1.2.3 简单复合函数的求导 学案(含答案)

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1.2.3 简单复合函数的求导 学案(含答案)

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1.2.3 简单复合函数的求导
能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
课前预习教 材 要 点
要点一 复合函数的概念
一般地,设y=f(u)是关于u的函数,u=g(x)是关于x的函数,则y=f(g(x)) 是关于x的函数,称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.
要点二 复合函数的求导 法则
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=____________,即y对x的导数等于________________________________________.
批注  判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析,最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的,内层的中间变量结构也都是基本函数关系,这样一层一层地分析.
批注  关键在于:
(1)准确将复合函数分解成基本函数;
(2)正确运用复合函数的求导法则.
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)y=cos 3x由函数y=cos u,u=3x复合而成.(  )
(2)函数f(x)=sin (2x)的导数为f′(x)=cos 2x.(  )
(3)函数f(x)=e2x-1的导数为f′(x)=2e2x-1.(  )
2.函数y=cosnx可由(  )
A.y=un和u=cosxn复合而成
B.y=u和u=cosnx复合而成
C.y=un和u=cosx复合而成
D.y=cos u和u=xn复合而成
3.函数y=cos (-x)的导数是(  )
A.cos x B.-cos x
C.-sin x D.sin x
4.已知函数f(x)=e-x,则f′(-1)=________.
 题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 求复合函数的导数
例1 (1)y=;
(2)y=cos (x2);
(3)y=log2(2x+1);
(4)y=e3x+2.
方法归纳
复合函数求导的步骤
巩固训练1 求下列函数的导数.
(1)y=(4-3x)2;
(2)y=cos (2x-);
(3)y=ln (4x-1);
(4)y=.
题型2 复合函数导数的应用
例2 设f(x)=ln (x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y= f(x)与直线y=x在(0,0)点相切.求a,b的值.
方法归纳
解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法
正确求出复合函数的导数是前提,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.巩固训练2 求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4e-x+1-2在点M(1,-3)处的切线l平行的直线方程.
1.2.3 简单复合函数的求导
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
y′u·u′x y对u的导数与u对x的导数的乘积
[基础自测]
1.(1)√ (2)× (3)√
2.解析:y=cosnx,中间变量为u=cosx.
答案:C
3.解析:y′=-sin (-x)(-x)′=-sin x.
答案:C
4.解析:因为f′(x)=-e-x,所以f′(-1)=-e.
答案:-e
题型探究·课堂解透
例1 解析:(1)令u=1-3x,则y==u-4,
所以y′u=-4u-5,u′x=-3.
所以y′x=y′u·u′x=12u-5=.
(2)令u=x2,则y=cos u,
所以y′x=y′u·u′x=-sin u·2x=-2x sin (x2).
(3)设y=log2u,u=2x+1,
则y′x=y′uu′x==.
(4)设y=eu,u=3x+2,
则y′x=(eu)′·(3x+2)′=3eu=3e3x+2.
巩固训练1 解析:(1)y′=[(4-3x)2]′=2(4-3x)·(4-3x)′
=2(4-3x)·(-3)=18x-24.
(2)y′=[cos (2x-)]′=-sin (2x-)·(2x-)′=-2sin (2x-).
(3)y′=[ln (4x-1)]′=·(4x-1)′=.
(4)y′=)′=·(x2)′=.
例2 解析:由曲线y=f(x)过(0,0)点,
可得ln 1+1+b=0,故b=-1.
由f(x)=ln (x+1)++ax+b,
得f′(x)=+a,
则f′(0)=1++a=+a,
即为曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率.
由题意,得+a=,故a=0.
巩固训练2 解析:∵y′=(3x2-4e-x+1-2)′=6x+4e-x+1,
∴曲线在点M(1,-3)处的切线l的斜率为6+4=10,
过点P(-1,2)且与切线l平行的直线方程为y-2=10(x+1),即10x-y+12=0.

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