资源简介 1.2.3 简单复合函数的求导能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.课前预习教 材 要 点要点一 复合函数的概念一般地,设y=f(u)是关于u的函数,u=g(x)是关于x的函数,则y=f(g(x)) 是关于x的函数,称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.要点二 复合函数的求导 法则一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=____________,即y对x的导数等于________________________________________.批注 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析,最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的,内层的中间变量结构也都是基本函数关系,这样一层一层地分析.批注 关键在于:(1)准确将复合函数分解成基本函数;(2)正确运用复合函数的求导法则.基 础 自 测1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)y=cos 3x由函数y=cos u,u=3x复合而成.( )(2)函数f(x)=sin (2x)的导数为f′(x)=cos 2x.( )(3)函数f(x)=e2x-1的导数为f′(x)=2e2x-1.( )2.函数y=cosnx可由( )A.y=un和u=cosxn复合而成B.y=u和u=cosnx复合而成C.y=un和u=cosx复合而成D.y=cos u和u=xn复合而成3.函数y=cos (-x)的导数是( )A.cos x B.-cos xC.-sin x D.sin x4.已知函数f(x)=e-x,则f′(-1)=________. 题型探究·课堂解透——强化创新性题型1 求复合函数的导数例1 (1)y=;(2)y=cos (x2);(3)y=log2(2x+1);(4)y=e3x+2.方法归纳复合函数求导的步骤巩固训练1 求下列函数的导数.(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos (2x-);(3)y=ln (4x-1);(4)y=.题型2 复合函数导数的应用例2 设f(x)=ln (x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y= f(x)与直线y=x在(0,0)点相切.求a,b的值.方法归纳解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法正确求出复合函数的导数是前提,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.巩固训练2 求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4e-x+1-2在点M(1,-3)处的切线l平行的直线方程.1.2.3 简单复合函数的求导新知初探·课前预习[教材要点]要点二y′u·u′x y对u的导数与u对x的导数的乘积[基础自测]1.(1)√ (2)× (3)√2.解析:y=cosnx,中间变量为u=cosx.答案:C3.解析:y′=-sin (-x)(-x)′=-sin x.答案:C4.解析:因为f′(x)=-e-x,所以f′(-1)=-e.答案:-e题型探究·课堂解透例1 解析:(1)令u=1-3x,则y==u-4,所以y′u=-4u-5,u′x=-3.所以y′x=y′u·u′x=12u-5=.(2)令u=x2,则y=cos u,所以y′x=y′u·u′x=-sin u·2x=-2x sin (x2).(3)设y=log2u,u=2x+1,则y′x=y′uu′x==.(4)设y=eu,u=3x+2,则y′x=(eu)′·(3x+2)′=3eu=3e3x+2.巩固训练1 解析:(1)y′=[(4-3x)2]′=2(4-3x)·(4-3x)′=2(4-3x)·(-3)=18x-24.(2)y′=[cos (2x-)]′=-sin (2x-)·(2x-)′=-2sin (2x-).(3)y′=[ln (4x-1)]′=·(4x-1)′=.(4)y′=)′=·(x2)′=.例2 解析:由曲线y=f(x)过(0,0)点,可得ln 1+1+b=0,故b=-1.由f(x)=ln (x+1)++ax+b,得f′(x)=+a,则f′(0)=1++a=+a,即为曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率.由题意,得+a=,故a=0.巩固训练2 解析:∵y′=(3x2-4e-x+1-2)′=6x+4e-x+1,∴曲线在点M(1,-3)处的切线l的斜率为6+4=10,过点P(-1,2)且与切线l平行的直线方程为y-2=10(x+1),即10x-y+12=0. 展开更多...... 收起↑ 资源预览