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北京市第一六六中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题
（考试时长：120分钟）
考查目标
知识：计数原理 概率统计 圆锥曲线 函数与导数 绪论． 能力：数学抽象概括； 逻辑推理论证； 数学建模应用； 直观想象； 数学运算； 空间想象能力．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 全集，集合，阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ）
A. B.
C D.
4. 两个不透明的口袋中各自装有若干个除颜色外完全相同的小球，A口袋中有2个白球，3个黑球，B口袋中有1个白球，4个黑球．现从A，B两个口袋中各自随机抽取2个球，则四个球中恰有1个白球的概率为（ ）
A 0.36 B. 0.52 C. 0.16 D. 0.48
5. 用0，1，2，3，4组成一个无重复数字的三位数，要求个位与百位的数字为偶数，十位数字为奇数，则共计可以组成的正整数的个数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 20
6. 已知函数且，若其值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的定义域为，对任意且．设，若是偶函数，则函数的（ ）
A. 奇偶性不能唯一确定 B. 单调递增区间不能确定
C. 极值点不能确定 D. 值域不能确定
8. 设函数，直线，则“”是“直线为曲线的一条切线”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知函数.设，设，关于，以下说法中正确的一个是（ ）
A. 肯定是负值 B. 设为定值，的值随着的增大而增大
C. 肯定正值 D. 既没有最大值，也没有最小值
10. 函数，.若存在，使得，则的最大值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为____________．
12. 二项式的展开式中的系数为_______．
13. 已知实数满足且，则的最小值为____________．
14. 投掷一枚硬币，假设得到正面与反面的概率均为．现投掷这枚硬币三次，在仅有一次掷得正面的条件下，第三次掷得反面的概率为____________．
15. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的有____________．
①若上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增
②对于任意实数，存在上的单调递减函数，使得在上单调递增
③对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得
④若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值与最小值；
（3）求证：在轴右侧（不含轴），除切点之外，曲线在（1）中切线的上方．
17. 篮球比赛是同学们非常喜爱体育比赛之一，某校举办定点投篮比赛，规定两个投篮地点：罚球线上，弧顶处三分线上．罚球线上投中一球得1分，弧顶处三分线上投中一球得3分．学生小北在罚球线上单次投篮投进的概率为，在弧顶处三分线上单次投篮投进的概率为，各次投篮之间独立．
（1）第一轮比赛规定，小北有三次在弧顶处三分线上投篮的机会，设表示小北三次投篮的总得分，求随机变量的分布列与数学期望；
（2）第二轮比赛规定，小北共有四次在罚球线上投篮的机会，但若连续两次不进就会失去剩余投篮机会，求第二轮比赛中小北总共得2分的概率；
（3）另一名学生小墨在罚球线上单次投篮投进的概率为，在弧顶处三分线上单次投篮投进的概率为．小北在罚球线上和弧顶处三分线上各投篮五次，这十次投篮总得分的期望值记为，同样，小墨在完成同样的十次投篮后总得分的期望值记为，试比较与的大小关系．（结论不要求证明）
18. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
（2）在前5场比赛中任选两场，设表示乙获胜的场数，求的分布列和数学期望
（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用频率估计概率．甲、乙、丙三人接下来又进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差的大小关系．
19. 已知椭圆 离心率等于，、是椭圆上的两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
20. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，
（i）若函数恒成立，求实数的取值范围；
（ii）若函数有零点，求证：函数在上无零点．
（取）
21. 数列： 满足： ．记的前项和为，并规定．定义集合， ， ．
（Ⅰ）对数列： ， ， ， ， ，求集合；
（Ⅱ）若集合， ，证明： ；
（Ⅲ）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．
北京市第一六六中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题
（考试时长：120分钟）
考查目标
知识：计数原理 概率统计 圆锥曲线 函数与导数 绪论． 能力：数学抽象概括； 逻辑推理论证； 数学建模应用； 直观想象； 数学运算； 空间想象能力．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】D
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】6
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】②④
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
【16题答案】
【答案】（1）
（2）最大值为181，最小值为-27.
（3）证明见解析
【17题答案】
【答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）
【19题答案】
【答案】（1）；（2）定点
【20题答案】
【答案】（1）答案见详解
（2）（i），（ii）证明见详解
【21题答案】
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．

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