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第三部分初升高定义新题型练
9.在平面直角坐标系中，
对于三个实数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个
对图形F给出如下定
数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最
义：若图形F上的所有
小的数，例如M1,2,9}=1+ +9=4,min1,
点都在以原点为顶点
3
的角的内部或边界上，
2,-3}=-3,min(3,1,1〉=1.请结合上述材
在所有满足条件的角
料，解决下列问题：
中，其度数的最小值称
(1)①M{(-2)2,22,-22}=
为图形的坐标角度，例
-3-2-10
123
②min(sin30°，cos60°，tan45}=
如，如图中的矩形ABCD的坐标角度是90°.现将二
(2)若min{3-2x,1+3.x,-5}=-5,则x的取
次函数y=ax2(1≤a≤3)的图象在直线y=1下方
值范围为
的部分沿直线y=1向上翻折，则所得图形的坐标
(3)若M{一2x,x2,3}=2,求x的值；
角度a的取值范围是
(4)如果M2,1十x,2x}=min{2,1+x,2x},求x的值.
A.30°≤a≤60°
B.60°≤a≤909
C.90°≤a≤120
D.120°≤a≤1509
10.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数
学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x
一√x=0,就可以利用该思维方式，设√x=y,将原方
程转化为：y2一y=0这个熟悉的关于y的一元二次
方程，解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你
用这种思维方式和换元法解决下面的问题.
r5x2y2+2x+2y=133
已知实数x,y满足十y+2x2y2=51
,求
4
x2+y2的值.
12.对于实数a,b,定义运算“ ”如下：a⊙b=(a十
b)2-(a-b)2.若(m十2)⊙(m-3)=24,则m=
13.欧几里得的《原本》记载，
形如x2十ax=b2的方程
6-2
的图解法是：画Rt△ABC,
使∠ACB=90°，BC=g,
2
AC=b,再在斜边AB上截取BD=受.则该方
程的一个正根是
A.AC的长
B.AD的长
11.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中
C.BC的长
D.CD的长
遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料
14.对于实数a,b,定义运算“※”如下：a※b=a2一ab,
摘录如下：
例如，5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(x-2)
=6,则x的值为
题型四
定义新运算题型
三角函数
1.定义一种运算；sin(a十3)=sin acos B-十cos asin3,
1
2-√3
sin(a-)=sin acos B-cos asin&例如：当a=45°，3=
2一√3.类比这种方
2+√3(2+√3)(2-√5)
30时，m(45+30)=号×5+×号-6+2，则
法，计算tan22.5°的值为
2
22
2
4
sin15的值为
2.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想
ch 30
的重要性，在计算tanl5°时，如图，在Rt△ACB
iDc452.5的
B
中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD
A.√2+1
B.√2-1
AB,连接AD,得∠D=15,所以tan15C
C.√2
6参考答案
参考答案
第二部分
初高中数学知识衔接
第2讲
根式、分式的化简
[重点题型剖析]
第一编初中知识回顾
题型一
归类训练
第1讲乘法公式
1.【答案】x≥1
[重点题型剖析]
【解析】由题意知，x一1≥0，
题型一
解得：x≥1，
故答案为：x≥1.
归类训练
1.【解】(n+7)2-(n-5)2
2.【解】(1)，√2x-5有意义，
.2x-5≥0，
=(1十7+i一5)(n十7-十5)
、5
=(21+2)×12
x≥2
=24(+1),
为正整数，
②是二大我，
十1为正整数，
.x一3≥0，且x一3≠0，
.24(n十1)能被24整除，
.x-3>0,
.(十7)2一(n一5)2能被24整除。
.x>3.
2.【解】(2x十y)2-(x十2y)2
题型二
=[(2x+y)+(x+2y)][(2.x+y)一(x+2y)]
归类训练
=(2x+y+x+2y)(2.x+y-x-2y)
1.【答案】D
=(3x+3y)(x-y)
【解析】，80n=42×5m,√80m是整数，
=3(x十y)(x-y)
,,正整数n的最小值是5，
题型二
故选：D.
归类训练
2.【答案】4
1.【答案】(1-3.x-3y)2
【解析】当5m十8=1时，m=-号，不合题意，
【解析】1一6(x十y)十9(x十y)2
当√5m十8=2√7，即5m十8=28时，m=4,
=1-2×1×3(x+y)+[3(x+y)]2
.√5m十8与√7是同类二次根式，那么m的最小正整数
=[1-3(x+y)]2
是4，
=(1-3x-3y)2
故答案为：4.
故答案为：(1-3.x-3y)2.
题型三
2.【解】x十y=7,xy=12,
归类训练
.x2+y2=(x+y)2-2.xy=72-2×12=25.
题型三
归类训练
1.【解】方法一：原式=(x2-1)[(x2+1)2-x2]
=(.x2-1)(x+x2+1)=x8-1.
方法二：原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)
=(x3+1)(x3-1)=x6-1.
2 x
2.【解】当x=0时，x2+3x一1≠0，x=0不是它的根，故x
5y2
≠0
2x2
5y
化简，得x2+3x-1=02-1=-3xx-1=-3
2.【解】原式-名·（-号v西)÷
12+3=(x-）+2x1=(x-）+2=(-3)2
+2=11.
2)x2-3=(x-1)(2+1+)=-311+10
(abx
√ab
=-4a2
-36.
67

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