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2．1.2　空间两点间的距离
学习目标
(1)借助特殊长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离．
(2)会用空间两点间的距离公式求空间中两点间的距离
课前预习
教 材 要 点
要点　空间两点间的距离
空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，则A、B两点间的距离为|AB|＝____________．
特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|＝____________．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．(　　)
(2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．(　　)
(3)将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．(　　)
2．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和点B(2，－1，6)的距离是(　　)
A.2 B．2
C．9 D．
3．已知空间直角坐标系O xyz中的点A(1，－2，3)关于yOz平面的对称点为B，则|AB|为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．以上都不对
4．已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
题型探究
题型1　求空间两点间的距离
例1　如图，在棱长分别为2，4，3的长方体ABCD A1B1C1D1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长．
方法归纳
求空间两点间的距离的方法
巩固训练1　已知A(3，2，1)，B(1，0，5)，求线段AB的中点M到原点的距离．
题型2　利用距离公式求空间点的坐标
例2　设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离等于它到点P2(0，1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．
方法归纳
由空间两点之间的距离求点的坐标的方法
巩固训练2　在空间直角坐标系O xyz中，若y轴上点M到两点P(1，0，2)，Q(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标为(　　)
A．(0，1，0) B．(0，－1，0)
C．(0，0，3) D．(0，0，－3)
题型3　空间两点间距离公式的应用
例3　已知空间直角坐标系O xyz中一点M(2，－1，3)，N是xOy平面内直线l：2x＋y－1＝0上的一个动点，求M，N两点的最短距离．
方法归纳
利用空间两点间距离公式解题的类型
巩固训练3　已知三点A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，则(　　)
A．△ABC是等腰三角形
B．△ABC是直角三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．三点构不成三角形
2．1.2　空间两点间的距离
课前预习
[教材要点]
要点
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：|AB|＝.
答案：D
3．解析：空间直角坐标系O－xyz中的点A(1，－2，3)关于yOz平面的对称点为B(－1，－2，3)，所以|AB|＝2.
答案：A
4．解析：设点P(0，0，z)．则由|PA|＝|PB|，
得
＝，解得z＝6，即点P的坐标是(0，0，6)．
答案：(0，0，6)
题型探究·课堂解透
例1　解析：
以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，
∴|AD1|＝，
|AB1|＝＝5，
|AC1|＝.
巩固训练1　解析：依题意，得点M的坐标为，即M(2，1，3)，
所以|MO|＝.
即点M到原点的距离为.
例2　解析：因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x，0，0)，
因为|PP1|＝2|PP2|，
所以＝
2，
解x＝±1，所以P点坐标为(1，0，0)或(－1，0，0)．
巩固训练2　解析：由M在y轴上，不妨设M为(0，y，0)，
由|PM|＝，解得 y＝－1，
∴M(0，－1，0)．
答案：B
例3　解析：N是xOy平面内直线l：2x＋y－1＝0上的一个动点，所以可设点N(m，－2m＋1，0)，
由空间两点之间的距离公式，得
|MN|＝
＝，
令 t＝5m2－12m＋17＝52＋，
当m＝时，t的最小值为，
所以当m＝时，，即M，N两点的最短距离为.
巩固训练3　解析：因为|AB|2＝49，|BC|2＝98，|CA|2＝49，所以|AB|2＋|CA|2＝|BC|2，且|AB|＝|CA|，所以这三点构成等腰直角三角形．
答案：C

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