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进才中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，，则________．
2．已知，则________．
3．超市的某种水果的60%来自供应商，40%来自供应商，两个供应商的一级果率分别是95%和90%．从超市中任取一个该种水果，它是一级果的概率为________．
4．若数据、、…、的方差为3，则数据、、…、的方差
为________．
5．在的展开式中，的系数为________．
6．函数的单调递减区间为________．
7．某次调研测试中，考生成绩服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为_______．
8．曲线上的点到直线的最短距离是________．
9．研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件为“对药物甲产生抗药性”，事件为“对药物乙产生抗药性”，事件为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若，，，则________．
10．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人．
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参考公式：，其中．
11．已知，分别为双曲线：（，）的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为________．
12．已知函数的导函数为，对，恒成立，（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是________．
二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每小题4分，15-16每小题5分）
13．若，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．设函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
15．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ）
收入万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1
支出万 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8
A．12.68万元 B．13.88万元 C．12.78万元 D．14.28万元
16．设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：
①对于任意，，若，都有
②对于任意，，若，则；下列命题正确的是（ ）
A．若有4个元素，则有7个元素
B．若有4个元素，则有6个元素
C．若有3个元素，则有5个元素
D．若有3个元素，则有4个元素
三、解答题
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知集合集合，集合．
（1）若，求和；
（2）设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围是．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在直三棱柱中，底面为正三角形，侧面为正方形，，且，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角．
19．（本题满分14分，第1小题2分，第2小题6分，第3小题6分）
甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立．
（1）当时，求；
（2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值；
（3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2（i）小题6分，第2（ii）小题8分）
已知抛物线：（）的焦点为，上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点、、是抛物线上不同的三点．
（ⅰ）若直线过点，且交准线于点，，，求的值；
（ⅱ）若直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”．
（1）构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由；
（2）求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应；
（3）若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知，分别为双曲线：（，）的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】分别为双曲线的左、右焦点，
过点的直线与双曲线的左支交于两点，
记的内切圆半径为的内切圆半径为，
若，如图所示，
设内切圆圆心为内切圆圆心，
且圆与各边分别相切于，
则，
又点在双曲线左支，则
则，且轴，即点在直线上，
同理点在直线上，即轴于点，且，
设，则，则
，即，
又，则，化简可得，即，
解得或（舍），故答案为：．
12．已知函数的导函数为，对，恒成立，（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为对恒成立，
所以对恒成立，
令，则,所以，
所以，所以，①
又因为，所以，即，
所以由①得，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，
又
若不等式的解集中恰有3个整数，则的解集中恰有3个整数，
所以，所以的取值范围为．故答案为：．
二、选择题
13.D 14.C 15.A 16.A
15．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ）
收入万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1
支出万 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8
A．12.68万元 B．13.88万元 C．12.78万元 D．14.28万元
【答案】A
【解析】由表中的数据可知，，
，因为，所以，
所以，当时，．故选：．
16．设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：
①对于任意，，若，都有
②对于任意，，若，则；下列命题正确的是（ ）
A．若有4个元素，则有7个元素
B．若有4个元素，则有6个元素
C．若有3个元素，则有5个元素
D．若有3个元素，则有4个元素
【答案】A
【解析】取，则，个元素，排除，
，则，个元素，排除；
，则，个元素，排除；
故选：．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2）的最小值为，相应的 （3）分布列如下，
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2（i）小题6分，第2（ii）小题8分）
已知抛物线：（）的焦点为，上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点、、是抛物线上不同的三点．
（ⅰ）若直线过点，且交准线于点，，，求的值；
（ⅱ）若直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1） （2）（i） （ⅱ）
【解析】（1）抛物线的焦点，准线为，
设点，动点到其准线的距离为，
由抛物线定义得，则，当且仅当时取等号，
依题意，，所以抛物线的方程为；
（2）（i）设直线方程为，设，又，
由，消去得，，
所以，所以，
由，得，整理得，同理可得，
所以；
（ⅱ）设直线的方程为，，
将坐标代入抛物线方程解得，所以，
由，消去得，则，
所以，，又，同理，
由，得，即，
则，解得，由，得，解得或，
则．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”．
（1）构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由；
（2）求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应；
（3）若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围．
【答案】（1），理由见解析 （2）证明见解析
（3）
【解析】（1）因为，根据函数单调性的定义有在上为单调递增函数，根据题目对完美对应的新定义可得所需构造的函数定义域为时，值域为，
所以
（2）假设存在整数集到有理数集之间完美对应，
则对任意均有，则有在上为单调递增函数，
设，若，则，则，
可得，可设，
则，
同理可得，则有，
即是整数集到有理数集之间完美对应，与题意矛盾，
所以假设不成立，整数集到有理数集之间不存在完美对应；
（3）解得或．
若，则单调递增，且有，，此时；
若时，则时，时，．
则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，故只有极小值才满足题意，解得，
若，则时，，时，
时，；则函数在单调递减，
时单调递减，在单调递增；
又，故只有极大值才满足题意，记得此时．
综上，的取值范围是

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