资源简介 3.2.4 离散型随机变量的方差学习目标(1)会根据离散型随机变量的分布列求方差与标准差.(2)会运用数学期望与方差的计算公式解决实际问题.课前预习要点一 方差设离散型随机变量X的分布列为由数学期望的公式可知D(X)=E{[X-E(X)]2}=______________.则称D(X)为随机变量X的方差,并称 为X的标准差.通常还用σ2表示方差D(X),用σ表示标准差.要点二 几个特殊分布的期望与方差要点三 几个常用公式若Y=aX+b,a,b是常数,X是随机变量,则(1)E(k)=k,D(k)=________,其中k为常数;(2)E(aX+b)=aE(X)+b,D(X+b)=D(X),D(aX+b)=a2D(X)基 础 自 测1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平.( )(2)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.( )(3)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的.( )2.已知随机变量ξ的分布列如下表,则D(ξ)=( )A.0.95 B.3.2C.0.7 D.3.563.若随机变量X服从两点分布,且在一次试验中事件A发生的概率P=0.5,则E(X)和D(X)分别为( )A.0.25;0.5 B.0.5;0.75C.0.5;0.25 D.1;0.754.已知随机变量ξ,D(ξ)=,则ξ的标准差σ(X)=________.题型探究·课堂解透——强化创新性题型1 方差、标准差的概念及性质例1 已知X的分布列如表:(1)计算X的方差及标准差;(2)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.方法归纳对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意性质的应用,如D(aξ+b)=a2D(ξ).这样处理既避免了求随机变量η=aξ+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程.巩固训练1 已知η的分布列为(1)求η的方差及标准差;(2)设Y=2η-E(η),求D(Y).题型2 几类特殊的分布例2 已知某运动员投篮命中率P=0.6.(1)求一次投篮中命中次数X的期望与方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的期望与方差.方法归纳求几类特殊分布的方差的步骤巩固训练2 甲、乙、丙3人独立地破译某个密码,每人译出此密码的概率均为0.25.设随机变量X表示译出密码的人数,求期望,方差和标准差.题型3 方差的实际应用问题例3 为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ,η,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,a,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.方法归纳利用期望与方差的意义分析解决实际问题的策略巩固训练3 有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示:甲:乙:试分析两名学生的成绩水平.3.2.4 离散型随机变量的方差课前预习[教材要点]要点一(x1-E(x))2p1+(x2-E(x))2p2+…+(xn-E(x))2pn要点二p(1-p) np(1-p)要点三(1)0[基础自测]1.(1)× (2)× (3)×2.解析:由题意,得E(ξ)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,∴D(ξ)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56.答案:D3.解析:E(X)=0.5,D(X)=0.5×(1-0.5)=0.25.答案:C4.解析:ξ的标准差σ(X)==.答案:题型探究·课堂解透例1 解析:由分布列的性质,知+a=1,故a=.所以X的均值E(X)=(-1)×.(1)X的方差D(X)=2×+2×+2×,.(2)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.巩固训练1 解析:(1)∵E(η)=0×=16,∴D(η)=(0-16)2×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2×+(60-16)2×=384,∴.(2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1 536.例2 解析:(1)方法一 投篮一次命中次数X的分布列为X 0 1P 0.4 0.6则E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6,D(X)=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.方法二 X服从两点分布,∴E(X)=p=0.6,D(X)=p(1-p)=0.24.(2)由题意可知,重复5次投篮,命中次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6).故由二项分布期望与方差的计算公式有E(Y)=5×0.6=3,D(Y)=5×0.6×0.4=1.2.巩固训练2 解析:依题意X~B,所以E(X)=3×,D(X)=3×,标准差为.例3 解析:(1)依据题意知,0.5+3a+a+a=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分别为ξ 10 9 8 7P 0.5 0.3 0.1 0.1η 10 9 8 7P 0.3 0.3 0.2 0.2(2)结合(1)中ξ,η的分布列,可得:E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.因为E(ξ)>E(η),说明甲平均射中的环数比乙高.又因为D(ξ)所以甲的射击技术好,故应选甲.巩固训练3 解析:因为E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,即E(X)=E(Y),D(X)所以甲与乙的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲的学习成绩较稳定. 展开更多...... 收起↑ 资源预览