资源简介

1．2.1　几个基本函数的导数
(1)能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的函数．(2)掌握一些基本初等函数的导数公式，并能运用它们求简单函数的导数．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　常见幂函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________
f(x)＝x f′(x)＝________
f(x)＝x2 f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
要点二　基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________
f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ex f′(x)＝________
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝ax ln a
f(x)＝ln x f′(x)＝________
f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝
批注 　是学习本章后面知识的基础．
批注 　(1)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用f(x)＝xα(α≠0)的导数公式解决．
(2)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)(sin )′＝cos .(　　)
(2)因为(ln x)′＝，所以()′＝ln x．(　　)
(3)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　)
2．f(x)＝，则f′(－2)＝(　　)
A.4 B．
C．－4 D．－
3．函数f(x)＝ex，则f′(0)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．e
4．设函数f(x)＝sin x，则f′(－)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝ ；
(3)y＝4x；
(4)y＝1－2sin2.
方法归纳
利用导数公式求函数的导数的策略
巩固训练1　若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则f′(x)－g′(x)＝________．
题型2　求函数在某点处的导数
例2　(1)求函数f(x)＝在(1，1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cosx在()处的导数．
方法归纳
求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤
巩固训练2　已知f(x)＝，且f′(1)＝－，求n.
题型3　利用导数公式解决与切线有关问题
例3　若函数f(x)＝ln x＋a(a>0)，函数g(x)＝ex.
(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与坐标轴围成的面积为，求实数a的值；
(2)若直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象都相切，求实数a的值．
方法归纳
利用导数的几何意义解决切线问题的两种类型
巩固训练3　已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
1．2.1　几个基本函数的导数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
0　1　2x　－
要点二
0　αxα－1　cos x　－sin x　ex　
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：f′(x)＝－，所以f′(－2)＝－＝－.
答案：D
3．解析：因为f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex，所以f′(0)＝e0＝1.
答案：B
4．解析：因为f(x)＝sin x，所以f′(x)＝cos x，
所以f′＝cos ＝cos ＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由y＝，得y＝x－3，
所以y′＝－3x－4＝－.
(2)由y＝，得y＝，
所以y′＝.
(3)由y＝4x，得y′＝4x ln 4＝2·4x ln 2＝22x＋1ln 2.
(4)因为y＝1－2sin2＝cosx，所以y′＝－sin x．
巩固训练1　解析：∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.
答案：3x2－
例2　解析：(1)f′(x)＝()′＝，∴f′(1)＝.
(2)f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，∴f′＝－sin ＝－.
巩固训练2　解析：由题设，f′(x)＝)′＝－·，
∴f′(1)＝－＝－＝－，可得n＝4.
例3　解析：(1)由已知f′(x)＝，则f′(1)＝1，又f(1)＝a，
所以函数f(x)在x＝1处的切线为y＝x＋a－1，
当x＝0时，y＝a－1，当y＝0时，x＝1－a，
则×|a－1|×|1－a|＝，
又a>0，解得a＝2.
(2)由已知f′(x)＝，g′(x)＝ex，
设直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则＝＝k，
所以x1＝，x2＝ln k，
可得直线y＝kx与函数f(x)＝ln x＋a的切点为(，1)，
直线y＝kx与函数g(x)＝ex的切点为(ln k，k ln k)，
∴，解得a＝2.
巩固训练3　解析：因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则y′|x＝＝2x0，
又因为直线PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于直线PQ，
所以k＝2x0＝1，即x0＝，
所以切点为M()．
所以所求的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.

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