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课时跟踪检测(十一)　振动与波的综合应用
1.(双选)一简谐机械波沿x轴正方向传播,周期为T,t=0时刻的波形如图甲所示,a、b是波上的两个质点,图乙是波上某一质点的振动图像。下列说法正确的是 (　　)
A.图乙可以表示质点a的振动
B.图乙可以表示质点b的振动
C.t=0时,质点a的速度比质点b的小
D.t=0时,质点a的加速度比质点b的小
2.(双选)一列简谐横波在介质中传播时经过A、B两点,A、B相距3 m。某时刻t0开始质点A的振动方程为y=4sin5πt+(cm),质点B的振动方程为y=4sin(5πt)(cm),下列说法正确的是 (　　)
A.该简谐波传播方向为从A到B
B.从t0时刻开始计时,1 s后质点A通过的路程为40 cm
C.这列波的波速可能为90 m/s
D.从t0时刻开始,质点A回到平衡位置的时间可能为 s
3.(2023·湖北高考)一列简谐横波沿x轴正向传播,波长为100 cm,振幅为8 cm。介质中有a和b两个质点,其平衡位置分别位于x=- cm和x=120 cm处。某时刻b质点的位移为y=4 cm,且向y轴正方向运动。从该时刻开始计时,a质点的振动图像为 (　　)
4.图(a)为一列简谐横波在某一时刻的图像,P、Q为平衡位置在x=2 m和x=4 m 的两质点,图(b)为质点P从该时刻开始计时的振动图像。下列说法正确的是 (　　)
A.该波沿x轴负方向传播
B.质点Q在4 s内运动的路程为40 cm
C.该波波速为2 m/s
D.质点P在t=4 s时沿y轴负方向运动
5.(双选)如图所示,一列简谐横波沿x轴正方向传播,实线表示t=0时刻的波形,虚线表示t=0.7 s时刻的波形。则这列波的 (　　)
A.波长为4 m
B.周期可能为0.4 s
C.频率可能为0.25 Hz
D.传播速度可能约为5.7 m/s
6.(2024·新课标卷)(双选)位于坐标原点O的波源在t=0时开始振动,振动图像如图所示,所形成的简谐横波沿x轴正方向传播。平衡位置在x=3.5 m处的质点P开始振动时,波源恰好第2次处于波谷位置,则 (　　)
A.波的周期是0.1 s
B.波的振幅是0.2 m
C.波的传播速度是10 m/s
D.平衡位置在x=4.5 m处的质点Q开始振动时,质点P处于波峰位置
7.(2025·泉州高二联考)战绳训练是当下一种火热的健身方式,运动员晃动战绳一端,使战绳上下振动,其运动状态可视为简谐运动。战绳上有平衡位置相距L=6 m的P、Q两质点,一列简谐横波沿PQ方向传播,当P质点在波峰时,Q质点刚好通过平衡位置且向上运动。已知该简谐波的波长大于3 m。则该简谐波的波长可能为 (　　)
A. m 　　B.6 m
C.8 m 　　D.24 m
8.如图甲所示,某一简谐横波从介质1进入介质2中继续传播,A、B、C为传播方向上的三个点。图乙为t=0时A质点右侧介质1中的部分波形图,此时波恰好传播至介质2中的B点,图丙为该时刻之后B质点的振动图像。已知B、C两质点间的距离为0.75 cm,波在介质2中的传播速度为1.0×103 m/s。下列说法中正确的是 (　　)
A.质点A起振时速度方向为沿y轴正方向
B.t=1×10-5 s时质点C第一次到达波谷
C.在0~0.01 s内,A经过的路程为1 cm
D.质点C与质点B振动的相位差为2π
9.如图所示,实线是一列简谐横波在T1时刻的波形图,虚线是在T2=(T1+0.5)s 时刻的波形图。下列说法正确的是 (　　)
A.当波向左传播时,波速的表达式为v=4(4n+1)m/s(n=0,1,2,…)
B.当波向左传播且3T<(T2-T1)<4T时,波速大小为60m/s
C.当波向右传播时,波速的表达式为v=4(4n+3) m/s(n=0,1,2,…)
D.若波速v=68 m/s,则波向左传播
10.(2024·重庆高考)(双选)一列沿x轴传播的简谐波,在某时刻的波形图如图甲所示,一平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示,若该波的波长大于3 m。则 (　　)
A.最小波长为 m
B.频率为 Hz
C.最大波速为 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为cm
11.(10分)如图,一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点相距L=12.0 m,b点在a点的右方。一列简谐横波沿此长绳向右传播。在t=0时刻,a点的位移ya=4 cm(4 cm为质点振动的振幅),b点的位移yb=0,且向下运动,周期T=2 s。
(1)求质点a的振动方程;(5分)
(2)若这一列简谐波的波长λ12.(15分)一列沿x轴正方向传播的横波,某时刻的波形如图甲所示,图乙表示介质中某质点此后一段时间内的振动图像。
(1)图乙为K、L、M、N四个点中哪点的振动图像 (3分)
(2)从该时刻起,图甲中原点O处质点经t=0.15 s 恰好偏离平衡位置最大,求波传到平衡位置x=36 cm 处质点所需的最长时间;(7分)
(3)若波沿x轴负方向传播,传播速度为v=4 m/s,求原点O处质点的振动方程。(5分)
课时跟踪检测(十一)
1.选BC　t=0时刻,题图乙中质点在平衡位置,且沿y轴负方向振动,由同侧法可知a、b两点中,b点满足沿y轴负方向振动,故A错误,B正确;t=0时,质点a在最大位移处,加速度最大,速度最小,质点b在平衡位置,加速度为零,速度最大,即质点a的速度比质点b的小,质点a的加速度比质点b的大,故C正确,D错误。
2.选BC　由于不知t0时刻质点A、B在波形图上的位置,无法判断波的传播方向,故A错误;简谐横波的周期T==0.4 s,从t0时刻开始计时,1 s后质点A经历T,通过的路程为s=×4A=10A=40 cm,故B正确;若简谐波传播方向为从A到B,有3 m=λ+nλ (n=0,1,2,3,…),这列波的波速 v== m/s(n=0,1,2,3,…),当n=0时,这列波的波速为90 m/s,故C正确;当t= s时,质点A的位移为y=4sin(5π×+)cm=4 cm,可知质点A在波峰,故D错误。
3.选A　a、b之间的距离为Δx= cm+120 cm=λ,此时b点的位移为4 cm且向y轴正方向运动,令此时b点的相位为φ,则有4 cm=8 cm·sin φ,解得φ=或φ=(向下振动,舍去),由a、b之间的距离关系可知φa-φ=·2π=π,则φa=π,可知a点此时的位移为y=8 cm·sin φa=4 cm,且向下振动,故选A。
4.选D　由题图(b)可知,质点P在该时刻沿y轴正方向运动,根据波形平移法可知该波沿x轴正方向传播,故A错误;由题图(b)可知周期T=8 s,则质点Q在4 s内运动的路程为s=2A=2×10 cm=20 cm,故B错误;由题图(a)可知波长λ=8 m,则该波波速为v==1 m/s,故C错误;由题图(b)可知质点P在t=4 s时沿y轴负方向运动,故D正确。
5.选AB　由图像可知波长为λ=4 m,故A正确;波沿x轴正方向传播,传播的时间为Δt=T(n=0,1,2,…),解得T= s(n=0,1,2,…),当n=1时,T=0.4 s,故B正确;由以上分析可知T<4 s,则可知频率f>0.25 Hz,故C错误;波传播速度为v== m/s(n=0,1,2,…),当n=0时,v≈4.3 m/s,当n=1时,v=10 m/s,故D错误。
6.选BC　波的周期和振幅与波源相同,故由题图可知波的周期为T=0.2 s,振幅为A=0.2 m,故A错误,B正确;质点P开始振动时,波源第2次到达波谷,故可知经过的时间为t=T+T=0.35 s,故可得波速为v== m/s=10 m/s,故C正确;波从P点传到Q点需要的时间为t'==0.1 s=T,故可知质点Q开始振动时,质点P处于平衡位置,故D错误。
7.选D　波沿PQ方向传播,当P质点在波峰时,Q质点刚好通过平衡位置且向上运动,则有L=nλ+λ(n=0,1,2,3,…),解得λ=(n=0,1,2,3,…),已知该简谐波的波长大于3 m, 当n=0时,波长为λ1=24 m,当n=1时,波长为λ2= m,当n=2时,波长为λ3= m<3 m,则该简谐波的波长可能为24 m、 m。故选D。
8.选B　由题图丙可知B质点的起振方向为沿y轴负方向,A、B、C三点的起振方向相同,故A起振时速度方向为沿y轴负方向,故A错误;波在介质2中从B传播到C的时间t1==0.75×10-5 s,故C质点再经过t2=t-t1=0.25×10-5 s,即T,恰好第一次到达波谷,故B正确;在0~0.01 s内,A质点经过的路程为s=4A×=2 cm,故C错误;质点C与质点B振动的相位差为Δφ=×2π=,故D错误。
9.选B　根据题意,由题图可知,当波向左传播时,波在t=T2-T1=0.5 s时间内,传播的距离为x=λ+nλ(n=0,1,2,…),由题图可知波长λ=8 m,又有v=,联立可得v=4(4n+3)m/s(n=0,1,2,…),若有3T<(T2-T1)<4T,则波的传播距离3λ10.选BD　根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点的振动方程y=Asin(ωt+φ),代入点(0,)和(2,0),解得φ=,ω=,可得T=2.4 s,f= Hz,故B正确;
在题图甲中标出位移为 cm的质点,如图所示,若波沿x轴正方向传播,则为Q点,若波沿x轴负方向传播,则为P点,则波长可能满足λ=3 m,即λ=18 m,或λ'=3 m,即λ'=9 m,故A错误;根据v=,可得v= m/s,v'= m/s,故C错误;根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程为s=(1+1+1+1-)cm=(4-)cm,故D正确。
11.解析:(1)设质点a的振动方程为ya=Asin,依题意,A=4 cm,T=2 s,可得ya=4sincm,t=0时刻,a点的位移ya=4 cm,可知4 cm=4sinφ cm,解得φ=,可得ya=4sincm=4cos πt(cm)。
(2)依题意,有L=λ+nλ(n=0,1,2,3,…),又λ答案:(1)ya=4cos πt(cm)　(2)v= m/s(n=1,2,3,…)
12.解析:(1)由题图乙可知,在该时刻该质点在平衡位置向上振动,波沿x轴正方向传播,结合波形图可知,题图乙为L点的振动图像。
(2)该时刻原点O处的质点在平衡位置向下振动,而原点O处质点经t=0.15 s恰好偏离平衡位置最大;
若偏离平衡位置为负向最大,则t=0.15 s=nT+
则T= s(n=0,1,2,3,…)
当n=0时周期最大为Tmax=0.6 s
则波传到平衡位置x=36 cm处质点所需的时间
t==0.3 s;
若偏离平衡位置为正向最大,则t=0.15 s=nT+
则T= s(n=0,1,2,3,…)
当n=0时周期最大为Tmax'=0.2 s
则波传到平衡位置x=36 cm处质点所需的时间
t'==0.1 s
波传到平衡位置x=36 cm处质点所需的最长时间为0.3 s。
(3)若波沿x轴负方向传播,传播速度为v=4 m/s,则T== s=0.06 s
原点O处质点的振动方程
y=Asin t=2sin t(cm)。
答案:(1)L点　(2)0.3 s　(3)y=2sin t(cm)
1 / 4综合·融通　振动与波的综合应用
　　　　(融会课——主题串知综合应用)
　　波的图像与振动图像的综合问题和波的多解问题是高考命题的重点和热点,题型有选择题和计算题,难度中等或中等偏下。通过本节课的学习,要熟练掌握振动图像与波的图像的区别和联系、波的多解原因及解题思路。
主题(一) 振动图像与波的图像的比较
[知能融会通]
特点 振动图像 波的图像
相 同 点 图线形状 正(余)弦曲线 正(余)弦曲线
纵坐标y 不同时刻某一质点的位移 某一时刻介质中各个质点的位移
纵坐标最大值 振幅 振幅
不同点 描述对象 某一个振动质点 一群质点(x轴上各个点)
物理意义 振动位移y随时间t的变化关系 x轴上各个质点在某一时刻振动的位移y
横坐标 表示时间t 表示介质中各点的平衡位置离坐标原点的距离x
横轴上相邻两个步 调总一致的点之间 的距离的含义 表示周期T 表示波长λ
其他 频率和周期 在图中直接识读周期T 已知波速v时,根据图中λ可求出T=
两者联系 ①质点的振动是组成波动的基本要素之一 ②波动由许多质点振动所组成,但在振动图像上波形变化无法直接看出 ③若已知波的传播方向和某时刻的波形图,则可以讨论波动中各质点的振动情况
　　
[典例]　(双选)一简谐机械横波沿x轴负方向传播,t=0时刻波形如图甲所示,a、b、d是波上的三个质点。图乙是波上某一点的振动图像,则下列说法正确的是 (　　)
A.质点a在t=1.5 s时位于波谷
B.该波的波速为4 m/s
C.图乙可以表示质点b的振动
D.在0~0.25 s和0.25~0.5 s两段时间内,质点b运动路程相同
听课记录:
[思维建模]
　　解决振动图像和波的图像综合问题的两个关键点:
一是振动图像描述的是哪个质点的振动;二是波的图像是哪一时刻的图像。然后根据振动图像确定这一时刻该点的位移和振动方向,最后根据波的图像确定波的传播方向。
[题点全练清]
1.(2024·福安调研)(双选)一列简谐横波沿x轴传播,波源位于x轴坐标原点O,波源振动图像如图所示,当t=1 s时,简谐波的波动图像可能正确的是 (　　)
2.(双选)波源O垂直于纸面做简谐运动,所激发的横波在均匀介质中沿纸面向四周传播。图甲为该简谐波在t=0.10 s时的俯视图,实线圆表示波峰,虚线圆表示波谷,相邻两个实线圆之间仅有1个虚线圆。该介质中某质点的振动图像如图乙所示,取垂直纸面向外为正方向。下列说法正确的是 (　　)
A.该波的波速为30 cm/s
B.图甲中质点P和Q的相位差为π
C.图甲中质点N在该时刻速度方向垂直纸面向外
D.图乙可能是质点N的振动图像
主题(二) 波的多解问题
[知能融会通]
1.造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
时间 周期性 相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同,时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解
空间 周期性 沿传播方向上,相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同,质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解
(2)双向性
对给定的波形图,波的传播方向不同,质点的振动方向也不同,反之亦然。
传播方向双向性 波的传播方向不确定
振动方向双向性 质点振动方向不确定
2.波动问题的几种可能性
(1)质点到达最大位移处,则有正向和负向最大位移两种可能。
(2)质点由平衡位置开始振动,则有起振方向向上、向下(或向左、向右)的两种可能。
(3)只告诉波速不指明波的传播方向,应考虑沿x轴正方向和沿x轴负方向两个方向传播的可能。
(4)只给出两时刻的波形,则有多次重复出现的可能。　
　　特别提醒:波的多解问题中出现某些条件限制时,系列解可能变成有限个解或单解。
考法(一)　已知两个时刻的波形图
　　[例1]　(2024·南平高二检测)(双选)如图所示,实线是简谐横波在t1=0时刻的波形图,虚线是在t2=0.2 s时刻的波形图。下列说法正确的是 (　　)
A.在t1~t2时间内,x=1 m处的质点可能沿x轴正方向运动了1 m
B.这列波的周期可能为 s
C.若波速为25 m/s,则波沿x轴负方向传播
D.若波速为65 m/s,则x=3 m处的质点N在t1时刻沿y轴负方向振动
听课记录:
[思维建模]
从特殊到一般的思维方法
(1)确定波传播的距离s:①沿波的传播方向,将前一时刻的波形平移最小距离smin与后一时刻的波形重合,考虑到波传播在空间上的周期性,则两个时刻对应时间Δt内波传播的距离为Δs=smin+nλ(n=0,1,…)。
②a.先确定Δt与T的关系:任意质点从前一时刻沿振动方向振动最少时间tmin到后一时刻的振动状态,考虑到振动的周期性,则Δt=tmin+nT(n=0,1,…)。
b.再确定波传播的距离Δs=λ+nλ。
(2)确定波传播的速度:v==。
考法(二)　已知介质中两个质点的振动图像
　　[例2]　(双选)一列横波上A、B两质点的振动图像如图所示,该波由A传向B,两质点沿波的传播方向上的距离Δx=6.0 m,已知波长大于4.0 m。则下列结论正确的是 (　　)
A.t=0时刻,质点A经平衡位置沿y轴正方向振动,质点B处于波峰
B.再经过0.7 s,质点A通过的路程为0.35 m
C.波速可能为12 m/s
D.0.1 s时质点B经平衡位置沿y轴负方向运动
听课记录:
[思维建模]
　　解答已知两质点振动图像的多解问题的思路
(1)确定两质点间距离Δs与波长λ的关系:根据波传播方向和两质点在同一时刻的振动情况(由题意或两质点的振动图像确定同一时刻的振动情况),画出两质点之间可能的最简波形,如为λ波形;考虑到波在空间上的周期性,则Δs=λ(n=0,1,2,…)。
(2)确定波长、周期和波速的关系,v=。
(3)挖掘题中隐含波多解的因素,如波在时间、空间上的周期性、一维波传播的双向性、质点振动的双向性等。
考法(三)　已知某时刻的波形图和某质点的振动图像
　　[例3]　如图甲所示,一列简谐横波沿x轴传播,实线和虚线分别为t1=0时刻和t2时刻的波形图,P、Q分别是平衡位置为x1=1 m和x2=4 m的两质点。如图乙所示为质点Q的振动图像,则 (　　)
A.波沿x轴负方向传播
B.波的传播速度为20 m/s
C.质点P从0时刻到t2时刻经过的路程可能为50 cm
D.质点P的振动方程为y=10sincm
听课记录:
[思维建模]
解决波的图像和质点振动图像问题的思路
(1)根据波的图像和传播方向,可以确定振幅A、波长λ和某质点此时刻的位移和振动方向;根据某质点的振动图像,可以确定振幅A、周期T和该质点在波的图像对应时刻的位移和振动方向。
(2)根据v=确定波速,根据质点的振动方向确定波传播方向,或由波的传播方向确定振动方向,进而确定振动图像等。
综合·融通　振动与波的综合应用
主题(一)
[典例]　选BC　根据题图乙可知周期T=2 s,由于t=1.5 s=T,根据题图甲可知,质点a在t=1.5 s时位于平衡位置,故A错误;根据图像可知,该波的波速为v== m/s=4 m/s,故B正确;根据同侧法可知,t=0时刻质点b沿y轴负方向运动,而题图乙中质点在0时刻随后的位移为负值,表明该质点在0时刻沿y轴负方向运动,即题图乙可以表示质点b的振动,故C正确;由于0.25 s=T,0.5 s=T,0时刻质点b处于平衡位置,可知0.5 s 时刻质点b处于波谷,在0~0.5 s内质点b远离平衡位置,速度逐渐减小,可知质点b在0~0.25 s内的平均速度大于0.25~0.5 s内的平均速度,即质点b在0~0.25 s内的路程大于0.25~0.5 s内的路程,故D错误。
[题点全练清]
1.选AC　由波源O的振动图像可知,周期为T=0.12 s,则原点处的质点的振动方程为y=Asint=10sint(cm),在t=1 s时刻y1=10sincm=5 cm≈8.66 cm,由于1 s=8T+,则在t=1 s时刻质点沿y轴负方向向下振动,根据“同侧法”可判断若波向右传播,则波形如A所示;若波向左传播,则波形如C所示。故选A、C。
2.选AB　根据题意,由题图甲可知=3 cm,解得λ=6 cm,由题图乙可知,周期为0.20 s,由公式v=可得,该波的波速为v=30 cm/s,故A正确;根据题意,由题图甲可知,质点P和Q距离为半个波长,则相位差为π,故B正确;根据题意,由题图甲可知,再经过T波谷传播到N点,则该时刻质点N的速度方向垂直纸面向里,题图乙中质点在t=0.10 s 时刻速度方向为垂直纸面向外,则题图乙不是质点N的振动图像,故C、D错误。
主题(二)
[例1]　选BD　质点只能在自己平衡位置附近上下振动,不随波迁移,选项A错误;若波沿x轴正方向传播,则nT+=0.2 s(n=0,1,2,3,…),若波沿x轴负方向传播,则nT+=0.2 s(n=0,1,2,3,…),当n=0时T= s,即这列波的周期可能为 s,选项B正确;若波速为25 m/s,则周期T== s,即表达式nT+=0.2 s中的n=1,即波沿x轴正方向传播,选项C错误;若波速为65 m/s,则周期T== s,即表达式nT+=0.2 s中的n=3,即波沿x轴正方向传播,则x=3 m处的质点N在t1时刻沿y轴负方向振动,选项D正确。
[例2]　选BC　由题图可知,t=0时刻,质点A经平衡位置沿y轴正方向振动,质点B处于波谷,故A错误;由题图可知,振动周期为T=0.4 s,质点A振幅为5 cm,经过0.7 s,即经过T,质点A通过的路程为s=7A=35 cm=0.35 m,故B正确;波由A传向B,由题图可知,质点A、B之间的距离需满足Δx=λ (n=0,1,2,3,… ),当n=1时,可得λ=4.8 m>4 m,由波速公式可得v==12 m/s,故C正确;由题图可知,0.1 s时质点B经平衡位置沿y轴正方向运动,故D错误。
[例3]　选D　由题图乙可知t1=0时刻,质点Q向上振动,根据上下坡法可知,波沿x轴正方向传播,故A错误;由题图甲可知,波长为8 m,由题图乙可知,周期为0.2 s,波的传播速度为v== m/s=40 m/s,故B错误;从0时刻到t2时刻有Δt=+nT(n=0,1,2,3,…),处于平衡位置或最大位移位置的质点从0时刻到t2时刻经过的路程s=4A·=(4n+1)A(n=0,1,2,3,…),当n=1时,s=50 cm,由于质点P不在平衡位置或最大位移位置,从0时刻到t2时刻经过的路程不可能为50 cm,故C错误;质点Q的振动方程为y=Asin=10sincm,质点P与质点Q相位差恒定,为φ=×2π=π,故质点P的振动方程为y=Asin(t+φ)=10sincm,故D正确。
6 / 6(共62张PPT)
振动与波的综合应用 (融会课——主题串知综合应用)
综合 融通
波的图像与振动图像的综合问题和波的多解问题是高考命题的重点和热点，题型有选择题和计算题，难度中等或中等偏下。通过本节课的学习，要熟练掌握振动图像与波的图像的区别和联系、波的多解原因及解题思路。
主题(一) 振动图像与波的图像的比较
主题(二) 波的多解问题
01
02
CONTENTS
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课时跟踪检测
03
主题(一) 振动图像与波
的图像的比较
特点 振动图像 波的图像
相同点 图线形状 正(余)弦曲线 正(余)弦曲线
纵坐标y 不同时刻某一质点的位移 某一时刻介质中各个质点的位移
纵坐标最大值 振幅 振幅
知能融会通
特点 振动图像 波的图像
不同点 描述对象 某一个振动质点 一群质点(x轴上各个点)
物理意义 振动位移y随时间 t的变化关系 x轴上各个质点在某一时刻振 动的位移y
横坐标 表示时间t 表示介质中各点的平衡位置离坐标原点的距离x
横轴上相邻两个步 调总一致的点之间 的距离的含义 表示周期T 表示波长λ
特点 振动图像 波的图像
其他 频率和周期 在图中直接识读周期T 已知波速v时，根据图中λ可求出T=
两者联系 ①质点的振动是组成波动的基本要素之一 ②波动由许多质点振动所组成，但在振动图像上波形变化无法直接看出 ③若已知波的传播方向和某时刻的波形图，则可以讨论波动中各质点的振动情况
[典例]　(双选)一简谐机械横波沿x轴负方向传播，t=0时刻波形如图甲所示，a、b、d是波上的三个质点。图乙是波上某一点的振动图像，则下列说法正确的是 (　　)
A.质点a在t=1.5 s时位于波谷
B.该波的波速为4 m/s
C.图乙可以表示质点b的振动
D.在0~0.25 s和0.25~0.5 s两段时间内，质点b运动路程相同
√
√
[解析]　根据题图乙可知周期T=2 s，由于t=1.5 s=T，根据题图甲可知，质点a在t=1.5 s时位于平衡位置，故A错误；根据图像可知，该波的波速为v== m/s=4 m/s，故B正确；根据同侧法可知，t=0时刻质点b沿y轴负方向运动，而题图乙中质点在0时刻随后的位移为负值，表明该质点在0时刻沿y轴负方向运动，即题图乙可以表示质点b的振动，故C正确；由于0.25 s=T，0.5 s=T，0时刻质点b处于平衡位置，可知0.5 s时刻质点b处于波谷，在0~0.5 s内质点b远离平衡位置，速度逐渐减小，可知质点b在0~0.25 s内的平均速度大于0.25~0.5 s内的平均速度，即质点b在0~0.25 s内的路程大于0.25~0.5 s内的路程，故D错误。
[思维建模]
解决振动图像和波的图像综合问题的两个关键点：
一是振动图像描述的是哪个质点的振动；二是波的图像是哪一时刻的图像。然后根据振动图像确定这一时刻该点的位移和振动方向，最后根据波的图像确定波的传播方向。
1.(2024·福安调研)(双选)一列简谐横波沿x轴传播，
波源位于x轴坐标原点O，波源振动图像如图所示，当
t=1 s时，简谐波的波动图像可能正确的是 (　　)
题点全练清
√
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解析：由波源O的振动图像可知，周期为T=0.12 s，则原点处的质点的振动方程为y=Asint=10sint(cm)，在t=1 s时刻y1=10sincm
=5 cm≈8.66 cm，由于1 s=8T+，则在t=1 s时刻质点沿y轴负方向向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形如A所示；若波向左传播，则波形如C所示。故选A、C。
2.(双选)波源O垂直于纸面做简谐
运动，所激发的横波在均匀介质中沿
纸面向四周传播。图甲为该简谐波在
t=0.10 s时的俯视图，实线圆表示波峰，
虚线圆表示波谷，相邻两个实线圆之间仅有1个虚线圆。该介质中某质点的振动图像如图乙所示，取垂直纸面向外为正方向。下列说法正确的是 (　　)
A.该波的波速为30 cm/s
B.图甲中质点P和Q的相位差为π
C.图甲中质点N在该时刻速度方向垂直纸面向外
D.图乙可能是质点N的振动图像
√
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解析：根据题意，由题图甲可知=3 cm，解得λ=6 cm，由题图乙可知，周期为0.20 s，由公式v=可得，该波的波速为v=30 cm/s，故A正确；根据题意，由题图甲可知，质点P和Q距离为半个波长，则相位差为π，故B正确；根据题意，由题图甲可知，再经过T波谷传播到N点，则该时刻质点N的速度方向垂直纸面向里，题图乙中质点在t=0.10 s 时刻速度方向为垂直纸面向外，则题图乙不是质点N的振动图像，故C、D错误。
主题(二) 波的多解问题
1.造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
知能融会通
时间 周期性 相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解
空间 周期性 沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解
(2)双向性
对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。
传播方向双向性 波的传播方向不确定
振动方向双向性 质点振动方向不确定
2.波动问题的几种可能性
(1)质点到达最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)的两种可能。
(3)只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿x轴正方向和沿x轴负方向两个方向传播的可能。
(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。　
特别提醒：波的多解问题中出现某些条件限制时，系列解可能变成有限个解或单解。
考法(一)　已知两个时刻的波形图
[例1]　(2024·南平高二检测)(双选)如图所示，
实线是简谐横波在t1=0时刻的波形图，虚线是在
t2=0.2 s时刻的波形图。下列说法正确的是 (　　)
A.在t1~t2时间内，x=1 m处的质点可能沿x轴正方向运动了1 m
B.这列波的周期可能为 s
C.若波速为25 m/s，则波沿x轴负方向传播
D.若波速为65 m/s，则x=3 m处的质点N在t1时刻沿y轴负方向振动
√
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[解析]　质点只能在自己平衡位置附近上下振动，不随波迁移，选项A错误；若波沿x轴正方向传播，则nT+=0.2 s(n=0，1，2，3，…)，若波沿x轴负方向传播，则nT+=0.2 s(n=0，1，2，3，…)，当n=0时T= s，即这列波的周期可能为 s，选项B正确；若波速为25 m/s，则周期T== s，即表达式nT+=0.2 s中的n=1，即波沿x轴正方向传播，选项C错误；若波速为65 m/s，则周期T== s，即表达式nT+=0.2 s中的n=3，即波沿x轴正方向传播，则x=3 m处的质点N在t1时刻沿y轴负方向振动，选项D正确。
[思维建模]
从特殊到一般的思维方法
(1)确定波传播的距离s：①沿波的传播方向，将前一时刻的波形平移最小距离smin与后一时刻的波形重合，考虑到波传播在空间上的周期性，则两个时刻对应时间Δt内波传播的距离为Δs=smin+nλ(n=0，1，…)。
②a.先确定Δt与T的关系：任意质点从前一时刻沿振动方向振动最少时间tmin到后一时刻的振动状态，考虑到振动的周期性，则Δt=tmin+nT(n=0，1，…)。
b.再确定波传播的距离Δs=λ+nλ。
(2)确定波传播的速度：v==。
[例2]　(双选)一列横波上A、B
两质点的振动图像如图所示，该波
由A传向B，两质点沿波的传播方向
上的距离Δx=6.0 m，已知波长大于4.0 m。则下列结论正确的是 (　　)
A.t=0时刻，质点A经平衡位置沿y轴正方向振动，质点B处于波峰
B.再经过0.7 s，质点A通过的路程为0.35 m
C.波速可能为12 m/s
D.0.1 s时质点B经平衡位置沿y轴负方向运动
考法(二)　已知介质中两个质点的振动图像
√
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[解析]　由题图可知，t=0时刻，质点A经平衡位置沿y轴正方向振动，质点B处于波谷，故A错误；由题图可知，振动周期为T=0.4 s，质点A振幅为5 cm，经过0.7 s，即经过T，质点A通过的路程为s=7A=35 cm=0.35 m，故B正确；波由A传向B，由题图可知，质点A、B之间的距离需满足Δx=
λ (n=0，1，2，3，… )，当n=1时，可得λ=4.8 m>4 m，由波速公式可得v==12 m/s，故C正确；由题图可知，0.1 s时质点B经平衡位置沿y轴正方向运动，故D错误。
[思维建模]
解答已知两质点振动图像的多解问题的思路
(1)确定两质点间距离Δs与波长λ的关系：根据波传播方向和两质点在同一时刻的振动情况(由题意或两质点的振动图像确定同一时刻的振动情况)，画出两质点之间可能的最简波形，如为λ波形；考虑到波在空间上的周期性，则Δs=λ(n=0，1，2，…)。
(2)确定波长、周期和波速的关系，v=。
(3)挖掘题中隐含波多解的因素，如波在时间、空间上的周期性、一维波传播的双向性、质点振动的双向性等。
[例3]　如图甲所示，一列简
谐横波沿x轴传播，实线和虚线分
别为t1=0时刻和t2时刻的波形图，
P、Q分别是平衡位置为x1=1 m和x2=4 m的两质点。如图乙所示为质点Q的振动图像，则 (　　)
A.波沿x轴负方向传播
B.波的传播速度为20 m/s
C.质点P从0时刻到t2时刻经过的路程可能为50 cm
D.质点P的振动方程为y=10sincm
考法(三)　已知某时刻的波形图和某质点的振动图像
√
[解析]　由题图乙可知t1=0时刻，质点Q向上振动，根据上下坡法可知，波沿x轴正方向传播，故A错误；由题图甲可知，波长为8 m，由题图乙可知，周期为0.2 s，波的传播速度为v== m/s=40 m/s，故B错误；从0时刻到t2时刻有Δt=+nT(n=0，1，2，3，…)，处于平衡位置或最大位移位置的质点从0时刻到t2时刻经过的路程s=4A·=(4n+1)A(n=0，1，2，3，…)，当n=1时，s=50 cm，由于质点P不在平衡位置或最大位移位置，从0时刻到t2时刻经过的路程不可能为50 cm，故C错误；
质点Q的振动方程为y=Asin=10sincm，质点P与质点Q相位差恒定，为φ=×2π=π，故质点P的振动方程为y=Asin(t+φ )
=10sincm，故D正确。
[思维建模]
解决波的图像和质点振动图像问题的思路
(1)根据波的图像和传播方向，可以确定振幅A、波长λ和某质点此时刻的位移和振动方向；根据某质点的振动图像，可以确定振幅A、周期T和该质点在波的图像对应时刻的位移和振动方向。
(2)根据v=确定波速，根据质点的振动方向确定波传播方向，或由波的传播方向确定振动方向，进而确定振动图像等。
课时跟踪检测
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1.(双选)一简谐机械波沿x轴正方向传播，周期为T，t=0时刻的波形如图甲所示，a、b是波上的两个质点，图乙是波上某一质点的振动图像。下列说法正确的是 (　　)
A.图乙可以表示质点a的振动
B.图乙可以表示质点b的振动
C.t=0时，质点a的速度比质点b的小
D.t=0时，质点a的加速度比质点b的小
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解析：t=0时刻，题图乙中质点在平衡位置，且沿y轴负方向振动，由同侧法可知a、b两点中，b点满足沿y轴负方向振动，故A错误，B正确；t=0时，质点a在最大位移处，加速度最大，速度最小，质点b在平衡位置，加速度为零，速度最大，即质点a的速度比质点b的小，质点a的加速度比质点b的大，故C正确，D错误。
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2.(双选)一列简谐横波在介质中传播时经过A、B两点，A、B相距3 m。某时刻t0开始质点A的振动方程为y=4sin（5πt+）(cm)，质点B的振动方程为y=4sin(5πt)(cm)，下列说法正确的是(　　)
A.该简谐波传播方向为从A到B
B.从t0时刻开始计时，1 s后质点A通过的路程为40 cm
C.这列波的波速可能为90 m/s
D.从t0时刻开始，质点A回到平衡位置的时间可能为 s
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解析：由于不知t0时刻质点A、B在波形图上的位置，无法判断波的传播方向，故A错误；简谐横波的周期T==0.4 s，从t0时刻开始计时，1 s后质点A经历T，通过的路程为s=×4A=10A=40 cm，故B正确；若简谐波传播方向为从A到B，有3 m=λ+nλ (n=0，1，2，3，…)，这列波的波速 v=
= m/s(n=0，1，2，3，…)，当n=0时，这列波的波速为90 m/s，故C正确；当t= s时，质点A的位移为y=4sin（5π×+）cm=4 cm，可知质点A在波峰，故D错误。
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3.(2023·湖北高考)一列简谐横波沿x轴正向传播，波长为100 cm，振幅为8 cm。介质中有a和b两个质点，其平衡位置分别位于x=- cm和x=120 cm处。某时刻b质点的位移为y=4 cm，且向y轴正方向运动。从该时刻开始计时，a质点的振动图像为(　　)
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解析：a、b之间的距离为Δx= cm+120 cm=λ，此时b点的位移为4 cm且向y轴正方向运动，令此时b点的相位为φ，则有4 cm=8 cm·sin φ，解得φ=或φ=(向下振动，舍去)，由a、b之间的距离关系可知φa-φ=·2π=π，则φa=π，可知a点此时的位移为y=8 cm·sin φa=4 cm，且向下振动，故选A。
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4.图(a)为一列简谐横波在某一时刻的图像，P、Q为平衡位置在x=2 m和x=4 m 的两质点，图(b)为质点P从该时刻开始计时的振动图像。下列说法正确的是 (　　)
A.该波沿x轴负方向传播
B.质点Q在4 s内运动的路程为40 cm
C.该波波速为2 m/s
D.质点P在t=4 s时沿y轴负方向运动
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解析：由题图(b)可知，质点P在该时刻沿y轴正方向运动，根据波形平移法可知该波沿x轴正方向传播，故A错误；由题图(b)可知周期T=8 s，则质点Q在4 s内运动的路程为s=2A=2×10 cm=20 cm，故B错误；由题图(a)可知波长λ=8 m，则该波波速为v==1 m/s，故C错误；由题图(b)可知质点P在t=4 s时沿y轴负方向运动，故D正确。
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5.(双选)如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线表示t=0时刻的波形，虚线表示t=0.7 s时刻的波形。则这列波的 (　　)
A.波长为4 m
B.周期可能为0.4 s
C.频率可能为0.25 Hz
D.传播速度可能约为5.7 m/s
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解析：由图像可知波长为λ=4 m，故A正确；波沿x轴正方向传播，传播的时间为Δt=T(n=0，1，2，…)，解得T= s(n=0，1，2，
…)，当n=1时，T=0.4 s，故B正确；由以上分析可知T<4 s，则可知频率f>0.25 Hz，故C错误；波传播速度为v== m/s(n=0，1，2，…)，当n=0时，v≈4.3 m/s，当n=1时，v=10 m/s，故D错误。
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6.(2024·新课标卷)(双选)位于坐标原点O的波源在t=0时开始振动，振动图像如图所示，所形成的简谐横波沿x轴正方向传播。平衡位置在x=3.5 m处的质点P开始振动时，波源恰好第2次处于波谷位置，则 (　　)
A.波的周期是0.1 s
B.波的振幅是0.2 m
C.波的传播速度是10 m/s
D.平衡位置在x=4.5 m处的质点Q开始振动时，质点P处于波峰位置
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解析：波的周期和振幅与波源相同，故由题图可知波的周期为T=0.2 s，振幅为A=0.2 m，故A错误，B正确；质点P开始振动时，波源第2次到达波谷，故可知经过的时间为t=T+T=0.35 s，故可得波速为v== m/s
=10 m/s，故C正确；波从P点传到Q点需要的时间为t'==0.1 s=T，故可知质点Q开始振动时，质点P处于平衡位置，故D错误。
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7.(2025·泉州高二联考)战绳训练是当下一种火热的健身方式，运动员晃动战绳一端，使战绳上下振动，其运动状态可视为简谐运动。战绳上有平衡位置相距L=6 m的P、Q两质点，一列简谐横波沿PQ方向传播，当P质点在波峰时，Q质点刚好通过平衡位置且向上运动。已知该简谐波的波长大于3 m。则该简谐波的波长可能为 (　　)
A. m B.6 m
C.8 m D.24 m
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解析：波沿PQ方向传播，当P质点在波峰时，Q质点刚好通过平衡位置且向上运动，则有L=nλ+λ(n=0，1，2，3，…)，解得λ=(n=0，1，2，3，…)，已知该简谐波的波长大于3 m， 当n=0时，波长为λ1=24 m，当n=1时，波长为λ2= m，当n=2时，波长为λ3= m<3 m，则该简谐波的波长可能为24 m、 m。故选D。
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8.如图甲所示，某一简谐横波从介质1进入介质2中继续传播，A、B、C为传播方向上的三个点。图乙为t=0时A质点右侧介质1中的部分波形图，此时波恰好传播至介质2中的B点，图丙为该时刻之后B质点的振动图像。已知B、C两质点间的距离为0.75 cm，波在介质2中的传播速度为1.0×103 m/s。下列说法中正确的是 (　　)
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A.质点A起振时速度方向为沿y轴正方向
B.t=1×10-5 s时质点C第一次到达波谷
C.在0~0.01 s内，A经过的路程为1 cm
D.质点C与质点B振动的相位差为2π
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解析：由题图丙可知B质点的起振方向为沿y轴负方向，A、B、C三点的起振方向相同，故A起振时速度方向为沿y轴负方向，故A错误；波在介质2中从B传播到C的时间t1==0.75×10-5 s，故C质点再经过t2=t-t1=
0.25×10-5 s，即T，恰好第一次到达波谷，故B正确；在0~0.01 s内，A质点经过的路程为s=4A×=2 cm，故C错误；质点C与质点B振动的相位差为Δφ=×2π=，故D错误。
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9.如图所示，实线是一列简谐横波在T1时刻
的波形图，虚线是在T2=(T1+0.5)s 时刻的波形图。
下列说法正确的是 (　　)
A.当波向左传播时，波速的表达式为v=4(4n+1)m/s(n=0，1，2，…)
B.当波向左传播且3T<(T2-T1)<4T时，波速大小为60m/s
C.当波向右传播时，波速的表达式为v=4(4n+3) m/s(n=0，1，2，…)
D.若波速v=68 m/s，则波向左传播
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解析：根据题意，由题图可知，当波向左传播时，波在t=T2-T1=
0.5 s时间内，传播的距离为x=λ+nλ(n=0，1，2，…)，由题图可知波长λ=8 m，又有v=，联立可得v=4(4n+3)m/s(n=0，1，2，…)，若有3T<(T2-T1)<4T，则波的传播距离3λ(4×3+3)m/s=60m/s，故A错误，B正确；
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根据题意，当波向右传播时，波在t=T2-T1=0.5 s时间内，传播的距离为x=λ+nλ(n=0，1，2，…)，又有v=，联立可得v=4×(4n+1)m/s(n=0，1，2，…)，故C错误；若波速v=68 m/s，则波的传播距离为x=vt=68
×0.5 m=34 m=λ，结合上述分析可知，波向右传播，故D错误。
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10.(2024·重庆高考)(双选)一列沿x轴传播的简谐波，在某时刻的波形图如图甲所示，一平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，若该波的波长大于3 m。则 (　　)
A.最小波长为 m
B.频率为 Hz
C.最大波速为 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为cm
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解析：根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点的振动方程y=Asin(ωt+φ)，代入点（0，）和(2，0)，解得φ=，ω=，可得T=2.4 s，f= Hz，故B正确；在题图甲中标出位移为 cm的质点，如图所示，若波沿x轴正方向传播，则为Q点，若波沿x轴负方向传播，则为P点，则波长可能满足λ=3 m，即λ=18 m，或λ'=3 m，即λ'=9 m，故A错误；根据v=，可得v= m/s，v'= m/s，故C错误；
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根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程为s=（1+1+1+1-）cm=（4-）cm，故D正确。
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11.(10分) 如图，一根张紧的水平弹
性长绳上的a、b两点相距L=12.0 m，b点在a点的右方。一列简谐横波沿此长绳向右传播。在t=0时刻，a点的位移ya=4 cm
(4 cm为质点振动的振幅)，b点的位移yb=0，且向下运动，周期T=2 s。
(1)求质点a的振动方程；(5分)
答案：ya=4cos πt(cm)
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解析：设质点a的振动方程为ya=Asin
依题意，A=4 cm，T=2 s，
可得ya=4sincm
t=0时刻，a点的位移ya=4 cm，
可知4 cm=4sinφ cm
解得φ=
可得ya=4sincm=4cos πt(cm)。
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(2)若这一列简谐波的波长λ答案：v= m/s(n=1，2，3，…)
解析：依题意，有L=λ+nλ(n=0，1，2，3，…)
又λ解得λ= m(n=1，2，3，…)
根据v=
联立解得v= m/s(n=1，2，3，…)。
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12.(15分)一列沿x轴正方向传播的横波，某时刻的波形如图甲所示，图乙表示介质中某质点此后一段时间内的振动图像。
(1)图乙为K、L、M、N四个点中哪点的振动图像 (3分)
答案：L点
解析：由题图乙可知，在该时刻该质点在平衡位置向上振动，波沿x轴正方向传播，结合波形图可知，题图乙为L点的振动图像。
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(2)从该时刻起，图甲中原点O处质点经t=0.15 s 恰好偏离平衡位置最大，求波传到平衡位置x=36 cm 处质点所需的最长时间；(7分)
答案：0.3 s
解析：该时刻原点O处的质点在平衡位置向下振动，而原点O处质点经t=0.15 s恰好偏离平衡位置最大；
若偏离平衡位置为负向最大，则t=0.15 s=nT+
则T= s(n=0，1，2，3，…)
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当n=0时周期最大为Tmax=0.6 s
则波传到平衡位置x=36 cm处质点所需的时间t==0.3 s；
若偏离平衡位置为正向最大，则t=0.15 s=nT+
则T= s(n=0，1，2，3，…)
当n=0时周期最大为Tmax'=0.2 s
则波传到平衡位置x=36 cm处质点所需的时间t'==0.1 s
波传到平衡位置x=36 cm处质点所需的最长时间为0.3 s。
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(3)若波沿x轴负方向传播，传播速度为v=4 m/s，求原点O处质点的振动方程。(5分)
答案：y=2sin t(cm)
解析：若波沿x轴负方向传播，传播速度为v=4 m/s，则T== s
=0.06 s
原点O处质点的振动方程
y=Asin t=2sin t(cm)。

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