资源简介

1．2.2　函数的和差积商求导法则
能准确利用导数的运算法则求函数的导数．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
批注 　可推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．
批注 　可推广到任意有限个可导函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)…w(x)]′＝u′(x)v(x)…w(x)＋u(x)v′(x)…w(x)＋…＋u(x)v(x)…w′(x)．
批注 　切记[]　′≠.
要点　导数的和差积商运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则
(1)(cf(x))′＝________；
(2)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x) ；
(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
(4)()′＝________；
(5)()′＝.
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　)
(2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．(　　)
(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.(　　)
2．函数f(x)＝x2＋sin x的导数f′(x)＝(　　)
A．2x＋cos x B．2x＋sin x
C．x＋cos x D．x－cos x
3．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　)
A．y′＝cos2x＋sin2x
B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cosx·sin x
D．y′＝cos x·sin x
4．函数f(x)＝x＋在x＝1处的导数是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　利用导数的加法与减法法则求导
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝2x3＋x2－x＋1；
(2)y＝x4＋cos x；
(3)y＝ex＋ln x．
方法归纳
熟记常见基本初等函数的求导公式是进行求导运算的前提．判断所给函数解析式的结构特点，选择正确的公式和运算法则．
巩固训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝x5＋x3；
(2)y＝5x－ln x；
(3)y＝log5x＋sin x．
题型2　利用导数的乘法与除法法则求导
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝；
(3)y＝ex cos x．
方法归纳
求函数导数的策略
对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式．当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
巩固训练2　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x2＋1)(x－)；
(2)f(x)＝.
题型3　利用导数运算法则解决与切线有关的问题
例3　已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．
(1)求f(1)＋f′(1)；
(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
方法归纳
解与切线有关问题的策略
巩固训练3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝ex sin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
1．2.2　函数的和差积商求导法则
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
(1)cf′(x)　(4)－
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：由f(x)＝x2＋sin x，可得f′(x)＝2x＋cos x.
答案：A
3．解析：y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.
答案：B
4．解析：因为f′(x)＝(x＋)′＝x′＋′＝1－，
所以f′(1)＝1－1＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)y′＝(2x3)′＋(x2)′－(x)′＋(1)′＝6x2＋2x－1.
(2)y′＝(x4)′＋(cosx)′＝4x3－sin x.
(3)y′＝(ex)′＋(ln x)′＝ex＋.
巩固训练1　解析：(1)y′＝′＋′＝x4＋2x2.
(2)y′＝(5x)′－(ln x)′＝5x ln 5－.
(3)y′＝(log5x)′＋(sin x)′＝＋cos x．
例2　解析：(1)y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝18x2＋4x－3.
(2)y′＝
＝
＝.
(3)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝ex(cos x－sin x)．
巩固训练2　解析：(1)f′(x)＝2x(x－)＋(x2＋1)(1＋)＝3x2＋.
(2)f′(x)＝＝.
例3　解析：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点．
令f′(x)＝0，即2ax＋＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，
所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
巩固训练3　解析：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b.
又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝ex sin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝ex sin x＋ex cos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又知g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)．即7x＋y－3＝0.

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