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2．4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量
(1)了解空间直线的方向向量和平面的法向量的概念．(2)能通过空间向量的运算求出直线的方向向量和平面的法向量．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　直线的方向向量
1．一般地，如果非零向量v与直线l________，就称v为l的方向向量 .
2．已知空间直线l上一个________以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间直线的位置．
要点二　平面的法向量
1．如果非零向量n所在直线与平面α________，则称n为平面α的法向量 .
2．给定一点A和一个向量n，那么，过点A，且以向量n为法向量的平面是完全________的．
批注 　一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是互相平行的．
批注 　一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．
基 础 自 测　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量．(　　)
(2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　)
(3)若都是直线l的方向向量，则∥，所以AB∥CD.(　　)
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1，2，3)　 B．(1，3，2)
C．(2，1，3)　　 D．(3，2，1)
3．设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　)
A．(－1，－2，5)　 B．(－1，1，－1)
C．(1，1，1)　　 D．(1，－1，－1)
4．已知直线l1的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　直线的方向向量及其求法
例1　如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，BB1＝5，建立空间直角坐标系，分别求直线DA1与AC的方向向量．
方法归纳
求直线l的一个方向向量，只需在直线l上找两点A，B，则即为直线l的一个方向向量．
巩固训练1　如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，CB＝1，CA＝2，AA1＝，M是CC1的中点．
求直线BA1、AM的一个方向向量的坐标．
题型2　平面的法向量及其求法
例2　正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、 A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
(2)平面BDEF的一个法向量．
方法归纳
在空间直角坐标系下，求平面法向量的一般步骤
巩固训练2　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的一个法向量；
(2)求平面A1BC的一个法向量．
2．4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．平行　
2．定点A
要点二
1．垂直
2．确定
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)×
2．解析：＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．
答案：A
3．解析：∵(－1，1，－1)·(1，2，1)＝－1＋2－1＝0，
(－1，1，－1)·(－1，1，2)＝1＋1－2＝0，
∴向量(－1，1，－1)是此平面的法向量．
答案：B
4．解析：∵直线的方向向量平行，
∴＝＝，
∴x＝－20，y＝12.
答案：－20　12
题型探究·课堂解透
例1　
解析：以点D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，A1(4，0，5)，A(4，0，0)，C(0，3，0)，
故＝(4，0，5)，＝(－4，3，0)，
所以直线DA1与AC的方向向量分别为(4，0，5)，(－4，3，0)．
巩固训练1　
解析：以点B为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
所以B(0，0，0)、C(1，0，0)、A(0，，0)、A1(0，)、M(1，0，)
所以＝(0，)，＝(1，－)．
例2　解析：设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2)，
(1)设平面BDD1B1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，
∵＝＝(0，0，2)，
则，即，
令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0，
∴平面BDD1B1的一个法向量为n＝(1，－1，0)，
(2)＝(2，2，0)，＝(1，0，2)，
设平面BDEF的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)．
∴，
令x2＝2，得y2＝－2，z2＝－1，
∴平面BDEF的一个法向量为m＝(2，－2，－1)．
巩固训练2　解析：易知B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2)．
(1)＝＝(0，0，2)，设平面BCC1B1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则，
即，取x1＝y1＝1，z1＝0，则n＝(1，1，0)，
所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)；
(2)＝＝(－1，0，2)，
设平面A1BC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则，
即，取x2＝y2＝2，z2＝1，
则m＝(2，2，1)，
所以平面A1BC的一个法向量为m＝(2，2，1)．

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