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高桥中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题
1．已知全集，则集合 .
2．经过点的直线的斜率为 .
3．函数的最大值是 .
4．已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是 .
5．若，则在方向上的数量投影是 .
6．学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学概率为 .
7．如图．在正方形中，为上一点，且，则 .
8．已知，设 .
9．函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足且，则不等式的解集为 .
10．若数列是以1为公差，2为首项的等差数列，数列其前5项分别为则数列的通项公式 .
11．已知在平面内，点到直线的距离．此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法．现在空间直角坐标中，定义：平面的一般方程为，，则点到平面的距离.如图，底面边长与高都为2的正四棱锥中，点到侧面的距离等于 .
（备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面）
12.对于定义域和值域均为的函数，定义，.满足的点称为的阶周期点．设，则的阶周期点的个数是 .
二、选择题
13．已知集合，集合，则（ ）.
A． B． C． D．
14．某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温/℃ 18 13 10 -1
用电量/度 24 34 38 64
若经验回归方程为，则当气温为时，预测用电量约为（ ）.
A．68度 B．52度 C．12度 D．28度
15．三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（1485年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距温为8m时，跨度达到了13m．若水面从图中示意位置上升4m，则水面宽变为（ ）.
A． B．
C． D．
16．已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（ ）.
A．0个 B．21 C．有限个且多于2个 D.无限个
三、解答题
17．（8分，4+4分）已知方程的两根为与．求下列各式的值：
（1）
（2）
18．（8分，4＋4分）如图，已知一个组合体由一个圆锥与一个圆柱构成（圆锥底面与圆柱上底面重合．平面为圆柱的轴轴面），已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8．
（1）求这个组合体的体积
（2）设为半圆弧的中点，求到面的距离．
19．（12分，4＋4＋4分）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 14
不是每天都整理数学错题人数 15 20
合计 40
（1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
（2）是否有的把握认为＂数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关＂？
附：：
（3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评的人数为，求的分布列和期望．
20．（12分，4＋4＋4分）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）是轴正半轴上的一点，求的最大值．
（3）若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值．
21．（12分6+6分）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间及在处的切线方程；
（2）设函数，若时，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知在平面内，点到直线的距离．此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法．现在空间直角坐标中，定义：平面的一般方程为，，则点到平面的距离.如图，底面边长与高都为2的正四棱锥中，点到侧面的距离等于 .
（备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面）
【答案】
【解析】如图，以底面的中心为原点，建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的一般方程为（
因为不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面，
所以角坐标代入，得解得，
由题知不全为0，所以，所以，即，
所以点点侧面的距离故答案为：．
12.对于定义域和值域均为的函数，定义，.满足的点称为的阶周期点．设，则的阶周期点的个数是 .
【答案】
【解析】当时，，解得
当时，，解得∴的1阶周期点的个数是2
当时，，解得
当时，，
当时，，解得
当时，，解得
∴的2阶周期点的个数是依此类推，∴的阶周期点的个数是，故答案为：
二、选择题
13.A 14.A 15.B 16.A
15．三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（1485年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距温为8m时，跨度达到了13m．若水面从图中示意位置上升4m，则水面宽变为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设抛物线方程为，其中，
由题意可得：点在抛物线上，
则，即，
当时，，
即，则水面宽变为．故选：B．
16．已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（ ）.
A．0个 B．21 C．有限个且多于2个 D.无限个
【答案】A
【解析】假设有这样的三角形存在，因为在抛物线上，焦点，
设，
所以，，
因为，所以，
整理可得
设第一象限的点的横坐标大于2，假设，则，
则
显然不成立，所以不存在这样的三角形满足这3个条件，故选：．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）列联表如下，概率为 （2）有关 （3）分布列如下，
20．（12分，4＋4＋4分）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）是轴正半轴上的一点，求的最大值．
（3）若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值．
【答案】（1） （2） （3）．
【解析】（1）若的最大值和最小值分别为和，
此时，解得，
则，故椭圆的标准方程为；
（2）设，此时
当，即在区间单调递减，
当时，取得最大值，最大值为，
当，即，此时在区间的最大值为，
综上所述，当时，的最大值为；当时，的最大值为；
（3）设且，，
联立，消去并整理得
由韦达定理得，，
因为，
所以，所以为定值，因为
当时，为定值，
则．
21．（12分6+6分）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间及在处的切线方程；
（2）设函数，若时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）当时，
由，有，由有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的减区间为，增区间为；
又，所以切点为，切线斜率，
所以切线方程，即切线方程为．
（2）
设则
在上单调递增，
①当，即时，在上单调递增，
则，故．
②当，即时，
，即，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则，
由，令函数，且，
上单调递增，，
综上，实数的取值范围是：．

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