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五中集团·北京一中2024-2025学年第二学期期中考试试卷
高二年级 数学
2025年5月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题
1. （ ）
A. 65 B. 160 C. 165 D. 210
2. 已知函数，设是函数导函数，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 在二项式的展开式中，的系数为（ ）
A. -60 B. 60 C. -30 D. 30
4. 已知，，等于
A. B. C. D.
5. 将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（ ）
A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种
6. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 小明家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为. 已知邻居记得浇水的概率为，忘记浇水的概率为，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若，且，则实数值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
9. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
11. 的展开式中的常数项为______.
12. 已知，则______.
13. 已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P 04 p 04
则p＝___；D（X）＝___．
14. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是______________．
15. 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
①对于任意，函数存在最小值；
②对于任意，函数是上的减函数；
③存在，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点.
其中正确命题的序号是______.
第Ⅱ卷
16. 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X．
（1）求值；
（2）求随机变量X的分布列和数学期望．
17. 已知函数．
（1）求函数图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
18. 某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：
教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96
学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96
根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．
（1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（结论不要求证明）；
（2）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．
19. 已知函数
（1）求函数在上的最大值和最小值；
（2）求证：当时，函数的图象在的下方．
20. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：．
21. 由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”.
（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；
（2）若集合为“满集”，求的值；1.C 2.A 3 B 4 C 5 B 6 C 7 C 8 C 9 A 10 D
11. 252
12. -1
13. 0.2，0.8
14
15. ①④
16. 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X．
（1）求的值；
（2）求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可.
（2）得出的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，即可得出数学期望.
【小问1详解】
根据题意可知，
“”指事件“取出的个球中，恰有个白球”，
所以.
【小问2详解】
根据题意可知，的可能取值为：．
；；．
所以随机变量X的分布列为：
则的数学期望．
17. 已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）单调递减区间为，单调递增区间为.
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义，即可求得切线方程；
（2）求得，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间.
【小问1详解】
解：由函数，可得，可得，
因为切点为，所以切线方程为，即.
【小问2详解】
解：由函数，其定义域为，且，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
18. 某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：
教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96
学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96
根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．
（1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（结论不要求证明）；
（2）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．
【答案】（1）>，<；（2）分布列见解析，数学期望；（3）.
【解析】
【分析】（1）直接判断>，<；
（2）经分析X服从二项分布，利用公式求出概率，写出分布列，计算数学期望即可；
（3）利用相互独立事件的概率计算公式进行计算.
【详解】（1）>，<，
，
.
（2）教师对菜品满意的概率,则随机变量X服从二项分布，即
X可取0,1,2,3，且，
所以，，
，，
所以分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以数学期望,
即数学期望为.
（3）记事件C: 教师的满意度等级高于学生的满意度等级，
用A1、A2、A3分别表示教师对该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，
用B1、B2、B3分别表示学生对该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，
且A1、A2、A3 、B1、B2、B3相互独立，则
所以
.
即教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为.
19. 已知函数
（1）求函数在上的最大值和最小值；
（2）求证：当时，函数的图象在的下方．
【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）证明详见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）先求导数，确定导函数恒大于零，即得函数单调递增，最后根据单调性确定最值，（2）先作差函数，利用导数研究函数单调性，再根据单调性去掉函数最值，根据最大值小于零得证结论.
试题解析：(1)因为f(x)＝x2＋ln x，所以
因为x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，
所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.
(2)证明：令，
所以
因为x>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是减函数，
所以.所以f(x)所以当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在的下方．
20. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意，列出方程组计算即可得；
（2）设直线为，联立椭圆方程可得与横坐标有关韦达定理，借助、两点坐标可表示出、，计算可得，即可得解.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为；
小问2详解】
由题意可知直线的斜率存在，设其方程为．
则，直线的方程为，
由，得，
由，得，
设，则，
直线的方程为，
联立直线和得，
解得，
同理可得，
所以，
因为
，
所以，即点和点关于原点对称，
所以．
.
21. 由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”.
（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；
（2）若集合为“满集”，求的值；
【答案】（1）是“满集”，不是“满集”；理由见解析；（2）；（3）是“满集”，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由和确定可能的取值，根据“满集”定义可知满足定义，但存在时不符合“满集”定义，由此可得结论；
（2）设，由“满集”定义知：，由此可知或，在两种情况下均可确定，由此得到结果；
（3）由等比数列求和公式确定，可得到，取，即可得到结论.
【详解】（1），且的子集为，，，，
当时，；当时，；当时，，
是“满集”；
，且的子集为，，，，
当时，不存在集合的两个子集，使得成立，
不是“满集”.
（2）设，集合为“满集”对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，
，且，或.
当时，，此时；
当时，，，
为最大，此时.
综上所述：.

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