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3．2.4　离散型随机变量的方差
学习目标
(1)会根据离散型随机变量的分布列求方差与标准差．(2)会运用数学期望与方差的计算公式解决实际问题．
课前预习
要点一　方差
设离散型随机变量X的分布列为
由数学期望的公式可知D(X)＝E{[X－E(X)]2}＝______________．
则称D(X)为随机变量X的方差，并称 为X的标准差.通常还用σ2表示方差D(X)，用σ表示标准差.
要点二　几个特殊分布的期望与方差
要点三　几个常用公式
若Y＝aX＋b，a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝________，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(X＋b)＝D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X)
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．(　　)
(2)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　)
(3)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的．(　　)
2．已知随机变量ξ的分布列如下表，则D(ξ)＝(　　)
A.0.95 B．3.2
C.0.7 D．3.56
3．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为(　　)
A.0.25；0.5 B．0.5；0.75
C.0.5；0.25 D．1；0.75
4．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差σ(X)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　方差、标准差的概念及性质
例1　已知X的分布列如表：
(1)计算X的方差及标准差；
(2)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
方法归纳
对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
巩固训练1　已知η的分布列为
(1)求η的方差及标准差；
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
题型2　几类特殊的分布
例2　已知某运动员投篮命中率P＝0.6.
(1)求一次投篮中命中次数X的期望与方差；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的期望与方差．
方法归纳
求几类特殊分布的方差的步骤
巩固训练2　甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出此密码的概率均为0.25.设随机变量X表示译出密码的人数，求期望，方差和标准差．
题型3　方差的实际应用问题
例3　为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．
方法归纳
利用期望与方差的意义分析解决实际问题的策略
巩固训练3　有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲：
乙：
试分析两名学生的成绩水平．
3．2.4　离散型随机变量的方差
课前预习
[教材要点]
要点一
(x1－E(x))2p1＋(x2－E(x))2p2＋…＋(xn－E(x))2pn
要点二
p(1－p)　 np(1－p)
要点三
(1)0
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：由题意，得E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.
答案：D
3．解析：E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.
答案：C
4．解析：ξ的标准差σ(X)＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：由分布列的性质，知＋a＝1，故a＝.
所以X的均值E(X)＝(－1)×.
(1)X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×，
.
(2)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
巩固训练1　解析：(1)∵E(η)＝0×＝16，
∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴.
(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))
＝22D(η)＝4×384＝1 536.
例2　解析：(1)方法一　投篮一次命中次数X的分布列为
X 0 1
P 0.4 0.6
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
方法二　X服从两点分布，
∴E(X)＝p＝0.6，D(X)＝p(1－p)＝0.24.
(2)由题意可知，重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．
故由二项分布期望与方差的计算公式有
E(Y)＝5×0.6＝3，D(Y)＝5×0.6×0.4＝1.2.
巩固训练2　解析：依题意X～B，
所以E(X)＝3×，D(X)＝3×，
标准差为.
例3　解析：(1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋a＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
因为E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．
又因为D(ξ)所以甲的射击技术好，故应选甲．
巩固训练3　解析：因为E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，
D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，
E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，
D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，
即E(X)＝E(Y)，D(X)所以甲与乙的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲的学习成绩较稳定．

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