资源简介

1．1.3　导数的几何意义
(1)能借助图象直观理解导数的几何意义．(2)会利用导数的几何意义求切线方程．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，即k＝________．
批注 　函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x轴．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率．(　　)
(2)直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点．(　　)
(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线．(　　)
2．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)＝(　　)
A.1 B．－
C． D．－1
3．已知函数y＝f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则f′(1)＝(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．不存在
4．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x＝x0处切线的倾斜角为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　导数的几何意义
例1　函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0方法归纳
曲线在某点处切线的斜率就是该点的导数值，此时该点既在曲线上又在切线上．
巩固训练1　如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)
A.－2
B．2
C．3
D．无法确定
题型2　在某点处的切线问题
例2　已知曲线C：y＝x3＋.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
方法归纳
求曲线在某点处的切线方程的一般步骤
巩固训练2　曲线f(x)＝x3－3x在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝kx＋b，则实数b＝(　　)
A．－16 B．16
C．－20 D．20
题型3　过某点的切线问题
例3　求过点(2，0)且与曲线y＝f(x)＝相切的直线方程．
方法归纳
求曲线y＝f(x)的切线方程时，一定要弄清楚是求某点处的切线方程，还是求过某点的切线方程．后者需要先设出切点坐标，求出切点坐标后，再利用直线的点斜式方程求解．
巩固训练3　求曲线y＝f(x)＝x2过点P(1，1)的切线方程．
1．1.3　导数的几何意义
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
f′(x0)
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：由图可知切线斜率为，∴f′(1)＝.
答案：C
3．解析：由切线方程y＝－x＋1知切线斜率k＝f′(1)＝－1.
答案：B
4．解析：设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，
又α∈[0，π)，所以α＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：如题图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，
f′(3)表示切线l3斜率k3>0，
又由平均变化率的定义，可得＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，
结合图象，可得0答案：C
巩固训练1　解析：由题图，f′(5)＝－1，且f(5)＝－5＋8＝3，
所以f(5)＋f′(5)＝2.
答案：B
例2　解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)．
在曲线上另取一点Q(2＋d，(2＋d)3＋)，
∵kPQ＝＝4＋2d＋d2，
当d→0时，kPQ→4，
所以切线的斜率为4，
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
巩固训练2　解析：因为
＝＝d2－6d＋9，
所以当d→0时，d2－6d＋9→9.
所以曲线f(x)＝x3－3x在点(－2，f(－2))处的切线的斜率为9.
又f(－2)＝(－2)3－3×(－2)＝－2，
所以在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝9x＋16.
故b＝16.
答案：B
例3　解析：设切点为Q(x0，y0)，
因为＝＝，
所以当d→0时，
则f′(x0)＝，又f(x0)＝，
所以切线方程为y－＝(x－x0)，
切线过点(2，0)，所以－＝(2－x0)，解得x0＝1，
所以切线方程是y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.
巩固训练3　解析：设切点为)，
因为＝＝2x0＋d，
所以当d→0时，2x0＋d→2x0，
所以f′(x0)＝2x0，
所以切线方程是＝2x0(x－x0)，
切线过点(1，1)，则＝2x0(1－x0)，解得x0＝1，
所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

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