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4．2.1　回归直线方程
学习目标
(1)通过实例，掌握具有线性相关关系的两个变量，求其回归直线方程．(2)了解最小二乘法原
理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．
课前预习
要点一　回归分析
找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这条直线叫作
________，这条直线的方程叫作____________．由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析．
如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y＝a＋bx来近似刻画，则称它为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数．
要点二　一元线性回归模型
当自变量x取值xi(i＝1，2，…，n)时，将根据回归直线方程估计出的i与实际观测值yi的误
差，即yi－i＝yi－(＋xi)(i＝1，2，…，n)，称为随机误差，记作ei.把yi＝＋xi＋ei(i＝1，
2，…，n)，这一描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误差ei的方程称为一元线性回归模型．
要点三　最小二乘法
用随机误差的平方和即Q＝(yi－xi)2作为总随机误差来刻画各估计值与实际值之间的误差．若总随机误差最小，则这条直线就是所要求的回归直线．由于平方又叫二乘方，所以这种使“随机误差平方和最小”的方法叫作最小二乘法．用最小二乘法求出的，的计算公式为：
此时，用最小二乘法得到的回归直线方程为yi＝＋x ，其中是回归直线在y轴上的截距，是回归直线的斜率
基 础 自 测　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)线性回归方程适用于一切样本和总体．(　　)
(2)样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围．(　　)
(3)回归直线方程得到的预测值是预测变量的精确值．(　　)
2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是(　　)
A．＝－10x＋200 B．＝10x＋200
C．＝－10x－200 D．＝10x－200
3．根据如下样本数据，得到回归直线方程为＝＋x，则(　　)
A.>0，>0 B．>0，<0
C.<0，>0 D．<0，<0
4．已知x与y之间的一组数据，则y与x的回归直线方程＝x＋必过点________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　求回归直线方程
例1　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
相关公式：
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程：＝x＋.
方法归纳
求回归直线方程的基本步骤
巩固训练1　对于数据组：
x 2 3 4 5
y 1.9 4.1 6.1 7.9
(1)作散点图，你能直观上得到什么结论？
(2)求回归直线方程．
参考公式：＝＝.
题型2　回归分析
例2　甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与误差平方和(yi－i)如下表：
哪位同学的试验结果拟合A，B两变量关系的精度高？(　　)
A.甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁
方法归纳
根据线性相关的知识可知，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持随机误差的平方和越小，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好．
巩固训练2　根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散点图分析x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为y＝－0.42x＋12，则在样本点(10，8.2)处的随机误差为
(　　)
A．8.2 B．0.4 C．7.8 D．0.42
4．2.1　回归直线方程
课前预习
要点一
回归直线　回归直线方程
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：∵y与x负相关，∴排除B，D，又∵C项中x>0时，<0不合题意，∴C错．故选A.
答案：A
3．解析：根据表中数据可知，随着x的增加y减小，故y与x是负相关，故回归直线斜率为负，故<0；再结合散点图以及直线的性质，根据x＝4，5，6，7时y均为正可知回归直线当x＝0时与y轴截距为正，故>0.故选B.
答案：B
4．解析：由数据可知：＝＝6；＝＝4，故线性回归方程必过点(6，4)．
答案：(6，4)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)依题意可得散点图如图所示：
(2)＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，＝＝4－0.7×9＝－2.3，
故回归直线方程为＝0.7x－2.3.
巩固训练1　解析：(1)
由图知：两个变量呈线性关系且正相关．
(2)由数据知：＝＝3.5，
＝＝5，
＝2×1.9＋3×4.1＋4×6.1＋5×7.9＝80，＝54，
所以＝＝＝2，令y＝x＋，则＝5－2×3.5＝－2，
综上，回归直线方程为y＝2x－2.
例2　解析：根据线性相关的知识可知，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持误差平方和越小，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好．因此，由试验结果知，丁精确度高一些．故选D.
答案：D
巩固训练2　解析：在回归直线方程y＝－0.42x＋12中，当x＝10时，y＝7.8，所以在样本点(10，8.2)处的随机误差为8.2－7.8＝0.4.故选B.
答案：B

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