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第4节　科学测量:用单摆测量重力加速度
(实验课——基于经典科学探究)
一、实验装置
二、实验原理
　　单摆做简谐运动时,由周期公式T=2π,可得g=。因此,测出单摆摆长和振动周期,便可计算出当地的重力加速度。
用秒表测量30~50次全振动的时间,计算平均做一次全振动的时间,得到的便是振动周期。
一、实验步骤
1.做单摆:将长约1 m的线的一端连接小球,然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上,让摆球自由下垂,在平衡位置处做上标记。
2.测摆长:用毫米刻度尺测出摆线长度l线,用游标卡尺测量出小球的直径d,则单摆的摆长l=l线+。测量多次,取平均值。
3.测周期:将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置,由静止释放小球,当单摆振动稳定后,从小球经过平衡位置时开始用秒表计时,测量N次(一般取30~50次)全振动的时间t,则周期T=。多次测量,取平均值。
4.改变摆长:将单摆的摆长变短(或变长),重复实验多次,测出相应的摆长l和周期T。
二、数据处理
1.公式法:每改变一次摆长,将相应的l和T代入公式g=中求出g值,最后求出g的平均值。
实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s-2) 重力加速度g的 平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
2.图像法:由T=2π得T2=l,作出T2 l图像,即以T2为纵轴,以l为横轴。其斜率k=,由图像的斜率即可求出重力加速度g。
[关键点反思]
1.组成单摆的材料有什么要求
2.在做“用单摆测量重力加速度”的实验中,请思考以下问题:
(1)单摆的摆长是指哪一段
(2)测量时间的开始位置选哪个地方最好 为什么
3.在“用单摆测量重力加速度”的实验中,某同学发现他测出的重力加速度值总是偏小,可能有哪些原因
考法(一)　实验基本操作
　　[例1]　在“用单摆测量重力加速度”的实验中:
(1)小博同学制作了如图所示的甲、乙、丙三个单摆,你认为他应选用　　　　单摆来做实验。
(2)实验过程中小博同学分别用了图(a)、(b)所示的两种不同方式悬挂小球,你认为图　　[选填“(a)”或“(b)”]悬挂方式较好。
(3)某同学用秒表测得单摆完成40次全振动的时间如图(c)所示,则单摆的周期为　　　　s。
(4)若单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T=T0,式中T0为摆角趋近于0°时的周期,a为常数。为了用图像法验证该关系式,需要测量的物理量有　　　;某同学在实验中得到了如图(d)所示的图线,则图线的斜率表示　　　　。
考法(二)　数据处理和误差分析
　　[例2]　在“用单摆测量重力加速度”的实验中,由单摆做简谐运动的周期公
式得到g=,只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T,作出T2 l图像,就可以求出当地的重力加速度。理论上T2 l图线是一条过坐标原点的直线,某同学根据实验数据作出的图像如图所示。
(1)造成图线不过坐标原点的原因可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
(2)由图像求出的重力加速度g=　　　　m/s2(取π2=9.87)。
(3)如果测得的g值偏小,可能的原因是　　　。
A.测摆长时摆线拉得过紧
B.摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,使摆线长度增加了
C.开始计时时,秒表过迟按下
D.实验时误将49次全振动数为50次
[微点拨]
图像法求重力加速度
(1)图像法处理数据既直观又方便,同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。
(2)由于T l的图像不是直线,不便于进行数据处理,所以采用T2 l的图像,目的是将曲线转换为直线,便于利用直线的斜率计算重力加速度。
考法(三)　源于经典实验的创新考查
　　[例3]　现代智能手机自带了许多传感器,利用智能手机软件能够采集传感器记录的数据。某同学在家根据软件界面提示的原始传感器,给出了2种测量重力加速度的方案:
方案1:使用“含(g)的加速度”模块,令手机静置在桌面上20 s,直接读出重力加速度(图一);
方案2:使用“摆”功能,该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺、长度为100 cm左右的细线和一把铁锁,制成一个单摆,于小角度释放。输入摆长后,利用手机读取周期,手机将计算出重力加速度(图二)。
回答下列相关问题:
(1)根据方案2,可知手机计算重力加速度的表达式为g=　　　　　　(用π、T、L表示)。
(2)与方案1测得的重力加速度g相比,方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差,产生误差的主要原因为　　　　。(填选项字母)
A.铁锁的重心不方便确定,所以摆长测量不准
B.测量摆长的刻度尺量程太小,测摆长时多次移动产生了一定的误差
C.铁锁质量过大,导致g测量误差较大
(3)方案2重力加速度g计算结果误差较大,该同学想到一个修正方案(如图三):实验时,可以在细线上的A点做一个标记,使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程;保持该标记以下的细线长度不变,通过改变OA间细线长度以改变摆长,当OA间细线长度分别为L1、L2时,测得相应单摆的周期为T1、T2,由此可测得重力加速度g的数值,此方案计算g的表达式为　　　　(填选项字母)。
A.g=
B.g=
C.g=
D.g=
[创新分析]
(1)利用现代智能手机自带传感器测量重力加速度。
(2)利用铁锁替代金属小球测量当地的重力加速度,并通过修正方案提高测量g的精确度。
1.为了用单摆测量重力加速度g的值,有下列可供选择的仪器:
A.米尺;
B.长约为1 m的细线且系直径为1.8 cm的小钢球;
C.长度为30 cm左右的细线且系直径为1.8 cm 的塑料球;
D.秒表;
E.打点计时器(包括纸带、重锤、复写纸);
F.学生电源;
G.蓄电池;
H.铁架台;
I.天平。
(1)从上面所列的仪器中挑选必需的仪器有　　　　　(用符号表示)。
(2)实验中,要求在小球通过　　　　　(填“最高点”或“最低点”)时开始计时。
(3)若小球直径为d,悬线长度为L,N次全振动的总时间为t,请写出重力加速度的表达式g=　　　　　。
(4)某个同学忘记测量小球直径,他以悬线的长度L作为横坐标、以T2作为纵坐标建立坐标系并描绘出多组数据点,如图,请回答下列问题:
①画出T2 L图线;
②根据图像,得到该图线的斜率k=　　　s2/m(结果保留2位有效数字);
③请给出计算当地重力加速度的表达式为g=　　　　　(用含k的表达式)。
2.(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先,调节螺旋测微器,拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时,发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐,如图(a)所示,该示数为　　 　mm;螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示,该示数为　　　　 　mm,则摆球的直径为　　　　 　mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示,其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处,摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方,则摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角　　　 　5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm,则摆长为　　　　 　cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s,则此单摆周期为　　　　 　s,该小组测得的重力加速度大小为　　　　 　m/s2。(结果均保留3位有效数字,π2取9.870)
3.(2025年1月·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有:铁架台、
细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题:
(1)实验时,将细线的一端连接摆球,另一端固定在铁架台上O点,如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置,使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°),由静止释放摆球,让单摆开始摆动。为了减小计时误差,应该在摆球摆至　　　　(填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
(2)选取摆线长度为100.0 cm时,测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长,求得重力加速度大小为　　　　　m/s2(取π2=9.870,结果保留3位有效数字)。
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验,相关数据汇总在下表中,在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线,如图2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
设直线斜率为k,则重力加速度可表示为g=　　　　　　(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为　　　　　　m/s2(结果保留3位有效数字)。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,原因是　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
4.(2025·漳州高二检测)某学习小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示,将小磁铁吸附在钢质小球的正下方,当小球静止时,将传感器固定于小球正下方的水平桌面上;传感器与电脑连接,可以将实时测量到的磁感应强度数据传输进电脑进行分析。
(1)下列说法正确的是　　　　。
A.小球应选择体积大的
B.摆线应选择弹性小、细些的
C.安装单摆时,可将摆线一端直接缠绕在铁架台横杆上
D.摆动过程中的最大摆角越大越好
(2)学习小组利用刻度尺测量了悬挂点与小球上端的距离l=118.00 cm,用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示,小球直径 D=　　　　cm,不吸附小磁铁时,摆长 L=　　　　cm。
(3)小球摆动稳定后,使传感器开始工作,利用电脑得出磁感应强度大小B随时间t变化的图像如图丙。此单摆的周期 T=　　　　s。
(4)学习小组利用多组实验数据绘制了L与T2关系图像如图丁,由图像可计算得到当地的重力加速度 g=　　　　m/s2(结果保留两位有效数字,π2=9.8)。
(5)小组中有同学提出,小球与小磁铁整体重心的位置不在小球的球心,这可能会影响到对重力加速度的测量。若仅考虑这一因素,第(4)问得到的g值与实际值相比将　　　(选填“偏大”“偏小”或“相等”)。
第4节　科学测量:用单摆测量重力加速度
2　实验操作
1.提示:摆线应选择细且不易伸长的线,长度一般为1 m左右;小球应选用质量大、体积小的金属球。
2.提示:(1)摆长是指摆线长度加上小球的半径,即摆长l=l线+;
(2)时间从平衡位置开始最好,因为小球在平衡位置速度快,测量误差小。
3.提示:根据g=可知,可能的原因有:①摆线的测量值偏小;②摆长未加小球的半径;③实验中将全振动数少了,导致周期偏大。
3　实验考法
[例1]　解析:(1)单摆在摆动过程中,空气等对它的阻力要尽量小,甚至忽略不计,所以摆球选铁球;摆线要尽可能细一些,摆长不能过短,一般取1 m左右的细线,故选乙单摆。
(2)如果选题图(a)所示悬挂方式,摆动过程中,摆长在不断变化,无法准确测量,故选题图(b)悬挂方式较好。
(3)由题图(c)可知,单摆完成40次全振动的时间t=60 s+15.6 s =75.6 s,所以单摆的周期为T= s=1.89 s。
(4)根据T=T0可知,需要测量的物理量有T(或t、n)、θ。由T=T0,可得sin2=T-,所以图线的斜率为。
答案:(1)乙　(2)(b)　(3)1.89　(4)T、θ　
[例2]　解析:(1)T2 l图线不通过坐标原点,将图线向右平移1 cm 会通过坐标原点,可知相同的周期下摆长偏小1 cm,故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径。
(2)由单摆周期公式T=2π,可得T2=l,则T2 l图像的斜率为k=,由图像得k= s2·m-1,解得g=9.87 m/s2。
(3)测摆长时摆线拉得过紧,则测量的摆长偏大,测得的重力加速度偏大,A不符合题意;摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,使摆线长度增加了,知测量的摆长偏小,则测得的重力加速度偏小,B符合题意;开始计时时,秒表过迟按下,测量的周期偏小,则测得的重力加速度偏大,C不符合题意;实验时误将49次全振动数为50次,测量的周期偏小,则测得的重力加速度偏大,D不符合题意。
答案:(1)测量摆长时漏掉了摆球的半径　(2)9.87　(3)B
[例3]　解析:(1)根据单摆周期公式T=2π,得重力加速度的表达式为g=。
(2)方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差,产生误差的主要原因有:①铁锁的重心不方便确定,所以摆长测量不准;②方案2是用长度为100 cm左右的细线和一把铁锁制成一个单摆,而该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺,所以测量摆长的刻度尺量程太小,会导致测摆长时多次移动产生了一定的误差。铁锁质量对重力加速度测量无影响。
(3)当OA间细线长度分别为L1、L2时,测得相应单摆的周期为T1、T2,设A点到铁锁重心的距离为l,根据公式T=2π,可得T1=2π,T2=2π,解得g=。
答案:(1)　(2)AB　(3)A
4　训练评价
1.解析:(1)实验需要用到米尺来测量摆长,A符合;实验过程中摆线需要尽量长一些,同时为了减小空气阻力的影响,应选密度较大的钢球,B符合,C不符合;实验需要用到秒表来记录时间,D符合;实验过程不需要打点计时器与电源,E、F、G不符合;实验过程需要用到铁架台来悬挂细线,H符合;实验中不需要测质量,I不符合。故必需的仪器有A、B、D、H。
(2)实验中,要求在小球通过最低点时开始计时,因为在最高点计时误差较大。
(3)单摆的摆长为l=L+,周期T=,由单摆周期公式T=2π,可得重力加速度g=。
(4)①通过描点作图,使尽可能多的点落在图像上,不在图像上的点均匀分布在图像两侧,图线如图所示。
②通过图像,得该图线的斜率k= s2/m=4.1 s2/m。
③由单摆周期公式T=2π,得T2=,图像斜率为k,得当地重力加速度的表达式为g=。
答案:(1)ABDH　(2)最低点　(3)
(4)①见解析图　②4.1(4.0~4.3均可)　③
2.解析:(1)测量前测微螺杆和测砧相触时,题图(a)的示数为d0=0.8×0.01 mm=0.008 mm,螺旋测微器读数是固定刻度读数加可动刻度读数,题图(b)中读数为d1=20.0 mm+3.5×0.01 mm =20.035 mm,则摆球的直径为d=d1-d0=20.027 mm。
(2)角度盘的大小一定,即在规定的位置安装角度盘,测量的摆角准确,但将角度盘固定在规定位置上方,即角度盘到悬挂点的距离变短,同样的角度,摆线在角度盘上扫过的弧长变短,故摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角大于5°。
(3)单摆的摆线长度为81.50 cm,则摆长为l=l0+=81.50 cm+cm≈82.5 cm,一次全振动单摆经过最低点两次,故此单摆的周期为T==s=1.82 s,由单摆的周期公式T=2π,可得重力加速度g=≈9.83 m/s2。
答案:(1)0.008(0.007~0.009均可)　20.035(20.034~20.036均可)　20.027(20.025~20.029均可)　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83
3.解析:(1)摆球经过最低点时速度最大,在相等的距离误差上引起的时间误差最小,测得周期的误差最小,所以为了减小计时误差,应该在摆球摆至最低点时开始计时。
(2)根据题意可知摆球摆动的周期T==2.02 s,根据单摆周期公式T=2π,其中L=100.0 cm=1.000 m,代入数据解得g≈9.68 m/s2。
(3)根据单摆周期公式T=2π,整理可得l=·T2-r,可知l T2图线的斜率k=,则重力加速度可表示为g=4π2k;由题图2求得当地的重力加速度大小为g=4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,其原因是用图像法处理数据时,无论是否考虑摆球的半径,l T2 图像的斜率均为,对重力加速度g的测量没有影响。
答案:(1)最低点　(2)9.68　(3)4π2k　9.69　(4)见解析
4.解析:(1)为了尽可能减小空气阻力对实验的影响,摆球尽量选择质量较大、体积较小的,故A错误;摆线要选择较细(尽可能减小空气阻力对实验的影响)、伸缩性较小(确保摆球摆动时摆长几乎不变)、尽可能长一些的(减小摆长测量的相对误差),故B正确;安装单摆时,不可将摆线一端直接缠绕在铁架台横杆上,否则摆球运动过程中摆长会发生变化,故C错误;只有在摆线相对平衡位置的偏角很小的情况下(通常小于5°),单摆才做简谐运动,进而才能根据周期公式测量重力加速度,故D错误。
(2)小球直径为D=20 mm+0×0.1 mm=20.0 mm=2.00 cm,不吸附小磁铁时,摆长L=l+=119.00 cm。
(3)摆球一个周期内两次经过最低点,根据题图丙可知单摆周期为T=2.2 s。
(4)根据单摆周期公式T=2π,变形可得L=T2,可知L T2 图像斜率为= m/s2,解得g≈9.6 m/s2。
(5) 设小球与小磁铁整体重心的位置在小球的球心下方r处,根据单摆周期公式可得T=2π,整理得L=T2-r,根据表达式可知不影响所作图线的斜率,所以由斜率计算出的重力加速度值相比实际值将相等。
答案:(1)B　(2)2.00　119.00　(3)2.2　(4)9.6　(5)相等
8 / 8(共62张PPT)
科学测量：用单摆测量重力加速度 (实验课——基于经典科学探究)
第 4 节
实验准备——原理、器材和装置
实验操作——过程、细节和反思
01
02
CONTENTS
目录
实验考法——基础、变通和创新
训练评价——巩固、迁移和发展
03
04
实验准备——原理、器材和装置
一、实验装置
二、实验原理
单摆做简谐运动时，由周期公式T=2π，可得g=。因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度。
用秒表测量30~50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期。
实验操作——过程、细节和反思
一、实验步骤
1.做单摆：将长约1 m的线的一端连接小球，然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，让摆球自由下垂，在平衡位置处做上标记。
2.测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量出小球的直径d，则单摆的摆长l=l线+。测量多次，取平均值。
3.测周期：将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置，由静止释放小球，当单摆振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30~50次)全振动的时间t，则周期T=。多次测量，取平均值。
4.改变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验多次，测出相应的摆长l和周期T。
二、数据处理
实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的
平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
1.公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g=中求出g值，最后求出g的平均值。
2.图像法：由T=2π得T2=l，作出T2 l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴。其斜率k=，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
1.组成单摆的材料有什么要求
关键点反思
提示：摆线应选择细且不易伸长的线，长度一般为1 m左右；小球应选用质量大、体积小的金属球。
2.在做“用单摆测量重力加速度”的实验中，请思考以下问题：
(1)单摆的摆长是指哪一段
提示：摆长是指摆线长度加上小球的半径，即摆长l=l线+；
(2)测量时间的开始位置选哪个地方最好 为什么
提示：时间从平衡位置开始最好，因为小球在平衡位置速度快，测量误差小。
3.在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某同学发现他测出的重力加速度值总是偏小，可能有哪些原因
提示：根据g=可知，可能的原因有：①摆线的测量值偏小；②摆长未加小球的半径；③实验中将全振动数少了，导致周期偏大。
实验考法——基础、变通和创新
[例1]　在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)小博同学制作了如图所示的甲、乙、丙三个单摆，你认为他应选用_____单摆来做实验。
乙
考法(一)　实验基本操作
[解析]　单摆在摆动过程中，空气等对它的阻力要尽量小，甚至忽略不计，所以摆球选铁球；摆线要尽可能细一些，摆长不能过短，一般取1 m左右的细线，故选乙单摆。
(2)实验过程中小博同学分别用了图(a)、(b)所示的两种不同方式悬挂小球，你认为图_____[选填“(a)”或“(b)”]悬挂方式较好。
(b)
[解析]　如果选题图(a)所示悬挂方式，摆动过程中，摆长在不断变化，无法准确测量，故选题图(b)悬挂方式较好。
(3)某同学用秒表测得单摆完成40次全振动的
时间如图(c)所示，则单摆的周期为______s。
1.89
[解析]　由题图(c)可知，单摆完成40次全振动的时间t=60 s+15.6 s=75.6 s，所以单摆的周期为T= s=1.89 s。
(4)若单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T=
T0，式中T0为摆角趋近于0°时的周期，a
为常数。为了用图像法验证该关系式，需要测量的物理
量有______；某同学在实验中得到了如图(d)所示的图
线，则图线的斜率表示______。
[解析]　根据T=T0可知，需要测量的物理量有T(或t、n)、θ。由T=T0，可得sin2=T-，所以图线的斜率为。
T、θ　
[例2]　在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g=，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2 l图像，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2 l图线是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示。
考法(二)　数据处理和误差分析
(1)造成图线不过坐标原点的原因可能是______________________
________。
[解析]　T2-l图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm会通过坐标原点，可知相同的周期下摆长偏小1 cm，故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径。
测量摆长时漏掉了摆球
的半径
(2)由图像求出的重力加速度g=_____m/s2(取π2=9.87)。
[解析]　由单摆周期公式T=2π，可得T2=l，则T2 l图像的斜率为k=，由图像得k= s2·m 1，解得g=9.87 m/s2。
9.87
(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是____。
A.测摆长时摆线拉得过紧
B.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C.开始计时时，秒表过迟按下
D.实验时误将49次全振动数为50次
B
[解析]　测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；开始计时时，秒表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；实验时误将49次全振动数为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意。
[微点拨]
图像法求重力加速度
(1)图像法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。
(2)由于T l的图像不是直线，不便于进行数据处理，所以采用T2 l的图像，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度。
[例3]　现代智能手机自带了许多传感器，利用智能手机软件能够采集传感器记录的数据。某同学在家根据软件界面提示的原始传感器，给出了2种测量重力加速度的方案：
方案1：使用“含(g)的加速度”模块，令手机静置在桌面上20 s，直接读出重力加速度(图一)；
考法(三)　源于经典实验的创新考查
方案2：使用“摆”功能，该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺、长度为100 cm左右的细线和一把铁锁，制成一个单摆，于小角度释放。输入摆长后，利用手机读取周期，手机将计算出重力加速度(图二)。
回答下列相关问题：
(1)根据方案2，可知手机计算重力加速度的表达式为g=_______ (用π、T、L表示)。
[解析]　根据单摆周期公式T=2π，得重力加速度的表达式为g=。
(2)与方案1测得的重力加速度g相比，方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差，产生误差的主要原因为_____。(填选项字母)
A.铁锁的重心不方便确定，所以摆长测量不准
B.测量摆长的刻度尺量程太小，测摆长时多次移动产生了一定的误差
C.铁锁质量过大，导致g测量误差较大
AB
[解析]　方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差，产生误差的主要原因有：①铁锁的重心不方便确定，所以摆长测量不准；②方案2是用长度为100 cm左右的细线和一把铁锁制成一个单摆，而该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺，所以测量摆长的刻度尺量程太小，会导致测摆长时多次移动产生了一定的误差。铁锁质量对重力加速度测量无影响。
(3)方案2重力加速度g计算结果误差较大，该同学想到一个修
正方案(如图三)：实验时，可以在细线上的A点做一个标记，使得
悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程；保持该标记以下的细
线长度不变，通过改变OA间细线长度以改变摆长，当OA间细线长
度分别为L1、L2时，测得相应单摆的周期为T1、T2，由此可测得
重力加速度g的数值，此方案计算g的表达式为_____ (填选项字母)。
A.g= B.g=
C.g= D.g=
A
[解析]　当OA间细线长度分别为L1、L2时，测得相应单摆的周期为T1、T2，设A点到铁锁重心的距离为l，根据公式T=2π，可得T1=2π，T2=2π，解得g=。
[创新分析]
(1)利用现代智能手机自带传感器测量重力加速度。
(2)利用铁锁替代金属小球测量当地的重力加速度，并通过修正方案提高测量g的精确度。
训练评价——巩固、迁移和发展
1.为了用单摆测量重力加速度g的值，有下列可供选择的仪器：
A.米尺；
B.长约为1 m的细线且系直径为1.8 cm的小钢球；
C.长度为30 cm左右的细线且系直径为1.8 cm的塑料球；
D.秒表；
E.打点计时器(包括纸带、重锤、复写纸)；
F.学生电源；
G.蓄电池；
H.铁架台；
I.天平。
(1)从上面所列的仪器中挑选必需的仪器有________(用符号表示)。
ABDH　
解析：实验需要用到米尺来测量摆长，A符合；实验过程中摆线需要尽量长一些，同时为了减小空气阻力的影响，应选密度较大的钢球，B符合，C不符合；实验需要用到秒表来记录时间，D符合；实验过程不需要打点计时器与电源，E、F、G不符合；实验过程需要用到铁架台来悬挂细线，H符合；实验中不需要测质量，I不符合。故必需的仪器有A、B、D、H。
(2)实验中，要求在小球通过_________ (填“最高点”或“最低点”)时开始计时。
最低点
解析：实验中，要求在小球通过最低点时开始计时，因为在最高点计时误差较大。
(3)若小球直径为d，悬线长度为L，N次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g=_____________。
解析：单摆的摆长为l=L+，周期T=，由单摆周期公式T=2π，可得重力加速度g=。
(4)某个同学忘记测量小球直径，他以悬线的长度L作为横坐标、以T2作为纵坐标建立坐标系并描绘出多组数据点，如图，请回答下列问题：
①画出T2 L图线；
②根据图像，得到该图线的斜率k=________________s2/m(结果保留2位有效数字)；
③请给出计算当地重力加速度的表达式为g=_____ (用含k的表达式)。
4.1(4.0~4.3均可)
解析：①通过描点作图，使尽可能多的点落在图像上，不在图像上的点均匀分布在图像两侧，图线如图所示。
③由单摆周期公式T=2π，得T2=，图像斜率为k，得当地重力加速度的表达式为g=。
②通过图像，得该图线的斜率k= s2/m=4.1 s2/m。
2.(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为_____________________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为__________________
____________mm，则摆球的直径为_________________________mm。
0.008(0.007~0.009均可)
20.035(20.034~
20.036均可)
20.027(20.025~20.029均可)
解析：测量前测微螺杆和测砧相触时，题图(a)的示数为d0=0.8×0.01 mm=
0.008 mm，螺旋测微器读数是固定刻度读数加可动刻度读数，题图(b)中读数为d1=20.0 mm+3.5×0.01 mm=20.035 mm，则摆球的直径为d=d1 d0
=20.027 mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角______5°(填“大于”或“小于”)。
大于
解析：角度盘的大小一定，即在规定的位置安装角度盘，测量的摆角准确，但将角度盘固定在规定位置上方，即角度盘到悬挂点的距离变短，同样的角度，摆线在角度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为______cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为______s，该小组测得的重力加速度大小为_______m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
82.5
1.82
9.83
解析：单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为l=l0+=81.50 cm+
cm≈82.5 cm，一次全振动单摆经过最低点两次，故此单摆的周期为T==s=1.82 s，由单摆的周期公式T=2π，可得重力加速度g=≈9.83 m/s2。
3.(2025年1月·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆
测量当地的重力加速度。实验器材有：铁架台、
细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题：
(1)实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在
铁架台上O点，如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置，
使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°)，由静止释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误差，应该在摆球摆至_______(填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
最低点
解析：摆球经过最低点时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测得周期的误差最小，所以为了减小计时误差，应该在摆球摆至最低点时开始计时。
(2)选取摆线长度为100.0 cm时，测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度大小为_____m/s2(取π2=9.870，结果保留3位有效数字)。
解析：根据题意可知摆球摆动的周期T==2.02 s，根据单摆周期公式T=2π，其中L=100.0 cm=1.000 m，代入数据解得g≈9.68 m/s2。
9.68
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线，如图2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g=______ (用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为_____m/s2(结果保留3位有效数字)。
4π2k
9.69
解析：根据单摆周期公式T=2π，整理可得l=·T2 r，可知l T2图线的斜率k=，则重力加速度可表示为g=4π2k；由题图2求得当地的重力加速度大小为g=4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，原因是____________________________________________________。
解析：用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，其原因是用图像法处理数据时，无论是否考虑摆球的半径，l T2图像的斜率均为，对重力加速度g的测量没有影响。
4.(2025·漳州高二检测)某学习小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示，将小磁铁吸附在钢质小球的正下方，当小球静止时，将传感器固定于小球正下方的水平桌面上；传感器与电脑连接，可以将实时测量到的磁感应强度数据传输进电脑进行分析。
(1)下列说法正确的是_____。
A.小球应选择体积大的
B.摆线应选择弹性小、细些的
C.安装单摆时，可将摆线一端直接缠绕在铁架台横杆上
D.摆动过程中的最大摆角越大越好
B
解析：为了尽可能减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量较大、体积较小的，故A错误；摆线要选择较细(尽可能减小空气阻力对实验的影响)、伸缩性较小(确保摆球摆动时摆长几乎不变)、尽可能长一些的(减小摆长测量的相对误差)，故B正确；安装单摆时，不可将摆线一端直接缠绕在铁架台横杆上，否则摆球运动过程中摆长会发生变化，故C错误；只有在摆线相对平衡位置的偏角很小的情况下(通常小于5°)，单摆才做简谐运动，进而才能根据周期公式测量重力加速度，故D错误。
(2)学习小组利用刻度尺测量了悬挂点与小球上端的距离l=118.00 cm，用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示，小球直径 D=_____cm，不吸附小磁铁时，摆长 L=________cm。
2.00
119.00
解析：小球直径为D=20 mm+0×0.1 mm=20.0 mm=2.00 cm，不吸附小磁铁时，摆长L=l+=119.00 cm。
(3)小球摆动稳定后，使传感器开始工作，利用电脑得出磁感应强度大小B随时间t变化的图像如图丙。此单摆的周期 T=_____s。
解析：摆球一个周期内两次经过最低点，根据题图丙可知单摆周期为T=2.2 s。
2.2
(4)学习小组利用多组实验数据绘制了L与T2关系图像如图丁，由图像可计算得到当地的重力加速度 g=_____m/s2(结果保留两位有效数字，π2=9.8)。
9.6
解析：根据单摆周期公式T=2π，变形可得L=T2，可知L T2图像斜率为= m/s2，解得g≈9.6 m/s2。
(5)小组中有同学提出，小球与小磁铁整体重心的位置不在小球的球心，这可能会影响到对重力加速度的测量。若仅考虑这一因素，第(4)问得到的g值与实际值相比将_______ (选填“偏大”“偏小”或“相等”)。
相等
解析：设小球与小磁铁整体重心的位置在小球的球心下方r处，根据单摆周期公式可得T=2π，整理得L=T2 r，根据表达式可知不影响所作图线的斜率，所以由斜率计算出的重力加速度值相比实际值将相等。

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