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上海市2025年中考数学真题试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025·上海市）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.m3+m3=2m3，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
B.m3+m3=2m3，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.m3·m3=m6，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.(m3)3=m9，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】A、B选项均根据合并同类项法则计算，然后判断即可；C.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；D.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可.
2．（2025·上海市）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：根据题目可列出(x-y)2，
故答案为：B.
【分析】先列出前半部分“x与y的差”，即x-y，再列后半部分“的平方”，即可得出答案.
3．（2025·上海市）下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A.y=3x+1是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意；
B.y=3x2是二次函数，故不符合题意；
C.是反比例函数，故不符合题意；
D.是正比例函数，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】判断一个函数是否为正比例函数，需验证其形式是否为y=kx(k为常数，且k≠0)，其中的次数为1，且无常数项或其他项.
4．（2025·上海市）如图是某校体育组60人的某科成绩，下列说法中正确的是（　　）
A．中位数是21 B．中位数是85 C．众数是21 D．众数是85
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由统计图可知，把该校体育组60人的某科成绩中出现最多的是85分，故众数是85.
故答案为：D.
【分析】分别根据中位数和众数的定义解答即可.
5．（2025·上海市）在正方形ABCD中，的值是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】向量的加法法则
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠D=90°
∴，
∵
∴.
故答案为：C.
【分析】首先确定正方形各边的向量关系，利用向量加法法则计算的模长，再与的模长进行比较.
6．（2025·上海市）在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边AC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　）
A．2 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AD并延长交☉O于点E，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴BD=DC=4，OD⊥BC，
∵锐角三角形ABC中，AB=AC，
∴外接圆心O在AD上，
连接OB，由勾股定理得：
，
设以D为圆心的圆的半径为r，☉D，☉O相交应满足：|5-r|即5-r<3<5+r，
解得：2故答案为：B.
【分析】根据题意，等腰△ABC的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD=3；当☉D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5-r|二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7．（2025·上海市）分解因式a2b+ab2＝　 　．
【答案】ab（a+b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b）．
故答案为：ab（a+b）．
【分析】观察多项式，每一项都含有公因式ab，于是直接提取公因式ab即可求解．
8．（2025·上海市）不等式组的解集是　 　.
【答案】x>2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由得：x>2，
由2x+3≥x得：x≥-3，
则不等式组的解集为x>2，
故答案为：x>2.
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
9．（2025·上海市）方程的解为　 　
【答案】x=10
【知识点】无理方程
【解析】【解答】解：∵，
∴x-6=4，
∴x=10；
经检验，x=10是原方程的解，
故答案为：x=10.
【分析】利用平方法将方程转化为一元一次方程，进行求解，检验即可.
10．（2025·上海市）一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2+x+m=0没有实数根，
∴Δ=12-4×2×m=1-8m<0，
解得：
∴m的取值范围是
故答案为：.
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ=b2-4ac<0，可得出1-8m<0，解之即可得出m的取值范围.
11．（2025·上海市）抛物线向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　.
【答案】y=3x2-2
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=3x2向下平移两个单位，
∴y=3x2-2，
故答案为：y=3x2-2.
【分析】根据二次函数的平移法则进行平移即可.
12．（2025·上海市）已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是　 　.（只需写出一个）
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：根据反比例函数的性质，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，
∴k>0，
∴这个解析式可以是(答案不唯一)
故答案为：(答案不唯一).
【分析】根据反比例函数的性质：当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大，即可解答.
13．（2025·上海市）小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 1 2 3 4
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4)
8 (8，1) (8，2) (8，3) (8，4)
由表知，共有16种等可能结果，其中抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的有2种结果，
所以抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为，
故答案为：.
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
14．（2025·上海市）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB=53。时，他才能开门，那么BD长为　 　.（参考数据：sin53。≈0.8，cos53。≈0.6，tan53。≈1.33，保留1位小数）
【答案】1.2
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意易知四边形CDBE是矩形，
∴CD=BE=1.8m，BD=CE，
∴AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9m，
在Rt△ACE中，
∵
∴CE=tanA·AE≈1.33×0.9=1.197≈1.2(m)，
∴BD=1.2m.
故答案为：1.2m.
【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先得到BD与CE、CD与EB间关系，再利用线段的和差关系求出AE的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论.
15．（2025·上海市）某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人流，先对2000人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为1.8万人，其中有约　 　人选择出租车．
【答案】0.18万
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：某日高铁站出站客流约为1.8万人，
其中选择出租车约有1.8×(1-15%-15%-60%)=0.18(万人)
故答案为：0.18万.
【分析】用总人数乘出站选择出租车的人数所占的百分比即可.
16．（2025·上海市）已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10-12秒，那么这个工具1秒可以擦除　 　次（用科学记数法表示）．
【答案】2.5×109
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：这个工具1秒可以擦除1÷(400×1×10-12)=2.5×109(次)
故答案为：2.5×109.
【分析】用1秒除以400皮秒，答案写成科学记数法即可.
17．（2025·上海市）已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE，若四边形ABEF是菱形，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵E关于直线AD的对称点为F，
∴DF=DE，
设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，
∵四边形AFEB是菱形，
∴AB=AF=EF=2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC =90°，
∴∠ADF=180°-∠ADC=90°
∴，
∴
故答案为：.
【分析】由轴对称的性质可得DF=DE，设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，由菱形的性质得到AB=AF=EF=2m，证明∠ADF=90°，利用勾股定理可得，据此可得答案.
18．（2025·上海市）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为　 　度.
【答案】108或36
【知识点】圆内接正多边形；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当角的顶点在圆上时，如☉O交∠ABC的两边，截取的两条弦为AB，BC，此时∠ABC恰好是正五边形的一个内角，
∴
当角的顶点在圆外部，即☉O交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE，CD时，
则：
∴∠FED=∠FDE=180°-108°=72°，
∴∠F=180°-2×72°=36°；
综上：这个角的大小是36°或108°；
故答案为：108或36.
【分析】如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如∠ABC，弦为AB，BC时，此时∠ABC恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即☉O交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE，CD时，进行求解即可.
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（2025·上海市）计算：.
【答案】解：原式=
【知识点】负整数指数幂；分母有理化；实数的绝对值；分数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.
20．（2025·上海市）解方程：.
【答案】解：程两边同乘(x-2)(x-1)，
得：(x-3)(x-1)-2=2(x-2)，
解得：x=1或5，
检验：当x=1时，(x-1)=0，
当x=5时，(x-2)(x-1)≠0，
∴原方程的解为x=5
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案.
21．（2025·上海市）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：
（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．
【答案】（1）解：每分钟加水量为(160-80)÷2=40(升)，
则y=40x+80，
当40x+80=200时，解得x=3，
∴y与x的函数关系式及定义域为y=40x+80(0≤x≤3)．
（2）解：当时，，
∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值，即可求出定义域；
(2)根据(1)所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可.
22．（2025·上海市）某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．
（1）如图1，梯形ABCD中，AD//BC，AB丄BC，点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E旋转180。得到△BFE，若AD=a，且此时DF=DC，求BC的长（用含a的代数式尝试表示）；
（2）如图2，梯形MNPQ，MN//PQ，MQ=NP，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点.（模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点）
【答案】（1）解：如图1中，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AB⊥BC，AD//BC，
∴∠A=∠ABC=90。，
∵∠DHB=90。，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH=a，
∵E是AB的中点，
∴AE=EB，
∵∠A=∠EBF=90。，∠AED=∠FEB，
∴△AED≌△BEF(ASA)，
∴AD=FB=a，
∵DF=DC，DH⊥CF，
∴FH=HC=2a，
∴BC=BH+CH=3a；
（2）解：图形如图2所示．
方法：取MN，MQ，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PQ的延长线于点L，连接JT，延长JT交QP的延长线于点G，
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)如图1中，过点D作DH⊥BC于点H，证明BG=AD=a，BH=AD=a，再证明FH=HC=2a可得结论；
(2)取MN，MO，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PO的延长线于点L，连接JT，延长JT交OP的延长线于点G即可.
23．（2025·上海市）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE=DF．
（1）求证：AB//CD；
（2）若AB=BD，求证：AB2=BF·OB．
【答案】（1）证明：连接OC，OD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵CE=DF，
∴△OCE≌△ODF(SAS)，
∴OE=OF，
∴EF//AB，
∴CD//AB；
（2）证明：∵△OCE≌△ODF，
∴∠COE=∠DOF，
∵AB=BD，
∴∠AOB=∠DOF，
∴∠AOB=∠DOF=∠COE，
连接AF，
∵OA=OD，
∴△AOF≌△DOF(SAS)，
∴∠OAF=∠ODF=∠OCE，
∵∠OCE=∠OAF，∠OEC=∠AEF，
∴△OEC∽△FEA，
∴∠COE=∠AFE，
∴∠AOB=∠FAB=∠AFE，
∴△BAF∽△BOA，
.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接OC，OD，证明△OCE=△ODF(SAS)，得出OE=OF，得到CD//AB；
(2)证明△BAF∽△BOA，得到，得出AB2=BF·OB.
24．（2025·上海市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点P，抛物线于y轴交于点C．
（1）求b和c的值．
（2）另一条抛物线y=ax2+mx+n（a≠1）也经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点Q，与y轴交于点D．
①求的值；
②当四边形CDPQ是直角梯形，求其最小内角的正弦值．
【答案】（1）解：将A(1，1)，B(3，1)代入中，
（2）解：①将A(1，1)，B(3，1)代入中，
∴
∴
∴抛物线解析式为，
∵抛物线与y轴交于点D，
∴D(0，3a+1)，顶点Q(2，1-a)，
由(1)可知：，
∴C(0，4)，P(2，0)，
∴，，
∴；
②a.当时，如图所示，D(0，0)，
，
，
，
∴∠QCD为最小内角，
过点Q作于点M，
，
，，，
b.当CD丄CQ时，如图所示，Q(2，4)
∴1-a=4，
∴a=-3，
∴D(0，-8)，
∴∠CDP为最小内角，
过点P作PN丄CD于点N，
∴N(0，0)，
∴PN=2，DN=8，PD=2
∴sin∠CDP=
综上所述：最小的角的正弦值为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)代入点A和B的坐标，建立方程组求解b和c；
(2)①分析第二条抛物线的对称性，确定参数关系，求出解析式，在计算CD和PQ的长度，即可求解；
②四边形CDPQ为直角梯形，需满足一边与竖直方向垂直，分两种情况：当边CQ水平时，a=-3；当边DP水平时，，分别计算两种情况下最小内角的正弦值.
25．（2025·上海市）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．
（1）若E是BC中点；
①若AE=EF，求证：∠BAE=∠EFC；
②若CF=DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；
（2）如图2，若AB=3，AD=5，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，求AF的长．
【答案】（1）解：①证明：如图所示，延长FE，AB交于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EBH=∠ECF，∠EHB=∠EFC，
∵E是边BC中点，
∴BE=CE，
∴△BEH≌△CEF(AAS)
∴EH=EF，∠H=∠CFE，
∵AE=EF，
∴AE=EH，
∴∠H=∠BAE，
∴∠BAE=∠CFE；
②解：如图所示，延长BF，AD交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF
，
∴BF=MF，BC=DM，
∵E是边BC中点，
∴BC=2CE=2BE，
设CE=BE=m，则BC=DM=2m，
∴AM=AD+DM=4m
，
，
设，则，，
；
（2）解：如图所示，延长AD，EF交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD=AB=3，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠AEB=∠AFE=∠EFC，
∴∠EFA=∠EAD，
又∵∠AEF=∠MEA，
∴△AEF∽△MEA，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=180。∠AEB=∠EFC，
∴∠AEF=∠FCE，
∴△AEF∽△ECF，
∵AD//BC，
∴△ECF∽△MDF，
∴
∵CF=1，
∴DF=CD-CF=2，
设CE=s，FE=t，
∵△AEF∽△ECF，
即
.
即
，
，
，
即
解得或，
∴.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)①延长FE，AB交于H，可证明△BEH≌△CEF(AAS)，得到EH=EF，∠H=∠CFE，则可证明AE=EH，得到∠H=∠BAE，即可得出结论；
②如图所示，延长BF，AD交于M，由平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，证明△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，得到 则BF=MF，BC=DM；设CE=BE=m，则BC=DM=2m，AM=AD+DM=4m，进而即可得到结论；
(2)延长AD，EF交于M，由平行四边形的性质可得AD//BC，CD=AB=3，证明△AEF∽△MEA，再证明△ECF∽△MDF，得到，求出DF=CD-CF=2，设CE=s，FE=t，则由相似三角形的性质可得AE=st，AF=t2，DM=2s，FM=2t，进而可得AM=AD+DM=5+2s；再由△AEF∽△MEA，列出方程，解之即可得出结论.
1 / 1上海市2025年中考数学真题试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025·上海市）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·上海市）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·上海市）下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·上海市）如图是某校体育组60人的某科成绩，下列说法中正确的是（　　）
A．中位数是21 B．中位数是85 C．众数是21 D．众数是85
5．（2025·上海市）在正方形ABCD中，的值是（　　）
A． B． C． D．2
6．（2025·上海市）在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边AC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　）
A．2 B．5 C．8 D．10
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7．（2025·上海市）分解因式a2b+ab2＝　 　．
8．（2025·上海市）不等式组的解集是　 　.
9．（2025·上海市）方程的解为　 　
10．（2025·上海市）一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围是　 　.
11．（2025·上海市）抛物线向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　.
12．（2025·上海市）已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是　 　.（只需写出一个）
13．（2025·上海市）小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为　 　．
14．（2025·上海市）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB=53。时，他才能开门，那么BD长为　 　.（参考数据：sin53。≈0.8，cos53。≈0.6，tan53。≈1.33，保留1位小数）
15．（2025·上海市）某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人流，先对2000人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为1.8万人，其中有约　 　人选择出租车．
16．（2025·上海市）已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10-12秒，那么这个工具1秒可以擦除　 　次（用科学记数法表示）．
17．（2025·上海市）已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE，若四边形ABEF是菱形，那么的值为　 　．
18．（2025·上海市）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为　 　度.
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（2025·上海市）计算：.
20．（2025·上海市）解方程：.
21．（2025·上海市）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：
（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．
22．（2025·上海市）某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．
（1）如图1，梯形ABCD中，AD//BC，AB丄BC，点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E旋转180。得到△BFE，若AD=a，且此时DF=DC，求BC的长（用含a的代数式尝试表示）；
（2）如图2，梯形MNPQ，MN//PQ，MQ=NP，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点.（模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点）
23．（2025·上海市）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE=DF．
（1）求证：AB//CD；
（2）若AB=BD，求证：AB2=BF·OB．
24．（2025·上海市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点P，抛物线于y轴交于点C．
（1）求b和c的值．
（2）另一条抛物线y=ax2+mx+n（a≠1）也经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点Q，与y轴交于点D．
①求的值；
②当四边形CDPQ是直角梯形，求其最小内角的正弦值．
25．（2025·上海市）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．
（1）若E是BC中点；
①若AE=EF，求证：∠BAE=∠EFC；
②若CF=DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；
（2）如图2，若AB=3，AD=5，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，求AF的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.m3+m3=2m3，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
B.m3+m3=2m3，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.m3·m3=m6，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.(m3)3=m9，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】A、B选项均根据合并同类项法则计算，然后判断即可；C.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；D.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可.
2．【答案】B
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：根据题目可列出(x-y)2，
故答案为：B.
【分析】先列出前半部分“x与y的差”，即x-y，再列后半部分“的平方”，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A.y=3x+1是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意；
B.y=3x2是二次函数，故不符合题意；
C.是反比例函数，故不符合题意；
D.是正比例函数，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】判断一个函数是否为正比例函数，需验证其形式是否为y=kx(k为常数，且k≠0)，其中的次数为1，且无常数项或其他项.
4．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由统计图可知，把该校体育组60人的某科成绩中出现最多的是85分，故众数是85.
故答案为：D.
【分析】分别根据中位数和众数的定义解答即可.
5．【答案】C
【知识点】向量的加法法则
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠D=90°
∴，
∵
∴.
故答案为：C.
【分析】首先确定正方形各边的向量关系，利用向量加法法则计算的模长，再与的模长进行比较.
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AD并延长交☉O于点E，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴BD=DC=4，OD⊥BC，
∵锐角三角形ABC中，AB=AC，
∴外接圆心O在AD上，
连接OB，由勾股定理得：
，
设以D为圆心的圆的半径为r，☉D，☉O相交应满足：|5-r|即5-r<3<5+r，
解得：2故答案为：B.
【分析】根据题意，等腰△ABC的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD=3；当☉D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5-r|7．【答案】ab（a+b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b）．
故答案为：ab（a+b）．
【分析】观察多项式，每一项都含有公因式ab，于是直接提取公因式ab即可求解．
8．【答案】x>2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由得：x>2，
由2x+3≥x得：x≥-3，
则不等式组的解集为x>2，
故答案为：x>2.
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
9．【答案】x=10
【知识点】无理方程
【解析】【解答】解：∵，
∴x-6=4，
∴x=10；
经检验，x=10是原方程的解，
故答案为：x=10.
【分析】利用平方法将方程转化为一元一次方程，进行求解，检验即可.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2+x+m=0没有实数根，
∴Δ=12-4×2×m=1-8m<0，
解得：
∴m的取值范围是
故答案为：.
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ=b2-4ac<0，可得出1-8m<0，解之即可得出m的取值范围.
11．【答案】y=3x2-2
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=3x2向下平移两个单位，
∴y=3x2-2，
故答案为：y=3x2-2.
【分析】根据二次函数的平移法则进行平移即可.
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：根据反比例函数的性质，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，
∴k>0，
∴这个解析式可以是(答案不唯一)
故答案为：(答案不唯一).
【分析】根据反比例函数的性质：当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大，即可解答.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 1 2 3 4
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4)
8 (8，1) (8，2) (8，3) (8，4)
由表知，共有16种等可能结果，其中抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的有2种结果，
所以抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为，
故答案为：.
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
14．【答案】1.2
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意易知四边形CDBE是矩形，
∴CD=BE=1.8m，BD=CE，
∴AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9m，
在Rt△ACE中，
∵
∴CE=tanA·AE≈1.33×0.9=1.197≈1.2(m)，
∴BD=1.2m.
故答案为：1.2m.
【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先得到BD与CE、CD与EB间关系，再利用线段的和差关系求出AE的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论.
15．【答案】0.18万
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：某日高铁站出站客流约为1.8万人，
其中选择出租车约有1.8×(1-15%-15%-60%)=0.18(万人)
故答案为：0.18万.
【分析】用总人数乘出站选择出租车的人数所占的百分比即可.
16．【答案】2.5×109
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：这个工具1秒可以擦除1÷(400×1×10-12)=2.5×109(次)
故答案为：2.5×109.
【分析】用1秒除以400皮秒，答案写成科学记数法即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵E关于直线AD的对称点为F，
∴DF=DE，
设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，
∵四边形AFEB是菱形，
∴AB=AF=EF=2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC =90°，
∴∠ADF=180°-∠ADC=90°
∴，
∴
故答案为：.
【分析】由轴对称的性质可得DF=DE，设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，由菱形的性质得到AB=AF=EF=2m，证明∠ADF=90°，利用勾股定理可得，据此可得答案.
18．【答案】108或36
【知识点】圆内接正多边形；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当角的顶点在圆上时，如☉O交∠ABC的两边，截取的两条弦为AB，BC，此时∠ABC恰好是正五边形的一个内角，
∴
当角的顶点在圆外部，即☉O交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE，CD时，
则：
∴∠FED=∠FDE=180°-108°=72°，
∴∠F=180°-2×72°=36°；
综上：这个角的大小是36°或108°；
故答案为：108或36.
【分析】如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如∠ABC，弦为AB，BC时，此时∠ABC恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即☉O交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE，CD时，进行求解即可.
19．【答案】解：原式=
【知识点】负整数指数幂；分母有理化；实数的绝对值；分数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.
20．【答案】解：程两边同乘(x-2)(x-1)，
得：(x-3)(x-1)-2=2(x-2)，
解得：x=1或5，
检验：当x=1时，(x-1)=0，
当x=5时，(x-2)(x-1)≠0，
∴原方程的解为x=5
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案.
21．【答案】（1）解：每分钟加水量为(160-80)÷2=40(升)，
则y=40x+80，
当40x+80=200时，解得x=3，
∴y与x的函数关系式及定义域为y=40x+80(0≤x≤3)．
（2）解：当时，，
∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值，即可求出定义域；
(2)根据(1)所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可.
22．【答案】（1）解：如图1中，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AB⊥BC，AD//BC，
∴∠A=∠ABC=90。，
∵∠DHB=90。，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH=a，
∵E是AB的中点，
∴AE=EB，
∵∠A=∠EBF=90。，∠AED=∠FEB，
∴△AED≌△BEF(ASA)，
∴AD=FB=a，
∵DF=DC，DH⊥CF，
∴FH=HC=2a，
∴BC=BH+CH=3a；
（2）解：图形如图2所示．
方法：取MN，MQ，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PQ的延长线于点L，连接JT，延长JT交QP的延长线于点G，
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)如图1中，过点D作DH⊥BC于点H，证明BG=AD=a，BH=AD=a，再证明FH=HC=2a可得结论；
(2)取MN，MO，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PO的延长线于点L，连接JT，延长JT交OP的延长线于点G即可.
23．【答案】（1）证明：连接OC，OD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵CE=DF，
∴△OCE≌△ODF(SAS)，
∴OE=OF，
∴EF//AB，
∴CD//AB；
（2）证明：∵△OCE≌△ODF，
∴∠COE=∠DOF，
∵AB=BD，
∴∠AOB=∠DOF，
∴∠AOB=∠DOF=∠COE，
连接AF，
∵OA=OD，
∴△AOF≌△DOF(SAS)，
∴∠OAF=∠ODF=∠OCE，
∵∠OCE=∠OAF，∠OEC=∠AEF，
∴△OEC∽△FEA，
∴∠COE=∠AFE，
∴∠AOB=∠FAB=∠AFE，
∴△BAF∽△BOA，
.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接OC，OD，证明△OCE=△ODF(SAS)，得出OE=OF，得到CD//AB；
(2)证明△BAF∽△BOA，得到，得出AB2=BF·OB.
24．【答案】（1）解：将A(1，1)，B(3，1)代入中，
（2）解：①将A(1，1)，B(3，1)代入中，
∴
∴
∴抛物线解析式为，
∵抛物线与y轴交于点D，
∴D(0，3a+1)，顶点Q(2，1-a)，
由(1)可知：，
∴C(0，4)，P(2，0)，
∴，，
∴；
②a.当时，如图所示，D(0，0)，
，
，
，
∴∠QCD为最小内角，
过点Q作于点M，
，
，，，
b.当CD丄CQ时，如图所示，Q(2，4)
∴1-a=4，
∴a=-3，
∴D(0，-8)，
∴∠CDP为最小内角，
过点P作PN丄CD于点N，
∴N(0，0)，
∴PN=2，DN=8，PD=2
∴sin∠CDP=
综上所述：最小的角的正弦值为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)代入点A和B的坐标，建立方程组求解b和c；
(2)①分析第二条抛物线的对称性，确定参数关系，求出解析式，在计算CD和PQ的长度，即可求解；
②四边形CDPQ为直角梯形，需满足一边与竖直方向垂直，分两种情况：当边CQ水平时，a=-3；当边DP水平时，，分别计算两种情况下最小内角的正弦值.
25．【答案】（1）解：①证明：如图所示，延长FE，AB交于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EBH=∠ECF，∠EHB=∠EFC，
∵E是边BC中点，
∴BE=CE，
∴△BEH≌△CEF(AAS)
∴EH=EF，∠H=∠CFE，
∵AE=EF，
∴AE=EH，
∴∠H=∠BAE，
∴∠BAE=∠CFE；
②解：如图所示，延长BF，AD交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF
，
∴BF=MF，BC=DM，
∵E是边BC中点，
∴BC=2CE=2BE，
设CE=BE=m，则BC=DM=2m，
∴AM=AD+DM=4m
，
，
设，则，，
；
（2）解：如图所示，延长AD，EF交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD=AB=3，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠AEB=∠AFE=∠EFC，
∴∠EFA=∠EAD，
又∵∠AEF=∠MEA，
∴△AEF∽△MEA，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=180。∠AEB=∠EFC，
∴∠AEF=∠FCE，
∴△AEF∽△ECF，
∵AD//BC，
∴△ECF∽△MDF，
∴
∵CF=1，
∴DF=CD-CF=2，
设CE=s，FE=t，
∵△AEF∽△ECF，
即
.
即
，
，
，
即
解得或，
∴.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)①延长FE，AB交于H，可证明△BEH≌△CEF(AAS)，得到EH=EF，∠H=∠CFE，则可证明AE=EH，得到∠H=∠BAE，即可得出结论；
②如图所示，延长BF，AD交于M，由平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，证明△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，得到 则BF=MF，BC=DM；设CE=BE=m，则BC=DM=2m，AM=AD+DM=4m，进而即可得到结论；
(2)延长AD，EF交于M，由平行四边形的性质可得AD//BC，CD=AB=3，证明△AEF∽△MEA，再证明△ECF∽△MDF，得到，求出DF=CD-CF=2，设CE=s，FE=t，则由相似三角形的性质可得AE=st，AF=t2，DM=2s，FM=2t，进而可得AM=AD+DM=5+2s；再由△AEF∽△MEA，列出方程，解之即可得出结论.
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