．
【点评】本题考查平均数的性质，求数据的平均值和方差是研究数据常做的，平均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以准确的把握数据的情况．
四．中位数（共1小题）
4．（2022春 亭湖区校级期中）数据2，2，4，8，9的中位数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：将这5个数据从小到大排列为：2、2、4、8、9，
所以中位数为4，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数，注意求中位数的时候首先要排序．
五．众数（共1小题）
5．（2022 洪泽区一模）据报道，未来五天我市每天最高气温分别为（单位：℃）：23，21，23，25，24，这组数据的众数是（　　）
A．21 B．23 C．24 D．25
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：数据23都出现了2次，出现次数最多，
故这组数据的众数为23．
故选：B．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
六．方差（共1小题）
6．（2022 相城区一模）在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如表格：
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【分析】根据平均数、众数、方差、中位数的概念判断．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，平均分、众数、方差可能发生变化，
中位数一定不发生变化，
故选：D．
【点评】本题考查的是平均数、众数、方差、中位数的概念，掌握它们的概念是解题的关键．
七．可能性的大小（共1小题）
7．（2021秋 顺义区期末）如图是一个可以转动的转盘．盘面上有6个全等的扇形区域，其中1个是红色，2个是黄色，3个是白色．用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用黄色扇形的个数除以扇形的总个数即可得出答案．
【解答】解：用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是，
故选：B．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．
八．概率公式（共1小题）
8．（2022 滨湖区一模）下列说法正确的是（　　）
A．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是必然事件
B．某市天气预报明天的降水概率为90%，则“明天下雨”是确定事件
C．小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件
D．若a是实数，则“|a|≥0”是不可能事件
【分析】利用随机事件的定义及概率公式等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是随机事件，故错误，不符合题意；
B、某市天气预报明天的降水概率为90%，则“明天下雨”是随机事件，故错误，不符合题意；
C、小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件，正确，符合题意．
D、若a是实数，则“|a|≥0”是必然事件，故错误，不符合题意．
故选C．
【点评】考查了概率公式及事件的性质的确定，解题的关键是了解事件发生的概率的大小，难度不大．
九．几何概率（共1小题）
9．（2022 梁山县一模）小华把如图所示的4×4的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵正方形的面积为4×4＝16，阴影区域的面积为4×12×3＝5，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选：C．
【点评】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比，关键是根据平行线的性质求出阴影部分的面积与总面积的比．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）某商店5天的营业额如下（单位：元）：14845，25706，18957，11672，16330，利用计算器求得这5天的平均营业额是（　　）
A．18116元 B．17805元 C．17502元 D．16678元
【分析】题要求同学们能熟练应用计算器．熟练使用科学计算器．
【解答】解：借助计算器，先按MOOE按2再按1，会出现一竖，然后把你要求平均数的数字输进去，好了之后按AC键，再按shift再按1，然后按5，就会出现平均数的数值17502元．
故选：C．
【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．
2．（3分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向 ABCD内部投掷飞镖（每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质易得S△OEH＝S△OFG，则S阴影部分＝S△AOBS ABCD，然后根据几何概率的意义求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△OEH和△OFG关于点O中心对称，
∴S△OEH＝S△OFG，
∴S阴影部分＝S△AOBS ABCD，
∴飞镖（每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率
＝S阴影部分：S ABCD．
故选：C．
【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．也考查了平行四边形的性质．
3．（3分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形．在看不到图形的情况下从中任意抽取一张，则抽取的卡片是轴对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．1
【分析】卡片共有四张，轴对称图形有等腰梯形、圆，根据概率公式即可得到抽取的卡片是轴对称图形的概率．
【解答】解：四张卡片中，轴对称图形有等腰梯形、圆，
根据概率公式，P（轴对称图形）．
故选：A．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
4．（3分）一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是：．
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计．结果甲、乙两组的平均成绩相同．方差分别是36，30，则两组成绩的稳定性（　　）
A．甲组比乙组的成绩稳定
B．乙组比甲组的成绩稳定
C．甲、乙两组的成绩一样稳定
D．无法确定
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵36，30，
∴，
∴乙组比甲组的成绩稳；
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（3分）一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（　　）
A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.2
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．利用方差公式计算方差．
【解答】解：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数．平均数为（3+2+1+2+2）÷5＝2，方差为[（3﹣2）2+3×（2﹣2）2+（1﹣2）2]＝0.4，即中位数是2，众数是2，方差为0.4．
故选：B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、方差和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
7．（3分）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.2 9.2 9.2 9.2
方差（环2） 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为S甲2＞S丁2＞S丙2＞S乙2，方差最小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8．（3分）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（　　）
A．众数是 6吨 B．平均数是 5吨
C．中位数是 5吨 D．方差是
【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的定义计算各量，然后对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的众数为6吨，平均数为5吨，中位数为5.5吨，方差为吨2．
故选：C．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数．
9．（3分）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，值周班长对上周本班7个小组合作学习的得分情况进行了统计，得到以下评分结果：90，96，89，90，91，85，90，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．89，90 B．90，90 C．88，95 D．90，95
【分析】根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：85，89，90，90，90，91，96，最中间的数是90，则中位数是90；
90出现了3次，出现的次数最多，则众数是90；
故选：B．
【点评】此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
10．（3分）网购越来越受到居民的喜爱，小明和小亮两位同学家里去年8 12月份收到的快递数量如下：
月份 8 9 10 11 12
小明家快递数（件） 6 7 8 6 8
小亮家快递数（件） 5 10 7 6 7
根据以上数据，关于小明和小亮两位同学家里去年8 12月份收到的快递数量，下列说法正确的是（　　）
A．小明家平均每月收到的快递件数大于小亮家
B．两家快递件数的中位数相同
C．小明家每月收到的快递件数波动程度较大
D．两家快递件数的众数相同
【分析】根据平均数、中位数、方差及众数的定义分别求解即可得出答案．
【解答】解：A、小明家平均每月收到的快递数是（6+7+8+6+8）＝7，小亮家平均每月收到的快递数是（5+10+7+6+7）＝7，故本选项错误；
B、小明家快递件数的中位数是7环，小亮家快递件数的中位数的中位数是7环，则甲、乙成绩的中位数相同，故本选项正确；
C、甲的方差是[（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2]＝0.8，
乙的方差是[（5﹣7）2+（10﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2]＝2.8，
所以小明家每月收到的快递件数波动程度较小，此选项错误；
D．小明家快递件数的众数是6环和8环，小亮家快递件数的众数是7环，所以两家的众数不相同，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、方差及众数的定义．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．（3分）任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数大于4的概率为　　．
【分析】根据掷得面朝上的点数大于4情况有2种，进而求出概率即可．
【解答】解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于4的情况有2种，
掷得面朝上的点数大于4的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
12．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次，射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是，，，，则射箭成绩最稳定的是 　丙　．
【分析】根据方差的意义比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的成绩最稳定．
【解答】解：∵，，，，
∴丙的方差最小，
∴射箭成绩最稳定的是：丙．
故答案为：丙．
【点评】此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．在解题时要能根据方差的意义和本题的实际，得出正确结论是本题的关键．
13．（3分）已知一组样本数据的方差，则这个样本的平均数为　25　．
【分析】根据方差公式可确定样本平均数．
【解答】解：由方差公式可知，样本平均数为25，
故答案为：25．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．（3分）一组数据10，13，15，x，14的平均数是13，则这组数据的中位数是　13　．
【分析】首先根据平均数的概念求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：由题意得，13，
解得：x＝13．
这组数据按照从小到大的顺序排列为：10，13，13，14，15，
则中位数为13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了中位数和平均数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
15．（3分）某商场出售一批西服，最初以每件a元出售m件，后来每件降价为b元，又售出n件，剩下的t件又降价为每件c元售出，那么这批西服的平均售价为每件　　元．
【分析】只要运用求平均数公式：即可求出平均售价．
【解答】解：根据题意得，这批西服的平均售价（元）．
故填．
【点评】本题考查的是平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
16．（3分）如图所示的3×3方格形地面上，阴影部分是草地，其余部分是空地，一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为　　．
【分析】先求出阴影部分的面积，再求出大正方形的面积，最后根据阴影部分的面积与总面积的比，即可得出答案．
【解答】解：∵阴影部分的面积＝3个小正方形的面积，
大正方形的面积＝9个小正方形的面积，
∴阴影部分的面积占总面积的，
∴小鸟飞下来落在草地上的概率为；
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率的求法，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比，关键是求出阴影部分的面积．
17．（3分）一个圆形转盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，飞镖落在转盘上，则落在黄色区域的概率是　　．
【分析】根据概率公式，求出红色区域的面积与总面积的比即可解答．
【解答】解：∵圆形转盘平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，其中黄色区域占1份，
∴飞镖落在黄色区域的概率是；
故答案为：．
【点评】本题考查了几何概率的运用，用到的知识点是概率公式，在解答时根据概率＝相应的面积与总面积之比是解答此类问题关键．
18．（3分）在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n＝　4　．
【分析】根据口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，故球的总个数为6+2+n，再根据黄球的概率公式列式解答即可．
【解答】解：∵口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，
∴球的总个数为6+2+n，
∵搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，
，
解得，n＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
19．（3分）有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　　．
【分析】由正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆，利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：∵正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆，
∴既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（3分）某超市对员工进行三项测试：电脑、语言、商品知识，并按三项测试得分的5：3：2的比例确定测试总分，已知某员工三项得分分别为80，70，75，则这位超市员工的总分为　76　．
【分析】运用加权平均数的计算公式求解．
【解答】解：这位员工得分＝（80×5+70×3+75×2）÷10＝76（分）．
故答案为76．
【点评】本题考查了加权平均数的计算，注意平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
三．解答题（共6小题，满分40分）
21．（6分）已知数据2、3、x的平均数为1，而数据2、3、x、y的平均数为﹣1．
（1）请你用列方程的方法求出y的值；
（2）对于（1）中的问题，你有几种不同的方法？哪种方法比较简单．
【分析】（1）先根据平均数的计算公式求出x的值，再根据平均数的计算公式列出关于y的方程，求出y的值即可；
（2）根据数据2、3、x的平均数为1，得出2+3+x＝3，再根据数据2、3、x、y的平均数为﹣1，得出2+3+x+y＝﹣4，然后把2+3+x作为一个整体直接代入，求出y的值，这样比（1）更简便．
【解答】解：（1）∵数据2、3、x的平均数为1，
∴（2+3+x）÷3＝1，
解得：x＝﹣2，
∵数据2、3、x、y的平均数为﹣1，
∴（2+3+x+y）÷4＝﹣1，
∴（2+3﹣2+y）÷4＝﹣1，
解得：y＝﹣7；
（2）∵数据2、3、x的平均数为1，
∴2+3+x＝3，
∵数据2、3、x、y的平均数为﹣1，
∴2+3+x+y＝﹣4，
∴3+y＝﹣4，
∴y＝﹣7．
【点评】此题考查了算术平均数，根据算术平均数的计算公式求出x，y的值是本题的关键，注意整体思想的运用．
22．（6分）小明、小华参加了学校射击队训练，下表是他们在最近一次选拔赛上的成绩（环）：
选手 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
小明 5 7 6 10 7 10 10 9
小华 8 7 9 10 6 9 7 8
（1）根据提供的数据填写下表：
平均数（环） 众数（环） 中位数（环）
小明 　8　 10 　8　
小华 8 　7，8，9　 8
（2）若学校欲从两人中选发挥比较稳定的一人参加市中学生运动会，你认为选谁去比较合适？请说明理由．
【分析】（1）小明的平均数分；将小明的成绩由小到大排列为5、6、7、7、9、10、10、10则中位数为8；小华的众数为7，8，9；
（2）首先求出小明的方差＝3.5，小华的方差＝1.5，小明和小华成绩的平均数均为8分，但小华的方差比小明的小，且大于等于8分的次数小华比小明的多，所以让小华去；或小明成绩总体上呈现上升趋势，且后几次的成绩均高于8分，所以让小明去较合适．
【解答】解：（1）
平均数（环） 众数（环） 中位数（环）
小明 8 10 8
小华 8 7，8，9 8
（2）小明的方差＝3.5，小华的方差＝1.5，小明和小华成绩的平均数均为8分，但小华的方差比小明的小，且大于等于8分的次数小华比小明的多，所以让小华去；或小明成绩总体上呈现上升趋势，且后几次的成绩均高于8分，所以让小明去较合适．
【点评】本题考查了平均数，中位数、众数及方差的概念，理解它们的概念是解决本题的关键．
23．（6分）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．
【分析】（1）用黄球的个数除以所有球的个数即可求得概率；
（2）根据概率公式列出方程求得红球的个数即可．
【解答】解：（1）∵共10个球，有2个黄球，
∴P（黄球）；
（2）设有x个红球，根据题意得：，
解得：x＝5．
故后来放入袋中的红球有5个．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（6分）我市某一周各天的最高气温统计如下表：
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
（1）写出这组数据的中位数与众数；
（2）求出这组数据的平均数．
【分析】（1）找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；
（2）根据求加权平均数公式解答即可．
【解答】解：（1）图表中的数据按从小到大排列，数据28出现了三次最多为众数；27处在第4位为中位数．中位数：27℃与众数28℃；
（2）平均数27℃．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数、平均数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
25．（8分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
【分析】（1）根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出得到黄球的概率；
（2）假设取走了x个黑球，则放入x个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可．
【解答】解：（1）∵一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，
∴摸出一个球摸是黄球的概率为：；
（2）设取走x个黑球，则放入x个黄球，
由题意，得，
解得：x，
∵x为整数，
∴x的最小正整数解是x＝9．
答：至少取走了9个黑球．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
26．（8分）某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘（如图所示，两个转盘均被等分），并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元
（1）若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
（2）选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算，请通过计算加以说明．
【分析】（1）直接由概率公式求得获得优惠的概率即可；
（2）分别求得转动两个转盘所获得的优惠平均平均数，然后比较即可得到结论．
【解答】解：（1）∵整个圆被分成了12个扇形，其中有6个扇形能享受优惠，
∴P（得到优惠）；
（2）转盘1能获得的优惠平均为：25（元），
转动转盘2，则能得到优惠的概率为，
∴转盘2能获得的优惠平均为：4020（元），
∵25＞20，
∴选择转动转盘1更优惠．
【点评】本题考查了概率公式以及平均数等知识，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第16讲 数据整理与概率复习与测试（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
二．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
三．计算器-平均数
（1）如果是普通计算器，那么只能把所有的数字相加，然后除以数字的个数．
（2）如果是科学记算器，那么可以用如下方法：
①调整计算器的模式为STAT模式．
②依次输入数据，每次输入数据后按DATA键确认数据的输入．
③输入完毕后，按x 键，即可获得平均数了．
（3）由于计算器的型号不同，可以按照说明书中的方法进行操作．
四．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
五．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
六．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
七．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
八．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
九．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
十．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
【考点剖析】
一．算术平均数（共1小题）
1．（2021秋 大丰区期末）一组数据x、0、1、﹣2、3的平均数是1，则x的值是（　　）
A．3 B．1 C．2.5 D．0
二．加权平均数（共1小题）
2．（2021秋 灌云县期末）小明统计了15天同一时段通过某路口的汽车流量如表：（单位：辆）
汽车流量 142 145 157 156
天数 2 2 5 6
则这15天在这个时段通过该路口的汽车平均流量是（　　）
A．153 B．154 C．155 D．156
三．计算器-平均数（共1小题）
3．（2020 海门市校级模拟）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据75输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是（　　）
A．2.5 B．2 C．1 D．﹣2
四．中位数（共1小题）
4．（2022春 亭湖区校级期中）数据2，2，4，8，9的中位数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
五．众数（共1小题）
5．（2022 洪泽区一模）据报道，未来五天我市每天最高气温分别为（单位：℃）：23，21，23，25，24，这组数据的众数是（　　）
A．21 B．23 C．24 D．25
六．方差（共1小题）
6．（2022 相城区一模）在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如表格：
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
七．可能性的大小（共1小题）
7．（2021秋 顺义区期末）如图是一个可以转动的转盘．盘面上有6个全等的扇形区域，其中1个是红色，2个是黄色，3个是白色．用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是（　　）
A． B． C． D．
八．概率公式（共1小题）
8．（2022 滨湖区一模）下列说法正确的是（　　）
A．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是必然事件
B．某市天气预报明天的降水概率为90%，则“明天下雨”是确定事件
C．小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件
D．若a是实数，则“|a|≥0”是不可能事件
九．几何概率（共1小题）
9．（2022 梁山县一模）小华把如图所示的4×4的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）某商店5天的营业额如下（单位：元）：14845，25706，18957，11672，16330，利用计算器求得这5天的平均营业额是（　　）
A．18116元 B．17805元 C．17502元 D．16678元
2．（3分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向 ABCD内部投掷飞镖（每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形．在看不到图形的情况下从中任意抽取一张，则抽取的卡片是轴对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．1
4．（3分）一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计．结果甲、乙两组的平均成绩相同．方差分别是36，30，则两组成绩的稳定性（　　）
A．甲组比乙组的成绩稳定
B．乙组比甲组的成绩稳定
C．甲、乙两组的成绩一样稳定
D．无法确定
6．（3分）一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（　　）
A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.2
7．（3分）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.2 9.2 9.2 9.2
方差（环2） 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（3分）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（　　）
A．众数是 6吨 B．平均数是 5吨
C．中位数是 5吨 D．方差是
9．（3分）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，值周班长对上周本班7个小组合作学习的得分情况进行了统计，得到以下评分结果：90，96，89，90，91，85，90，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．89，90 B．90，90 C．88，95 D．90，95
10．（3分）网购越来越受到居民的喜爱，小明和小亮两位同学家里去年8 12月份收到的快递数量如下：
月份 8 9 10 11 12
小明家快递数（件） 6 7 8 6 8
小亮家快递数（件） 5 10 7 6 7
根据以上数据，关于小明和小亮两位同学家里去年8 12月份收到的快递数量，下列说法正确的是（　　）
A．小明家平均每月收到的快递件数大于小亮家 B．两家快递件数的中位数相同
C．小明家每月收到的快递件数波动程度较大 D．两家快递件数的众数相同
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．（3分）任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数大于4的概率为　 　．
12．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次，射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是，，，，则射箭成绩最稳定的是 　 　．
13．（3分）已知一组样本数据的方差，则这个样本的平均数为　 　．
14．（3分）一组数据10，13，15，x，14的平均数是13，则这组数据的中位数是　 　．
15．（3分）某商场出售一批西服，最初以每件a元出售m件，后来每件降价为b元，又售出n件，剩下的t件又降价为每件c元售出，那么这批西服的平均售价为每件　 　元．
16．（3分）如图所示的3×3方格形地面上，阴影部分是草地，其余部分是空地，一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为　 　．
17．（3分）一个圆形转盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，飞镖落在转盘上，则落在黄色区域的概率是　 　．
18．（3分）在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n＝　 　．
19．（3分）有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　 　．
20．（3分）某超市对员工进行三项测试：电脑、语言、商品知识，并按三项测试得分的5：3：2的比例确定测试总分，已知某员工三项得分分别为80，70，75，则这位超市员工的总分为　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
21．（6分）已知数据2、3、x的平均数为1，而数据2、3、x、y的平均数为﹣1．
（1）请你用列方程的方法求出y的值；
（2）对于（1）中的问题，你有几种不同的方法？哪种方法比较简单．
22．（6分）小明、小华参加了学校射击队训练，下表是他们在最近一次选拔赛上的成绩（环）：
选手 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
小明 5 7 6 10 7 10 10 9
小华 8 7 9 10 6 9 7 8
（1）根据提供的数据填写下表：
平均数（环） 众数（环） 中位数（环）
小明 　 　 10 　 　
小华 8 　 　 8
（2）若学校欲从两人中选发挥比较稳定的一人参加市中学生运动会，你认为选谁去比较合适？请说明理由．
23．（6分）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．
24．（6分）我市某一周各天的最高气温统计如下表：
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
（1）写出这组数据的中位数与众数；
（2）求出这组数据的平均数．
25．（8分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
26．（8分）某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘（如图所示，两个转盘均被等分），并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元
（1）若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
（2）选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算，请通过计算加以说明．
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