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3．2.3　离散型随机变量的数学期望
学习目标
(1)通过实例，理解离散型随机变量的数学期望(均值)．(2)能计算简单离散型随机变量的数学期望(均值)．
课前预习
要点一　离散型随机变量的数学期望(均值)
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)＝______________为X的数学期望或均值.
要点二　几类特殊分布的均值
要点三　离散型随机变量的数学期望的性质
对于离散型随机变量X，若Y＝aX＋b，a，b为常数，则E(Y)＝aE(X)＋b.
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　)
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．(　　)
(3)随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同.(　　)
2．若随机变量X的分布列为
则E(X)＝(　　)
A.0 B．－1
C.－ D．－
3．若随机变量X～B(6，)，则数学期望E(X)＝(　　)
A.6 B．3
C. D．
4．已知随机变量ξ的期望为15，则E(3ξ＋5)＝________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　离散型随机变量的期望
例1　甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获胜概率是.记X表示比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列与期望．
方法归纳
求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤
巩固训练1　为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6.乘坐公共交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的，(小李上下班各计一次单程)．
(1)求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；
(2)求X的分布和数学期望E(X)．
题型2　几个常用分布的数学期望
例2　某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．求乙正确完成面试题数η的分布列及其期望．
方法归纳
求二项分布与超几何分布的数学期望的方法
巩固训练2　一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个．若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为ξ，则随机变量ξ的期望为________．
题型3　离散型随机变量数学期望的性质
例3　某城市出租车的起步价为10元，即行驶路程不超出4 km时，费用为10元；若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部分按1 km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km，某司机经常驾车在民航机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5 min按1 km路程计费，不足5 min的部分不计费)，这个司机在一次接送旅客的转换后的行车路程ξ是一个随机变量，设他所收费用η.
(1)求费用η关于行车路程ξ的关系式；
(2)若随机变量ξ的分布列为
求所收费用η的数学期望．
方法归纳
利用离散型随机变量的性质求数学期望的策略
1．若题目给出随机变量Y与X的关系Y＝aX＋b，a，b为常数，直接利用E(Y)＝aE(X)＋b求解
2．若题目未给出随机变量Y与X的关系，可根据题意列出Y与X的关系Y＝aX＋b，再利用E(Y)＝aE(X)＋b求解
巩固训练3　已知随机变量X的分布列为
若Y＝2X－3，求E(Y)．
3．2.3　离散型随机变量的数学期望
课前预习
[教材要点]
要点一
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
要点二
p　np　
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：E(X)＝(－1)×.
答案：C
3．解析：随机变量X～B，则数学期望E(X)＝6×＝3.
答案：B
4．解析：因为随机变量ξ的期望为15，
所以E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×15＋5＝50.
答案：50
题型探究·课堂解透
例1　解析：由题可知，X的可能取值为2，3，4，5，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝；
所以X的分布列为
数学期望E(X)＝2×.
巩固训练1　解析：(1)在一个工作日内上下班出行费用为4元，即乘坐公共交通和骑共享单车各一次，
故其概率为P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48.
(2)依题意，X可能的取值是2，4，6，
P(X＝2)＝0.6×0.6＝0.36；
P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48；
P(X＝6)＝0.4×0.4＝0.16.
因此X的分布列为
X 2 4 6
P 0.36 0.48 0.16
由此可知，X的数学期望为E(X)＝2×0.36＋4×0.48＋6×0.16＝3.6.
例2　解析：设乙正确完成面试的题数为η，则η取值范围是{0，1，2，3}．
P(η＝0)＝3＝，
P(η＝1)＝1×2＝，
P(η＝2)＝2×＝，
P(η＝3)＝3＝.
应聘者乙正确完成题数η的分布列为
方法一　∴E(η)＝0×＝2.
方法二　∵η～B
∴E(η)＝3×＝2
巩固训练2　解析：方法一　由题知，ξ的所有取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.
所以随机变量ξ的期望为E(ξ)＝0×＝1.
方法二　由题意知ξ～H(6，2，3)，所以E(ξ)＝＝1.
答案：1
例3　解析：(1)由题意，得η＝10＋2(ξ－4)，
即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N*.
(2)由ξ的分布列，得E(ξ)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.
因为η＝2ξ＋2，
所以E(η)＝2E(ξ)＋2＝2×16.4＋2＝34.8.
故所收费用η的数学期望为34.8元．
巩固训练3　解析：E(X)＝(－2)×＋(－1)×.
由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得
E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.

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