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2．2　空间向量及其运算
(1)理解空间向量的概念，掌握其表示方法．(2)会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律．(3)掌握空间向量的数乘运算律．(4)掌握共线向量定理．(5)掌握两个向量的数量积的计算及其应用．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　空间向量
1．空间向量的概念
定义 把空间中既有________又有________的量称为空间向量 ．
长度 向量的________叫作向量的长度或________．
表示法 ①几何表示法：空间向量用________表示． ②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||.
2.几类特殊向量
相等向量 方向________且长度________的向量．
相反向量 方向________、长度________的向量．
零向量 长度为零的向量．
单位向量 长度为________的向量．
共线向量(平行向量) 对于空间任意两个向量a、b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作________．
要点二　空间向量的加减与数乘运算
要点三　空间向量的数量积
1.空间向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角 ，记作________，其取值范围为[0，π].
2．空间向量的数量积
定义a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉 为a与b的数量积．
3．性质
a·b＝0 ________，a·a＝________，|a|＝________，cos 〈a，b〉＝________．
4．运算律
λ(a·b)＝________，a·b＝________(交换律)，a·(b＋c)＝________(分配律)．
5．投影向量
如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得＝a，＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则________为在方向上的投影向量，投影向量的模________＝|||cos α|称为投影长，称________为在方向上的投影，其正负表示与方向相同还是相反．
批注 　空间向量在空间中是可以任意平移的．
批注 　类比平面向量记忆．
批注 　当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则：n个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即＝．
批注 　注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λ＝；当λ≠0时，若＝，则λ＝．
批注 　关键是起点相同！
批注 　(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量．
(2)零向量与任意向量的数量积等于零．
批注 　特别提醒：不满足结合律(　·)　·＝·(·)．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．(　　)
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　)
2．下列说法正确的是(　　)
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D．不相等的两个空间向量的模可能相等
3．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(　　)
A．与 B．与
C．与 D．与
4．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　空间向量的线性运算
例1　(1)(多选)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
－－
B.
C.
D.
(2)如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；②．
方法归纳
空间向量线性运算的3个技巧
巩固训练1　
如图所示，在平行六面体中，O为AC的中点．
(1)化简：－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝，试求实数x，y，z的值．
题型2　共线向量的应用
例2　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝，F在对角线A1C上，且＝，求证：E，F，B三点共线.
方法归纳
证明空间三点共线的三种思路
巩固训练2　如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝＝.求证：四边形EFGH是梯形．
题型3　空间向量数量积的运算
例3　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
方法归纳
计算空间向量数量积的2种方法
巩固训练3　如图，正方体ABCD A1B1C1D1的边长为1，求：
；
；
．
题型4　空间向量数量积的应用
例4　已知平行六面体ABCD A′B′C′D′的各棱长均为1，且∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝.
(1)求证：AA′⊥BD；
(2)求对角线AC′的长．
方法归纳
利用向量数量积判断或证明垂直问题的策略
巩固训练4　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.
2．2　空间向量及其运算
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．大小　方向　大小　模　有向线段
2．相同　相等　相反　相等　1　b∥a
要点二
b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反
要点三
1．〈a，b〉
3．a⊥b　
4．(λa)·b　b·a　a·b＋a·c
5．cos α
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：对A，零向量的相反向量是本身，故A错；
对B，终点构成一个球面，故B错；
对C，向量不能比较大小，故C错；
对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确．
答案：D
3．解析：对于A，因为，所以与的夹角为45°，故A正确；
对于B，因为，所以与的夹角为135°，故B不正确；
对于C，因为，所以与的夹角为90°，故C不正确；
对于D，因为，所以与的夹角为180°，故D不正确．
答案：A
4．解析：＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A中，；
B中，；
C中，≠；
D中，≠.
(2)①∵点P是C1D1的中点，
∴．
②∵点N是BC的中点，
∴．
答案：(1)AB　(2)见解析
巩固训练1　解析：(1)＝.
(2)－，
∴x＝、y＝－、z＝－.
例2　证明：设＝c.
∵，
∴.
∴＝＝．
∴.
又－c，
∴，所以E，F，B三点共线．
巩固训练2　证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴.
则＝.
∵＝，
∴∥且＝.
又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．
例3　解析：(1)〉＝cos 60°＝.
(2)2＝.
(3)〉＝cos 120°＝－.
(4)·＝＝〉－〉＝cos 60°－cos 60°＝0.
巩固训练3　解析：(1)∵⊥，∴＝0.
(2)＝cos 45°＝1.
(3)＝〉
＝＝－1.
例4　解析：
(1)证明：由题意，平行六面体ABCD －A′B′C′D′的各棱长均为1，∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝，
因为，
所以·＝＝cos ∠A′AB＝1×1×＝0，
所以AA′⊥BD.
(2)因为，
所以2＝2＝＋2
＝12＋12＋12＋2＝6.
所以＝.
巩固训练4　证明：设正方体的棱长为a，
∵＝·
＝
＝a2＝0，
∴A1G⊥DF.
同理可证A1G⊥DE，又DF∩DE＝D，
∴A1G⊥平面DEF.

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