资源简介

浙江省绍兴市柯桥区2025年九年级中考适应性联系数学试卷（二模）
1．（2025·柯桥二模）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·柯桥二模）下列各式运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·柯桥二模）经文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”假期全国国内出游3.14亿人次.其中数据“3.14亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·柯桥二模）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·柯桥二模）在体育中考“排球垫球”项目中，某校某小组的5位学生垫球次数如下：70、71、74、74、72，则这组数据的中位数为（　　）
A．70 B．71 C．72 D．74
6．（2025·柯桥二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC+∠BOC=84°，则∠BOC的度数为（　　）
A．28° B．48° C．56° D．60°
7．（2025·柯桥二模）中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题，大意如下：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量共为1斤.问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·柯桥二模）在AABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法：
甲同学：如图1，延长DE到点F，使EF=DE，连接DC，AF，FC. 乙同学：如图2，过点E作GE//AB，过点A作AF//BC，GE与AF交于点F.
其中能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以
9．（2025·柯桥二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点M（-2，m），N（4，n），若m＜n，则下列可能成立的是（　　）
A．当a>0时，a+b=0 B．当a>0时，2a+b=0
C．当a<0时，a+b=0 D．当a<0时，2a-b=0
10．（2025·柯桥二模）如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形ABCD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·柯桥二模）因式分解： =　 　.
12．（2025·柯桥二模）DeepSeek是一款基于人工智能技术的深度搜索工具，从“DeepSeek”中随机抽取一个字母，抽中字母“e”的概率是　 　.
13．（2025·柯桥二模）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，若AB=2，则AP=　 　.
14．（2025·柯桥二模）一副三角板ABC和CDE按如图方式摆放，其中∠BAC=∠DCE=90°，∠D=30°，∠B=45°，点A恰好落在DE上，且BC//DE，则∠ACE的度数为　 　.
15．（2025·柯桥二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边AB与反比例函数（k为常数，，）的图象交于A，D两点，且与y轴正半轴交于点B，点C在反比例函数（）的图象上，若点D是AB的中点，则k的值为　 　.
16．（2025·柯桥二模）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥AC，交BC于点D，点F是AB上的点，且满足DB=DF，连接CF，若AC=5，CF=6，则CD=　 　.
17．（2025·柯桥二模）计算：.
18．（2025·柯桥二模）解不等式组：
19．（2025·柯桥二模）如图，已知菱形ABCD，∠DAB=120°，延长AC至点F，连接DF，∠FDA=90°，延长BC交DF于点E.
（1）求证：BD=DF；
（2）若AD=1，求△BDE的面积.
20．（2025·柯桥二模）某校课外兴趣小组对五一学生外出参加科技馆活动使用交通工具的情况，进行了随机抽样的调查，调查后发现学生选用A、B、C、D四种交通工具的其中一种.A表示乘坐地铁出行，B表示乘坐私家车出行，C表示乘坐公交车出行，D表示公享单车出行或其他，划分类别后的数据整理如下表：
学生外出参加科技馆活动使用交通工具统计表与扇形统计图
类别 人数 比率
A 15 a
B 20 b
C 12 c
D d 0.06
（1）求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；
（2）若该校有1600名学生，估计该校学生中类别为A的人数
21．（2025·柯桥二模）小张和小李分别完成一个作图问题：
如图1，在□ABCD中，AB小张：如图1，以A为圆心，PC长为半径画弧，交AD于点Q，连结CQ即为所求
小李：我的方法和你不一样，只用无刻度直尺且不用圆规就可以完成作图，……
（1）给出小张作法中CQIIAP的证明过程；
（2）请在图2中完成小李的作图方法（保留作图痕迹）
22．（2025·柯桥二模）载人飞艇已在绍兴及周边区域试飞，未来人们出行将更加便捷，现有甲艇从杭州站经绍兴站飞向宁波站：乙艇从宁波站经绍兴站飞向杭州站，三站均在同一直线上，如图1所示：
两艇同时出发，匀速飞行，图2是甲、乙两艇飞行离绍兴站的距离y（km）与飞行时间x（h）之间的函数图象.
（1）填空：a的值为　 　；m的值为　 　.
（2）求乙艇离绍兴站的距离y与飞行时间x（0≤x≤3）之间的函数表达式；
（3）乙艇到达杭州站前，两艇与绍兴站的距离之和不超过100km时，求飞行时间x的取值范围.
23．（2025·柯桥二模）已知抛物线у=-x2+bx-3（b为常数）.
（1）若该函数的图象经过（1，0）
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向右平移m（m>0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y=x-3上，求m的值；
（2）若点P（n，a），Q（n+2，a），M（-2，t）都在这个二次函数图象上，且-324．（2025·柯桥二模）在圆内接四边形ABCD中，AB为直径，D为半圆弧AB的中点，连接AC.
（1）如图1，
①求的度数；
②求证：；
（2）如图2，过点C作交AB于点E，若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数为
故答案为：A.
【分析】
根据相反数的概念可知.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A选项错误；
B、，B选项错误；
C、，C选项错误；
D、，D选项正确；
故答案为：D.
【分析】
幂的乘方，底数不变，指数相乘，系数要看偶次方为正数，奇次方为负数，A选项错误；幂的乘积，系数相乘，底数不变，指数相加，B选项错误，不是同类项的不能合并，C选项错误；幂的除法，底数不变，指数相减，D选项正确.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可知，3.14亿=
故答案为：B.
【分析】
根据科学记数法，将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数.
4．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由已知条件可知，
∵主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆形，
∴这个几何体是一个圆锥体；
故答案为：A.
【分析】
根据立体图形的三视图确定这个几何体.
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵由已知条件可知5位学生的垫球次数由小到大依次为，70、71、72、74、74，
∴这组数据的中位数为72；
故答案为：C.
【分析】
根据中位数的概念可以求得.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠BOC分别为同弧所对应的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵ ∠BAC+∠BOC=84°，
∴∠BAC+2∠BAC=84°，
∴3∠BAC=84°，
∴BAC=28°
∴∠BOC=2∠BAC=56°
故答案为：C.
【分析】
根据同弧所对应的圆心角是圆周角的2倍，根据已知 ∠BAC+∠BOC=84° ，即可得到 ∠BOC 的值.
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意列方程得
故答案为：D.
【分析】根据“五只雀，六只燕共重一斤，且四只雀、一只燕的重量和一只雀、五只燕的重量一样重”，这个等量关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由图1可知，
∵ D，E分别是AB，AC的中点
∴AE=EC，AD=DB
∵ EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF=AD，CF∥AD，
∴CF=DB，CF∥DB，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF=BC，
∴DE=，
∴DE=，
∴甲可证；
由图2可知，
∵AF∥BC， GE//AB ，
∴四边形AFGB是平行四边形，
∵ 点D，E分别是AB，AC的中点 ，
∴DE∥BG，EF=EG，AE=EC，DE=AF=BG，
∵∠AEF=∠GEC，
∴△AEF≌△CEG，
∴AF=GC，
∴DE=，
∴乙可证.
故答案为：A.
【分析】
图一根据平行四边形的判定和性质，可证三角形中位线定理；图2根据平行四边形的判定和性质以及全三角形的判定和性质可证三角形中位线定理.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点M（-2，m），N（4，n） ，
把M（-2，m），N（4，n）代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
∴m=，n=，
∵m∴4a-2b+c<16a+4b+c，
整理得：16a-4a+4b+2b>0，
2a+b>0，
∴当a>0，a+b=0，A符合题意，
当a>0，2a+b>0，B不符合题意，
当a<0，a+b<0，C不符合题意，
当a<0，2a-b<0，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，以及二次函数经过的坐标点，代入解析式得m=，n=，根据m0，分类讨论即可知.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAH=90°，
∵△ADE和△BHA都是直角三角形，
∴∠AED=∠BHA=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠DAE=∠ABH
∴△ADE∽△BAH，
∴
根据全等三角形性质设AE=CG=GH=EF=a，DE=EH=FC=BC=b，
∴AH=AE-EH=a-b，BH=GH+BG=a+b
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
∴
故答案为：C.
【分析】先证明△ADE和△BAH相似得，根据全等三角形性质设AE=CG=GH=EF=a，DE=EH=FG=BG =b，则AH=AE-EH=a-b，BH=CH+BG=a+b，，由勾股定理得，，由此得，据此即可得出与的值.
11．【答案】(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
故答案为(x+3)(x-3).
【分析】运用平方差公式因式分解.
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ DeepSeek 中的e字母一共出现了四次，一共有八个字母
∴抽中字母“e”的概率是；
故答案为：.
【分析】
根据概率的概念即可求出.
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点 ，
∴黄金分割点比例为，
∵ AB=2 ，
∴AP=AB×=2×=
故答案为：.
【分析】
根据黄金分割点的数学定义即可知.
14．【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ BC//DE ，
∴∠CAE=∠ACB，
∵ ∠BAC=∠DCE=90°，∠D=30°，∠B=45° ，
∴∠CAE=∠ACB=45°，∠E=60°
在△ACE中，
∴∠ACE=180°-∠CAE-∠E=180°-45°-60°=75°
故答案为：75°.
【分析】
根据平行线性质，∠CAE=∠ACB，根据直角三角板和三角形内角和定理，可以求出 ∠ACE的度数 .
15．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，设
∵D是AB中点，
∴xA=2xD=2a，
∴
∴
∵平行四边形OABC的对角线AC与BO互相平分，
∴
∵点C在反比例函数(x<0)的图象上，
∴
∴k=6.
故答案为：6.
【分析】依据题意，设，由D是AB中点，则xA=2xD=2a，故，从而，再结合平行四边形OABC的对角线AC与BO互相平分，可得，又点C在反比例函数 (x<0)的图象上，进而，故可判断得解.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；四点共圆模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵等腰三角形△ABC中，
∴AB=AC=5
∴AD⊥AC，即∠DAC=90°
∴DB=DF
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB
∵DB=DF，
∴∠B=∠DFB
∴∠ACB=∠DFB
∵∠ACB=∠DFB，
∴A、F、D、C 四点共圆，
根据四点共圆性质，∠DFC=∠DAC=90°，
∵∠DAC=90°，
∴∠DFC=90°
设CD=x，在Rt△DAC中，
由勾股定理得AD2=CD2-AC2=x2-25，
∵DB=DF，∠DFC=90°，
∴△DFC∽△DAC
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的性质即可推出∠ACB=∠DFB，再根据圆的基本性质可得∠DFC=∠DAC=90°，利用勾股定理与相似三角形的性质即可得CD的值.
17．【答案】解：原式=4+-1+1
=4+
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值
【解析】【分析】先算、、的值，再算加法.
18．【答案】解： 解不等式组：
解不等式①，得x<2，
解不等式②，得x≥-3，
原不等式组的解集为-3≤x<2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】
分别解不等式求出x的取值范围，再找两个不等式的解集即可.
19．【答案】（1）证明：在菱形 ABCD 中，
，BD 平分 .
，
又 ，，，
在 与 中，
，
，
，
，
.
（2）解：由 (1)得，∠BDE=∠DAF=60°，∠DBE=30°.
∴∠DEB=90°.
∵ABCD为菱形，
在Rt△ADF中
由已知，
tan60°==，
∴DF=
∴
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【分析】
（1）由菱形的性质，角平分线的概念，以及全等三角形的判定和性质求证；
（2）由（1） △BDE 是直角三角形，根据三角形面积公式求证.
20．【答案】（1）解：12+24%=50人
360°= 144°
（2）解：1600=480人.
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）根据已知条件和扇形统计图，可以先求出总人数，再根据B的学生人数与总人数的占比即可知；
（2）根据样本总量×A类学生的占比率可知.
21．【答案】（1）解：在□ABCD中，由作法得，
AQ=PC，而AQ//PC，
∴四边形APCQ为平行四边形.
∴AP//CQ.
（2）解：连接AC与 BD交于点O，连接PO并延长交AD于点Q，连接CQ.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的判定与性质即可得；
（2）根据全等三角形的判定和性质，角角边定理，△AOC≌△COPAQ=CP，AQ∥CP，根据平行四边形的判定和性质可得.
22．【答案】（1）60；1
（2）解：设乙艇，把，代入
得
，.
∴.
（3）解：由图可得，当时甲乙艇距离为
∴.
甲艇：时，.
时，.
i当时，
.
ii当时，
.
∴.
【知识点】一元一次不等式组的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）由图（2）可知，根据速度= 乙艇的速度是（km/h），
a=40×(4.5-3)=60(km)，m值根据图形2中，甲艇的图示可知，m~3小时，根据是匀速运动，速度相同，解得m的值；
（2）根据图（2），用待定系数法求出函数表达式；
（3）根据图（2）甲乙两艇的时间和距离图，已知条件，列不等式求x的取值范围.
23．【答案】（1）解：①∵
把(1，0)代入
∴
∴
∴
②∵
向右平移m个单位.
∴
∴顶点
∴
∴
∴.
（2）解：∵
经过 P(n，a)， Q(n+2，a)
∴ 对称轴直线 .
情况1：对称轴在 y 轴左侧，且点 M 在对称轴左侧，∵
可得 得 ∴ n 不存在.
情况2：对称轴在 y 轴左侧，且点 M 在对称轴右侧，∵
可得 得 .
(II) 对称轴在 y 轴右侧，点 M 只能在对称轴左侧，此时 ，与 矛盾.
∴ 综上 .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）①根据函数图象经过的坐标，代数二次函数解析式，求出b的值即可得二次函数解析式；
②根据二次函数变形成顶点式解析式，求出顶点坐标含有未知数m，根据已知条件二次函数的顶点在y=x-3上，即可得到m的值；
（2）根据二次函数的对称轴，以及P和Q，分两种情况，情况1：对称轴在 y 轴左侧，且点 M 在对称轴左侧 -324．【答案】（1）解：①解：∵D是半圆的中点，
∴.
∴.
②解：过点D作，连接DB，
∵AB为直径，
∴.
即.
∵.∴.
∴和为等腰.
∴，，
∴.
∴.
∴为等腰.
∴EC=CD.
又∵AC-AE=EC.
∴AC-BC=CD.
（2）解：∵AB为直径 ∴.
又∵，∴.
∴.
∴.
作CF=CB.
又∵
∴.
∴，.
又∵，
设CD=3，则BE=2，
∴.
由(2)可知，.
又∵，
∴.
∴.
过点E作EG⊥FC，
∴.
又∵.
∴.
∴.
∴.
又∵.
∴.
∴.
∴①
又∵②
∴②-①，得
∴， (舍去).
∴.
∴
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）①连接OD，根据题意可得∠AOD=90°，再由圆周角定理即可得到答案；
②过点D作DE⊥DC交AC于E，连接DB，可证明∠ADB=∠EDC=90°.则∠ADE=∠BDC，再证明△ADB和△EDC为等腰直角三角形。进而证明△ADB≌△BDC（SAS）.得到AE=BC.由勾股定理得到，据此可证明结论；
（2）先证明∠ACE=∠ECB=45°.在CA上截取CF=CB.证明△CBES△CFE，得到BE=EF，∠B=∠CFE，设CD=3m，则BE=2m，根据（1）的结论可得AF＝3m，过点E作EG⊥FC，证明△GEF≌△GAE，可推出GFm，则m，再由正切的定义可得答案.
1 / 1浙江省绍兴市柯桥区2025年九年级中考适应性联系数学试卷（二模）
1．（2025·柯桥二模）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数为
故答案为：A.
【分析】
根据相反数的概念可知.
2．（2025·柯桥二模）下列各式运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A选项错误；
B、，B选项错误；
C、，C选项错误；
D、，D选项正确；
故答案为：D.
【分析】
幂的乘方，底数不变，指数相乘，系数要看偶次方为正数，奇次方为负数，A选项错误；幂的乘积，系数相乘，底数不变，指数相加，B选项错误，不是同类项的不能合并，C选项错误；幂的除法，底数不变，指数相减，D选项正确.
3．（2025·柯桥二模）经文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”假期全国国内出游3.14亿人次.其中数据“3.14亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可知，3.14亿=
故答案为：B.
【分析】
根据科学记数法，将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数.
4．（2025·柯桥二模）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由已知条件可知，
∵主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆形，
∴这个几何体是一个圆锥体；
故答案为：A.
【分析】
根据立体图形的三视图确定这个几何体.
5．（2025·柯桥二模）在体育中考“排球垫球”项目中，某校某小组的5位学生垫球次数如下：70、71、74、74、72，则这组数据的中位数为（　　）
A．70 B．71 C．72 D．74
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵由已知条件可知5位学生的垫球次数由小到大依次为，70、71、72、74、74，
∴这组数据的中位数为72；
故答案为：C.
【分析】
根据中位数的概念可以求得.
6．（2025·柯桥二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC+∠BOC=84°，则∠BOC的度数为（　　）
A．28° B．48° C．56° D．60°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠BOC分别为同弧所对应的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵ ∠BAC+∠BOC=84°，
∴∠BAC+2∠BAC=84°，
∴3∠BAC=84°，
∴BAC=28°
∴∠BOC=2∠BAC=56°
故答案为：C.
【分析】
根据同弧所对应的圆心角是圆周角的2倍，根据已知 ∠BAC+∠BOC=84° ，即可得到 ∠BOC 的值.
7．（2025·柯桥二模）中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题，大意如下：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量共为1斤.问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意列方程得
故答案为：D.
【分析】根据“五只雀，六只燕共重一斤，且四只雀、一只燕的重量和一只雀、五只燕的重量一样重”，这个等量关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解。
8．（2025·柯桥二模）在AABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法：
甲同学：如图1，延长DE到点F，使EF=DE，连接DC，AF，FC. 乙同学：如图2，过点E作GE//AB，过点A作AF//BC，GE与AF交于点F.
其中能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由图1可知，
∵ D，E分别是AB，AC的中点
∴AE=EC，AD=DB
∵ EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF=AD，CF∥AD，
∴CF=DB，CF∥DB，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF=BC，
∴DE=，
∴DE=，
∴甲可证；
由图2可知，
∵AF∥BC， GE//AB ，
∴四边形AFGB是平行四边形，
∵ 点D，E分别是AB，AC的中点 ，
∴DE∥BG，EF=EG，AE=EC，DE=AF=BG，
∵∠AEF=∠GEC，
∴△AEF≌△CEG，
∴AF=GC，
∴DE=，
∴乙可证.
故答案为：A.
【分析】
图一根据平行四边形的判定和性质，可证三角形中位线定理；图2根据平行四边形的判定和性质以及全三角形的判定和性质可证三角形中位线定理.
9．（2025·柯桥二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点M（-2，m），N（4，n），若m＜n，则下列可能成立的是（　　）
A．当a>0时，a+b=0 B．当a>0时，2a+b=0
C．当a<0时，a+b=0 D．当a<0时，2a-b=0
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点M（-2，m），N（4，n） ，
把M（-2，m），N（4，n）代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
∴m=，n=，
∵m∴4a-2b+c<16a+4b+c，
整理得：16a-4a+4b+2b>0，
2a+b>0，
∴当a>0，a+b=0，A符合题意，
当a>0，2a+b>0，B不符合题意，
当a<0，a+b<0，C不符合题意，
当a<0，2a-b<0，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，以及二次函数经过的坐标点，代入解析式得m=，n=，根据m0，分类讨论即可知.
10．（2025·柯桥二模）如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形ABCD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAH=90°，
∵△ADE和△BHA都是直角三角形，
∴∠AED=∠BHA=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠DAE=∠ABH
∴△ADE∽△BAH，
∴
根据全等三角形性质设AE=CG=GH=EF=a，DE=EH=FC=BC=b，
∴AH=AE-EH=a-b，BH=GH+BG=a+b
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
∴
故答案为：C.
【分析】先证明△ADE和△BAH相似得，根据全等三角形性质设AE=CG=GH=EF=a，DE=EH=FG=BG =b，则AH=AE-EH=a-b，BH=CH+BG=a+b，，由勾股定理得，，由此得，据此即可得出与的值.
11．（2025·柯桥二模）因式分解： =　 　.
【答案】(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
故答案为(x+3)(x-3).
【分析】运用平方差公式因式分解.
12．（2025·柯桥二模）DeepSeek是一款基于人工智能技术的深度搜索工具，从“DeepSeek”中随机抽取一个字母，抽中字母“e”的概率是　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ DeepSeek 中的e字母一共出现了四次，一共有八个字母
∴抽中字母“e”的概率是；
故答案为：.
【分析】
根据概率的概念即可求出.
13．（2025·柯桥二模）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，若AB=2，则AP=　 　.
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点 ，
∴黄金分割点比例为，
∵ AB=2 ，
∴AP=AB×=2×=
故答案为：.
【分析】
根据黄金分割点的数学定义即可知.
14．（2025·柯桥二模）一副三角板ABC和CDE按如图方式摆放，其中∠BAC=∠DCE=90°，∠D=30°，∠B=45°，点A恰好落在DE上，且BC//DE，则∠ACE的度数为　 　.
【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ BC//DE ，
∴∠CAE=∠ACB，
∵ ∠BAC=∠DCE=90°，∠D=30°，∠B=45° ，
∴∠CAE=∠ACB=45°，∠E=60°
在△ACE中，
∴∠ACE=180°-∠CAE-∠E=180°-45°-60°=75°
故答案为：75°.
【分析】
根据平行线性质，∠CAE=∠ACB，根据直角三角板和三角形内角和定理，可以求出 ∠ACE的度数 .
15．（2025·柯桥二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边AB与反比例函数（k为常数，，）的图象交于A，D两点，且与y轴正半轴交于点B，点C在反比例函数（）的图象上，若点D是AB的中点，则k的值为　 　.
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，设
∵D是AB中点，
∴xA=2xD=2a，
∴
∴
∵平行四边形OABC的对角线AC与BO互相平分，
∴
∵点C在反比例函数(x<0)的图象上，
∴
∴k=6.
故答案为：6.
【分析】依据题意，设，由D是AB中点，则xA=2xD=2a，故，从而，再结合平行四边形OABC的对角线AC与BO互相平分，可得，又点C在反比例函数 (x<0)的图象上，进而，故可判断得解.
16．（2025·柯桥二模）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥AC，交BC于点D，点F是AB上的点，且满足DB=DF，连接CF，若AC=5，CF=6，则CD=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；四点共圆模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵等腰三角形△ABC中，
∴AB=AC=5
∴AD⊥AC，即∠DAC=90°
∴DB=DF
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB
∵DB=DF，
∴∠B=∠DFB
∴∠ACB=∠DFB
∵∠ACB=∠DFB，
∴A、F、D、C 四点共圆，
根据四点共圆性质，∠DFC=∠DAC=90°，
∵∠DAC=90°，
∴∠DFC=90°
设CD=x，在Rt△DAC中，
由勾股定理得AD2=CD2-AC2=x2-25，
∵DB=DF，∠DFC=90°，
∴△DFC∽△DAC
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的性质即可推出∠ACB=∠DFB，再根据圆的基本性质可得∠DFC=∠DAC=90°，利用勾股定理与相似三角形的性质即可得CD的值.
17．（2025·柯桥二模）计算：.
【答案】解：原式=4+-1+1
=4+
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值
【解析】【分析】先算、、的值，再算加法.
18．（2025·柯桥二模）解不等式组：
【答案】解： 解不等式组：
解不等式①，得x<2，
解不等式②，得x≥-3，
原不等式组的解集为-3≤x<2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】
分别解不等式求出x的取值范围，再找两个不等式的解集即可.
19．（2025·柯桥二模）如图，已知菱形ABCD，∠DAB=120°，延长AC至点F，连接DF，∠FDA=90°，延长BC交DF于点E.
（1）求证：BD=DF；
（2）若AD=1，求△BDE的面积.
【答案】（1）证明：在菱形 ABCD 中，
，BD 平分 .
，
又 ，，，
在 与 中，
，
，
，
，
.
（2）解：由 (1)得，∠BDE=∠DAF=60°，∠DBE=30°.
∴∠DEB=90°.
∵ABCD为菱形，
在Rt△ADF中
由已知，
tan60°==，
∴DF=
∴
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【分析】
（1）由菱形的性质，角平分线的概念，以及全等三角形的判定和性质求证；
（2）由（1） △BDE 是直角三角形，根据三角形面积公式求证.
20．（2025·柯桥二模）某校课外兴趣小组对五一学生外出参加科技馆活动使用交通工具的情况，进行了随机抽样的调查，调查后发现学生选用A、B、C、D四种交通工具的其中一种.A表示乘坐地铁出行，B表示乘坐私家车出行，C表示乘坐公交车出行，D表示公享单车出行或其他，划分类别后的数据整理如下表：
学生外出参加科技馆活动使用交通工具统计表与扇形统计图
类别 人数 比率
A 15 a
B 20 b
C 12 c
D d 0.06
（1）求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；
（2）若该校有1600名学生，估计该校学生中类别为A的人数
【答案】（1）解：12+24%=50人
360°= 144°
（2）解：1600=480人.
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）根据已知条件和扇形统计图，可以先求出总人数，再根据B的学生人数与总人数的占比即可知；
（2）根据样本总量×A类学生的占比率可知.
21．（2025·柯桥二模）小张和小李分别完成一个作图问题：
如图1，在□ABCD中，AB小张：如图1，以A为圆心，PC长为半径画弧，交AD于点Q，连结CQ即为所求
小李：我的方法和你不一样，只用无刻度直尺且不用圆规就可以完成作图，……
（1）给出小张作法中CQIIAP的证明过程；
（2）请在图2中完成小李的作图方法（保留作图痕迹）
【答案】（1）解：在□ABCD中，由作法得，
AQ=PC，而AQ//PC，
∴四边形APCQ为平行四边形.
∴AP//CQ.
（2）解：连接AC与 BD交于点O，连接PO并延长交AD于点Q，连接CQ.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的判定与性质即可得；
（2）根据全等三角形的判定和性质，角角边定理，△AOC≌△COPAQ=CP，AQ∥CP，根据平行四边形的判定和性质可得.
22．（2025·柯桥二模）载人飞艇已在绍兴及周边区域试飞，未来人们出行将更加便捷，现有甲艇从杭州站经绍兴站飞向宁波站：乙艇从宁波站经绍兴站飞向杭州站，三站均在同一直线上，如图1所示：
两艇同时出发，匀速飞行，图2是甲、乙两艇飞行离绍兴站的距离y（km）与飞行时间x（h）之间的函数图象.
（1）填空：a的值为　 　；m的值为　 　.
（2）求乙艇离绍兴站的距离y与飞行时间x（0≤x≤3）之间的函数表达式；
（3）乙艇到达杭州站前，两艇与绍兴站的距离之和不超过100km时，求飞行时间x的取值范围.
【答案】（1）60；1
（2）解：设乙艇，把，代入
得
，.
∴.
（3）解：由图可得，当时甲乙艇距离为
∴.
甲艇：时，.
时，.
i当时，
.
ii当时，
.
∴.
【知识点】一元一次不等式组的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）由图（2）可知，根据速度= 乙艇的速度是（km/h），
a=40×(4.5-3)=60(km)，m值根据图形2中，甲艇的图示可知，m~3小时，根据是匀速运动，速度相同，解得m的值；
（2）根据图（2），用待定系数法求出函数表达式；
（3）根据图（2）甲乙两艇的时间和距离图，已知条件，列不等式求x的取值范围.
23．（2025·柯桥二模）已知抛物线у=-x2+bx-3（b为常数）.
（1）若该函数的图象经过（1，0）
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向右平移m（m>0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y=x-3上，求m的值；
（2）若点P（n，a），Q（n+2，a），M（-2，t）都在这个二次函数图象上，且-3【答案】（1）解：①∵
把(1，0)代入
∴
∴
∴
②∵
向右平移m个单位.
∴
∴顶点
∴
∴
∴.
（2）解：∵
经过 P(n，a)， Q(n+2，a)
∴ 对称轴直线 .
情况1：对称轴在 y 轴左侧，且点 M 在对称轴左侧，∵
可得 得 ∴ n 不存在.
情况2：对称轴在 y 轴左侧，且点 M 在对称轴右侧，∵
可得 得 .
(II) 对称轴在 y 轴右侧，点 M 只能在对称轴左侧，此时 ，与 矛盾.
∴ 综上 .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）①根据函数图象经过的坐标，代数二次函数解析式，求出b的值即可得二次函数解析式；
②根据二次函数变形成顶点式解析式，求出顶点坐标含有未知数m，根据已知条件二次函数的顶点在y=x-3上，即可得到m的值；
（2）根据二次函数的对称轴，以及P和Q，分两种情况，情况1：对称轴在 y 轴左侧，且点 M 在对称轴左侧 -324．（2025·柯桥二模）在圆内接四边形ABCD中，AB为直径，D为半圆弧AB的中点，连接AC.
（1）如图1，
①求的度数；
②求证：；
（2）如图2，过点C作交AB于点E，若，求的值.
【答案】（1）解：①解：∵D是半圆的中点，
∴.
∴.
②解：过点D作，连接DB，
∵AB为直径，
∴.
即.
∵.∴.
∴和为等腰.
∴，，
∴.
∴.
∴为等腰.
∴EC=CD.
又∵AC-AE=EC.
∴AC-BC=CD.
（2）解：∵AB为直径 ∴.
又∵，∴.
∴.
∴.
作CF=CB.
又∵
∴.
∴，.
又∵，
设CD=3，则BE=2，
∴.
由(2)可知，.
又∵，
∴.
∴.
过点E作EG⊥FC，
∴.
又∵.
∴.
∴.
∴.
又∵.
∴.
∴.
∴①
又∵②
∴②-①，得
∴， (舍去).
∴.
∴
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）①连接OD，根据题意可得∠AOD=90°，再由圆周角定理即可得到答案；
②过点D作DE⊥DC交AC于E，连接DB，可证明∠ADB=∠EDC=90°.则∠ADE=∠BDC，再证明△ADB和△EDC为等腰直角三角形。进而证明△ADB≌△BDC（SAS）.得到AE=BC.由勾股定理得到，据此可证明结论；
（2）先证明∠ACE=∠ECB=45°.在CA上截取CF=CB.证明△CBES△CFE，得到BE=EF，∠B=∠CFE，设CD=3m，则BE=2m，根据（1）的结论可得AF＝3m，过点E作EG⊥FC，证明△GEF≌△GAE，可推出GFm，则m，再由正切的定义可得答案.
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