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3．3　正态分布
学习目标
(1)通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例，借助频率直方图了解正态分布的特征．(2)了解正态分布的均值、方差及其含义．
课前预习
要点一　正态曲线与正态分布
函数p(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0，μ∈R)为参数，p(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.此时我们称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～________．
要点二　正态分布密度曲线的特点
1．曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
2．曲线是单峰的，它关于直线________对称；
3．p(x)在________处达到最大值；
4．当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
5．σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡；
6．曲线与x轴之间所夹区域的面积等于________．
要点三　正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________， D(X)＝________．
要点四　正态变量在三个特殊区间内取值的概率
1．P(μ－σ2．P(μ－2σ3．P(μ－3σ基 础 自 测　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　)
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　)
(3)正态曲线可以关于y轴对称．(　　)
2．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，则P(X<4)等于(　　)
A． B．
C． D．
3．如图是三个正态分布X～N(0，0.64)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为(　　)
A．①②③ B．③②①
C．②③① D．①③②
4．已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X<－1)＝P(X>5)，则μ＝________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　正态曲线的应用
例1　已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式；
(2)求出总体随机变量的期望与方差．
方法归纳
正态密度函数解析式的求法
利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．
巩固训练1　(多选)某市高二期末质量检测中， 甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图所示曲线可得下列说法中正确的项是(　　)
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数相同
题型2　正态分布的概率计算
例2　设X～N(1，22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；
(2)P(3＜X≤5)．
方法归纳
正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
巩固训练2　在某次测验中，测验结果ξ服从正态分布N(80，σ2)．若P(ξ>90)＝0.2，则P(70<ξ<90)＝________．
题型2　正态分布在实际生活中的应用
例3　某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)：
97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.
(1)求μ与σ；
(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．
①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87 cm的个数为X，求E(4X＋3)；
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86，95，103，109，118.以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试？说明理由．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，0.997 34≈0.99.
方法归纳
正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
巩固训练3　在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名．
(1)试问此次参赛的学生总数约为多少？
(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？
附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.
3．3　正态分布
课前预习
要点一
N(μ，σ2)
要点二
2．x＝μ
3．x＝μ
6．1
要点三
μ　σ2
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：因为X～N(4，σ2)，所以直线X＝4为正态分布的对称轴，所以P(X<4)＝.
答案：D
3．解析：由题意，得σ(X)＝0.8，σ(Y)＝1，σ(Z)＝2，
因为当σ较小时，峰值高，正态曲线尖陡，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，
所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为①，②，③.
答案：A
4．解析：因为P(X<－1)＝P(X>5)，故μ＝＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝8 000对称，最大值为，
所以μ＝8 000，
由，解得σ＝500，
所以概率密度函数的解析式为P(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，
(2)则总体随机变量的均值为8 000，方差为250 000.
巩固训练1　解析：由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知σ越大， 正态曲线越扁平；σ越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
答案：AD
例2　解析：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)
＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]
≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
巩固训练2　解析：因为ξ服从正态分布N(80，σ2)，所以P(ξ<80)＝0.5，
所以P(70<ξ<90)＝2[P(ξ<90)－P(ξ<80)]
＝2[1－P(ξ>90)－P(ξ<80)]
＝2(1－0.2－0.5)
＝0.6.
答案：0.6
例3　解析：(1)μ＝(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，σ2＝(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ＝6.
(2)①∵Z服从正态分布N(105，36)，
∴P(Z<87)＝P(Z<μ－3σ)≈0.5－＝0.001 35，则X～B(5，0.001 35)，
∴E(4X＋3)＝4E(X)＋3＝4×5×0.001 35＋3＝3.027.
②∵Z服从正态分布N(105，36)，
∴P(87≤Z≤123)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3，
∴5个零件中恰有一个内径不在[μ－3σ，μ＋3σ]的概率为×(1－0.997 3)＝0.013 355，
∵86 [87，123]，∴试生产的5个零件就出现了1个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内，
出现的频率是0.013 355的15倍左右，根据3σ原则，需要进一步调试．
巩固训练3　解析：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10，则
P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(5016÷0.022 5≈711(人)．
因此，此次参赛学生的总数约为711.
(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60得711×0.158 5≈113(人)．
因此，此次竞赛获奖励的学生约为113人．

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