资源简介

1．3.1　函数的单调性与导数
(1)了解导数与函数的单调性的关系．(2)掌握利用导数判断函数单调性的方法．(3)能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递____
f′(x)<0 单调递____
要点二　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 ____ 比较“________”(向上或向下)
越小 ____ 比较“________”(向上或向下)
批注 　f′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势．
批注 　f′(x)<0，即函数f(x)图象的切线斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　　)
(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　)
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　)
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　)
A.f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的符号不确定
3．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．不确定
4．函数f(x)＝的单调递减区间为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　单调性与导数的关系
例1　设函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　)
方法归纳
研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
巩固训练1　偶函数f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能为(　　)
题型2　利用导数求函数的单调区间
例2　求函数f(x)＝x2－ln x的单调区间．
方法归纳
求函数单调区间的步骤
巩固训练2　函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为________________．
题型3　已知函数的单调性求参数的范围
例3　(1)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________；
(2)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
方法归纳
利用导数求参数取值范围的两个策略
巩固训练3　已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
1．3.1　函数的单调性与导数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
增　减
要点二
快　陡峭　慢　平缓
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.
答案：B
3．解析：∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
答案：A
4．解析：易知f′(x)＝－，由f′(x)＜0得x＜0或x＞0，所以单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
答案：(－∞，0)，(0，＋∞)
题型探究·课堂解透
例1　解析：由函数f(x)的图象，知当x<0时，f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；当x>0时，f(x)先减，后增，最后减，所以f′(x)先负后正，最后为负．
答案：B
巩固训练1　解析：由题意可知，f′(x)为偶函数，设f′(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为－x1，x1，(x1>0)，由图象可得，当x<－x1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，故选项A错误，选项D错误；由f′(x)的图象可知，f′(x)在x＝0左右的函数值是变化的，不同的，而选项C中，f(x)的图象在x＝0左右是一条直线，其切线的斜率为定值，即导数f′(x)为定值，故选项C错误，选项B正确．
答案：B
例2　解析：函数f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍)．
f′(x)，f(x)随x的变化如表所示．
故函数f(x)＝x2－ln x的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)．
巩固训练2　解析：由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
解得－2－所以f(x)＝(x2＋2x)ex的单调递减区间为(－2－，－2＋)．
答案：(－2－，－2＋)
例3　解析：(1)由于f′(x)＝k－，则f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增等价于f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
(2)对函数f(x)求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)].
令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.
因为函数在区间(1，4)内为减函数，
所以当x∈(1，4)时，f′(x)≤0.
又函数在区间(6，＋∞)上为增函数，
所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，
所以4≤a－1≤6，
所以5≤a≤7.
即实数a的取值范围为[5，7].
答案：(1)[1，＋∞)　(2)见解析
巩固训练3　解析：由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.

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