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2．3.2　空间向量运算的坐标表示
(1)了解空间向量线性运算的坐标表示．(2)掌握空间向量的数量积的坐标表示．(3)掌握空间向量的模、夹角公式和两向量垂直的判定方法．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　向量线性运算的坐标表示
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
a＋b＝________________________，
a－b＝________________________，
λa＝________________________________，
a∥b(b≠0) a＝λb (λ∈R)．
要点二　向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
a·b＝________________________，
|a|＝________________，
cos 〈a，b〉＝＝________________________，
a⊥b a·b＝0 ________________．
批注 　空间向量线性运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
批注 　若a→∥b→，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0.
批注 　空间向量数量积的坐标表示可以仿照平面向量数量积的坐标表示来记忆．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(　　)
(2)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．(　　)
(3)空间向量a＝(0，0，－1)为单位向量．(　　)
2．已知向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－1，2)，则a＋2b＝(　　)
A.3 B．(4，－1，1)
C．(5，1，－4) D．
3．与空间向量a＝(1，2，－3)平行的一个向量的坐标是(　　)
A．(2，－1，0) B．(1，2，3)
C．(－，－1，) D．(－1，－3，2)
4．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(b＋c)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　空间向量的坐标运算
例1　在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)．
(1)求顶点B，C的坐标；
(2)求·；
(3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标．
方法归纳
空间向量坐标运算的3类问题及解题方法
巩固训练1　已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________．
题型2　空间向量平行、垂直的坐标表示
例2　已知a＝(1，2，－1)，b＝(－2，4，2)．
(1)若a∥c，且|c|＝2，求c的坐标；
(2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值．
方法归纳
解答此类问题只需根据平行、垂直的条件建立方程(组)求解即可．
巩固训练2　已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)．
(1)若a∥b，求实数x，y的值；
(2)若a⊥b，且|b|＝，求实数x，y的值．
题型3　空间向量的夹角与长度的计算
例3　已知正三棱柱ABC A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
方法归纳
利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的步骤
巩固训练3　在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H是C1G的中点．
(1)求FH的长；
(2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值．
2．3.2　空间向量运算的坐标表示
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)　(x1－x2，y1－y2，z1－z2)　(λx1，λy1，λz1)，λ∈R
要点二
x1x2＋y1y2＋z1z2　　
　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)√
2．解析：a＋2b＝(2，1，－3)＋(2，－2，4)＝(4，－1，1)．
答案：B
3．解析：(－，－1，)＝－a.
答案：C
4．解析：因为b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，所以b＋c＝(2，0，3)＋(0，0，2)＝(2，0，5)，所以a·(b＋c)＝(2，－3，1)·(2，0，5)＝4＋5＝9.
答案：9
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以＝(x－2，y＋5，z－3)，
＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为＝(4，1，2)，
所以解得
所以点B的坐标为(6，－4，5)．
因为＝(3，－2，5)，
所以解得
所以点C的坐标为(9，－6，10)．
(2)因为＝(－7，1，－7)，＝(3，－2，5)，
所以·＝－21－2－35＝－58.
(3)设P(x2，y2，z2)，
则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，
＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
所以解得
故点P的坐标为(，－)．
巩固训练1　解析：a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3)．
∴(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
答案：－2　5
例2　解析：(1)因为|a|＝，a∥c，且|c|＝2，所以c＝2a或c＝－2a，
所以c＝(2，4，－2)或c＝(－2，－4，2)．
(2)因为ka＋b＝(k，2k，－k)＋(－2，4，2)＝(k－2，2k＋4，2－k)，
a－2b＝(1，2，－1)－(－4，8，4)＝(5，－6，－5)．
由(ka＋b)⊥(a－2b)，得(ka＋b)·(a－2b)＝0，
即5(k－2)－6(2k＋4)－5(2－k)＝0，解得k＝－22.
巩固训练2　解析：(1)由a∥b可得，存在实数λ使a＝λb，
即，解得λ＝，x＝6，y＝.
(2)若a⊥b，则6＋4x＋5y＝0　①，
由|b|＝，则9＋x2＋y2＝29　②，
两式联立解得或.
例3　解析：(1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝＝(－，1，b)．
因为AB1⊥BC1，所以＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝.
故侧棱长为.
(2)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，
因为|＝＝，
||＝＝2，
·＝(，1，)·(－，1，0)＝－()2＋1×1＝－2，
所以，〉＝＝＝.
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
巩固训练3　解析：
如图，建立空间直角坐标系D －xyz，
则有E(0，0，)，F(，0)，H(0，)，C1(0，1，1)，G(0，，0)，
(1)∵＝(－)，
∴||＝ ＝.
∴FH的长为.
(2)∵＝(，0)－(0，0，)＝(，－)，
＝(0，，0)－(0，1，1)＝(0，－，－1)．
∴||＝，||＝.
又·＝×0＋×(－1)＝，
∴|cos 〈，〉|＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.

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