1.3.2 函数的极值与导数 学案(含答案)

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1.3.2 函数的极值与导数 学案(含答案)

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1.3.2 函数的极值与导数
(1)借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
(2)能利用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 函数的极值与导数
要点二 函数的驻点与极值点
(1)若f′(c)=0,则________叫作函数f(x)的驻点.
(2)如果一个函数的导数在驻点的两侧________,则该驻点就是此函数的一个极值点.
批注  函数极值是一个局部的概念,是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的.
批注  极值点是函数定义域上的自变量的值,而函数定义域的端点绝不是函数的极值点.
批注  也就是说,若f′(c)存在,则f′(c)=0是f(x)在x=c处取到极值的必要条件,但不是充分条件.
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)导数为0的点一定是极值点.(  )
(2)函数的极大值一定大于极小值.(  )
(3)函数y=f(x)一定有极大值和极小值.(  )
2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(  )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则(  )
A.x=为f(x)的极大值点
B.x=-2为f(x)的极大值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=0为f(x)的极小值点
4.已知函数f(x)=x3-3x2+2,则函数f(x)的极大值为________.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 求函数的驻点、极值点和极值
例1 求下列函数的驻点、极值点、极值.
(1)y=(x2-1)3+1;
(2)f(x)=.
方法归纳
求函数驻点、极值点和极值的步骤
巩固训练1 求函数f(x)=-2的驻点、极值点和极值.
题型2 已知函数极值求参数
例2 (1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a=________,b=________.
(2)已知函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围.
方法归纳
已知函数极值求参数的方法
巩固训练2 (1)已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值,则a=________,b=________.
(2)已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.
题型3 函数极值的综合应用
例3 若对任意a∈[3,4],函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)在R上都有三个零点,求实数b的取值范围.
方法归纳
利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
巩固训练3 已知曲线f(x)=-x3+3x2+9x+a与x轴只有一个交点,求实数a的取值范围.
1.3.2 函数的极值与导数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
(1)x=c (2)变号
[基础自测]
1.(1)× (2)× (3)×
2.解析:由导函数f′(x)在区间(a,b)内的图象可知,
函数f′(x)在(a,b)内的图象与x轴有四个公共点,
在从左到右第一个点处导数左正右负,在从左到右第二个点处导数左负右正,
在从左到右第三个点处导数左正右正,在从左到右第四个点处导数左正右负,
所以函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有1个.
答案:A
3.解析:由f′(x)的图象可知,f(x)在(-∞,-2)和(,2)上单调递减,在(-2,)和(2,+∞)上单调递增,所以x=为f(x)的极大值点,x=-2和x=2为f(x)的极小值点,x=0不是函数的极值点.
答案:A
4.解析:∵f(x)=x3-3x2+2,
∴f′(x)=3x2-6x,
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=2.
所以当x=0时,函数f(x)取得极大值,即函数f(x)的极大值为f(0)=2.
答案:2
题型探究·课堂解透
例1 解析:(1)y′=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2.
令y′=0,解得x1=-1,x2=0,x3=1.
当x变化时,y′,y的变化情况如下表:
∴x=-1,x=0,x=1均为此函数的驻点.
x=0是此函数的极小值点,y有极小值且极小值为0.
(2)函数f(x)=的定义域为(0,+∞),
且f′(x)=.
令f′(x)=0,解得x=e.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
因此,x=e是函数的驻点也是极大值点,极大值为f(e)=,没有极小值.
巩固训练1 解析:函数f(x)的定义域为R.
f′(x)==-.
令f′(x)=0,得x=-1或x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
由上表可以看出,x=-1和x=1是函数的驻点.
x=-1是函数的极小值点,且极小值为f(-1)=-3;
x=1是函数的极大值点,且极大值为f(1)=-1.
例2 解析:(1)f′(x)=3x2+2ax+b,
依题意得即
解得或
但由于当a=-3,b=3时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,不可能在x=1处取得极值,所以不符合题意,应舍去.而当时,经检验知符合题意,故a,b的值分别为4,-11.
(2)f′(x)=3x2+2ax-a+1.函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7既有极大值又有极小值,由二次函数图象可知,只需函数f′(x)有两个零点,即f′(x)=0有两个不同的实数解,
则Δ=4a2+12(a-1)>0,
解得a<或a>.
所以实数a的取值范围是(-∞,,+∞).
答案:(1)4 -11 (2)见解析
巩固训练2 解析:(1)∵f′(x)=3x2+6ax+b,且函数f(x)在x=-1处有极值0,
∴即
解得或
当a=1,b=3时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,此时函数f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去.
当a=2,b=9时,
f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x∈(-∞,-3)时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数;
当x∈(-3,-1)时,f′(x)<0,此时f(x)为减函数;
当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数.
故f(x)在x=-1时取得极小值,
∴a=2,b=9.
(2)f′(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在区间(1,+∞)内有两个极值点,
所以f′(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).
答案:(1)2 9 (2)见解析
例3 解析:因为f(x)=-x3+ax2+b,
所以f′(x)=-3x2+2ax=-3x(x-).a∈[3,4],
令f′(x)>0,即-3x(x-)>0,解得0所以f(x)极大值=f=+b,
f(x)极小值=f(0)=b.
由于对任意a∈[3,4],
函数f(x)在R上都有三个零点,
所以即
解得-因为对任意a∈[3,4],b>-恒成立,
所以b>(-)max=-=-4.
所以实数b的取值范围为(-4,0).
巩固训练3 解析:f′(x)=-3x2+6x+9.
令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.
列表:
所以当x=-1时,f(x)有极小值f(-1)=a-5;
当x=3时,f(x)有极大值f(3)=a+27.
画出大致图象,要使f(x)的图象与x轴只有一个交点,只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2).
所以a+27<0或a-5>0,解得a<-27或a>5.
故实数a的取值范围为a<-27或a>5.

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