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2．3.1　空间向量的分解与坐标表示
(1)理解共面向量定理及推论．(2)了解空间向量基本定理及其意义．(3)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
批注 　两个向量不共线是共面向量充要条件的前提，若共线，则不成立．
批注 　由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是．
批注 　一个基是指一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
批注 　一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标．
批注 　相等向量在同一轴上的投影相等．
要点一　共面向量
1．定义：能平移到____________的向量叫作共面向量．
2．共面向量的充要条件：如果两个向量e1，e2不共线 ，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序是数组(x，y)，使得________．
要点二　空间向量基本定理
设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量 ，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝________．上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.把________称为空间的一组基，________叫作基向量 .(x，y，z)称为向量p＝xe1＋ye2＋ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标．
要点三　空间向量的直角坐标表示
1．标准正交基
空间任意三个________、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基．
2.空间向量的坐标表示
在空间中任意取一点O为原点，分别以标准正交基{i，j，k}中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk用从原点O出发的有向线段________表示，则有向线段的终点P对应于这个向量p.向量p＝在标准正交基{i，j，k}下的坐标________就是点P在这个直角坐标系中的坐标．
3．空间向量在坐标轴上的投影
向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在____________的坐标．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(　　)
(2)向量的坐标就是点A的坐标．(　　)
2．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一组基，则一定有(　　)
A．a与b共线 B．a与b同向
C．a与b反向 D．a与b共面
3．已知e1，e2，e3是空间直角坐标系O xyz中与x，y，z轴的正方向相同的单位向量，若＝－e1＋e2－e3，则B点的坐标为(　　)
A．(－1，1，1)
B．(－e1，e2，－e3)
C．(1，－1，－1)
D．(－1，1，－1)
4．设{i，j，k}是空间向量的一个标准正交基，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　向量共面
例1　已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
方法归纳
解决向量共面的策略
巩固训练1　已知空间向量a，b，c不共面，且p＝a＋b，q＝a＋c，r＝b－c，判断向量p，q，r是否共面，并说明理由．
题型2　空间向量基本定理的应用
例2　如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1.设＝a，＝＝c，以a，b，c为一组基，求A1C，在这组基下的坐标．
方法归纳
用一组基表示向量的步骤
巩固训练2　在空间四边形OABC中，已知点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a，＝b，＝c，以a、b、c为一组基，求在这组基下的坐标．
题型3　空间向量的直角坐标表示
例3　已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)向量的坐标；
(2)向量的坐标．
方法归纳
用坐标表示空间向量的步骤
巩固训练3　在正方体ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，的坐标．
2．3.1　空间向量的分解与坐标表示
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．同一平面内
2．p＝xe1＋ye2
要点二
xe1＋ye2＋ze3　{e1，e2，e3}　e1，e2，e3
要点三
1．两两垂直
2．　(x，y，z)
3．相应坐标轴上
[基础自测]
1．(1)×　(2)√
2．解析：由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．
答案：A
3．答案：D
4．答案：(3，2，－1)、(－2，4，2)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)∵，
∴＝＋，
∴，
∴向量共面．
(2)由(1)知向量共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
巩固训练1　解析：假设p，q，r共面，则存在实数λ，μ，使得p＝λq＋μr，
则a＋b＝λ(a＋c)＋μ(b－c)＝λa＋μb＋(λ－μ)c，
∵a，b，c不共面，∴，即，
故向量p，q，r共面．
例2　解析：连接AC，AC1.
＝＝＝a＋b－c.
＝＋＝)＝)＝(a＋b＋4c)．
＝＝＝)＝)＝)＝b＋(－a＋c)＝－a＋b＋c.
＝＝－＝－a＋a＋b＋c＝－a＋b＋c.
因此A1C，在基{a，b，c}下的坐标分别为(1，1，－1)，(－，1，)，(－)．
巩固训练2　解析：
如图所示：
＝＝＝)＝，
所以，＝＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
所以在这组基下的坐标为(－)．
例3　解析：(1)因为PA＝AD＝AB＝1，且PA，AD，AB两两垂直，
所以可设＝i，＝j，＝k.
因为＝＝＝)＝－(－)＝＝k＋j，
所以＝(0，)．
(2)因为＝＝－()＝＝－i＋j－k，
所以＝(－，－)．
巩固训练3　解析：如图所示建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(1，1，1)，B1(1，0，1)，
∴＝＝(1，0，1)，B1D＝(－1，1，－1)．

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