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4．1　成对数据的统计相关性
学习目标
(1)通过实例，了解两个变量之间的关系，能用散点图表示它们的关系．(2)会作散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．(3)通过实例，了解相关系数的概念，理解相关系数的性质，并能用相关系数来研究两个变量的关系．(4)通过实例，了解多个变量之间的关系，能将多个变量分解成几个不同的两组数据分别进行相关性分析．(5)通过实例，了解向量夹角的概念，用向量夹角来研究两个变量的相关关系．
课前预习
要点一　相关关系
1．散点图：由坐标系及散点形成的数据图．
2．相关关系：如果两个变量之间的关系近似地表现为一条________，则称它们有线性相关关系，简称为相关关系．
3．函数关系：如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量，各观测点落在一条直线上，则称它们线性相关，这实际上就是函数关系．
4．相关系数：一般地，对于n个成对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，当数据{xi}，{yi}(i＝1，2，…，n)的标准差都不为0 时，我们称r＝＝为{xi}，{yi}的相关系数．
5．相关系数的性质：
(1)rxy值范围是[－1，1].当0(2) |rxy|越接近于1时，变量x，y的线性相关程度越高 ，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一条直线附近．
(3)|rxy|越接近于0时，变量x，y的线性相关程度________．
(4)rxy具有对称性，即rxy＝ryx.
(5)rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量．rxy＝0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系．
要点二　相关系数与向量夹角
把两组成对数据分别看作n维空间的两个向量(x1，x2，…，xn)，(y1，y2，…，yn)，向量夹角的大小可以用余弦来刻画，我们就用余弦来刻画两个向量的相关关系．
.
当夹角在[0，)内时，余弦值越大表示两个向量的夹角越小，两组数据的正相关程度越高；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的正相关程度越低．
当夹角在(，π]内时，余弦值越大表示两个向量的夹角越小，两组数据的负相关程度越低；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的负相关程度越高．
当夹角为时，余弦值为0，说明两组数据不相关．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两个变量正相关，则样本相关系数大于0小于1.(　　)
(2)相关系数越大，两个变量的相关性就越强．(　　)
(3)若相关系数r＝0，则两变量x，y之间没有关系．(　　)
2．下列两个量之间的关系是相关关系的是(　　)
A．匀速直线运动中时间与位移的关系
B．学生的成绩和身高
C．儿童的年龄与体重
D．物体的体积和质量
3．若变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.983 2，则变量y与x之间(　　)
A．具有很弱的线性相关关系
B．具有较强的线性相关关系
C．它们的线性相关关系还需要进一步确定
D．不确定
4．如图所示的两个变量具有相关关系的是________(填序号).
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型3　线性相关关系
例1　某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表所示：
(1)根据上表数据作出散点图；
(2)观察散点判断利润额y关于销售额x是否具有线性相关关系．如果具有线性相关关系，那么是正相关还是负相关？
方法归纳
两个变量是否线性相关的判断方法
巩固训练1　某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．
(1)画出散点图；
(2)判断y与x是否具有线性相关关系．
题型2　相关系数
例2　互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：
据统计表明，y与x之间具有线性相关关系，请用样本相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断．(若|r|>0.8，则可认为y与x有较强的线性相关关系)
参考数据：
方法归纳
相关系数可以反映两个变量之间的线性相关程度，即散点集中于一条直线的程度，其符号反映了相关关系的正负性．用相关系数能够较准确的判断相关的程度．
巩固训练2　科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：
根据上表中的样本数据，计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关关系及相关程度．
题型3　多组成对数据的相关性
例3　某电器销售公司的管理人员认为，月销售收入是广告费用的函数．下面是该公司近8个月的月销售收入与广告费用数据，试分析其月销售收入与电视广告费用、月销售收入与报纸广告费用之间的相关关系．
题型4　相关系数与向量夹角
例4　用向量夹角分析例3中月销售收入与电视广告费用、月销售收入与报纸广告费用之间的相关关系．
4．1　成对数据的统计相关性
课前预习
[教材要点]
要点一
2．直线
5．(1)正相关　负相关　(3)越低　
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：A、D是函数关系；B是不相关关系；C是相关关系，故选C.
答案：C
3．解析：变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.983 2，|r|＝0.983 2，接近1，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，
∴变量y与x之间有较强的线性相关关系，故选B.
答案：B
4．解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
答案：②③
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)散点图如图所示：
(2)由散点图可知，所有散点接近一条直线排列，
所以利润额与销售额是线性相关关系，
由图可知当销售额增加时，利润额呈现增加的趋势，所以是正相关．
巩固训练1　解析：(1)散点图如图所示．
(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系．
例2　解析：由题意知，＝＝7,
＝＝7，
样本相关系数r＝＝≈0.857>0.8.
故可认为y与x有较强的线性相关关系．
巩固训练2　解析：＝(26＋56＋39＋49＋61＋53＋27＋58＋41＋60)＝47，
＝(14.5＋31.4＋21.2＋26.3＋34.6＋29.6＋17.8＋33.5＋25.9＋35.2)＝27，
r＝
＝
＝，
因为≈6.56，≈54.18，
所以r＝≈0.98，
由样本相关系数r≈0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．
例3　解析：由题意可得＝ 2＝[(96－93.75)2＋(90－93.75)2＋…＋(94－93.75)2]≈3.188，
＝2＝[(5－3.187 5)2＋(2－3.187 5)2＋…＋(3－3.187 5)2]≈0.809，
＝ 2＝[(1.5－2.475)2＋(2－2.475)2＋…＋(2.5－2.475)2]≈0.727，
sxy＝＝(96×5＋90×2＋…＋94×3)－93.75×3.187 5≈1.297，
sxz＝＝(96×1.5＋90×2＋…＋94×2.5)－93.75×2.475≈－0.031，
所以rxy＝＝≈0.808，
rxz＝＝≈－0.020.
上述结果表明月销售收入与电视广告费用之间正相关程度高，月销售收入与报纸广告费用之间呈负相关关系．
例4　解析：由于≈93.75，≈3.187 5，≈2.475，将例3表中的三组数据分别减去.
记x＝(x1－，x2－，…，x8－)，y＝(y1－，y2－，…，y8－)，z＝(z1－，z2－，…，z8－)．
则可得
x＝(2.25，－3.75，1.25，－1.75，1.25，0.25，0.25，0.25)，
y＝(1.812 5，－1.187 5，0.812 5，－0.687 5，－0.187 5，0.312 5，－0.687 5，－0.187 5)，
z＝(－0.975，－0.475，－0.975，0.025，0.825，－0.175，1.725，0.025)，
于是有cos 〈x，y〉
＝
≈0.808，
cos 〈x，z〉
＝
≈－0.021.
由此可以看出，月销售收入与电视广告费用的余弦值较大，说明这两组数据正相关程度高；月销售收入与报纸广告费用的余弦值为负数，说明这两组数据呈负相关关系，且负相关程度较低．

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