1.3.3 三次函数的性质:单调区间和极值 学案(含答案)

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1.3.3 三次函数的性质:单调区间和极值 学案(含答案)

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1.3.3 三次函数的性质:单调区间和极值
(1)能求不超过三次的多项式函数的单调区间和极值.(2)理解函数的最值的概念,了解函数的最值与极值的区别与联系.(3)会用导数求在给定区间上函数的最值.
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 最值的概念
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条________的曲线,那么它必有最大值和最小值.
要点二 函数在区间[a,b]上最值的求法
一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的________;
(2)求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b);
(3)将函数y=f(x)的各________与f(a),f(b)比较,其中最大者是________,最小者是________.
批注  (1)给定的区间必须是闭区间,y=f(x)的图象在开区间上虽然连续不断,但不能保证有最大值或最小值.
(2)在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点也不能保证y=f(x)有最大值和最小值.
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.(  )
(2)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(  )
(3)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.(  )
2.函数y=-x3+6x2(x≥0)的最大值为(  )
A.32 B.27
C.16 D.40
3.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)(  )
A.有最大值,但无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,但有最小值
D.既无最大值,也无最小值
4.函数f(x)=+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是________.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 求三次函数的最值
例1 已知函数f(x)=x3-x2+ax+b,若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1.
(1)求a,b的值;
(2)求函数y=f(x)在[-2,2]上的最小值.
方法归纳
利用导数求函数最值的方法
巩固训练1 求函数f(x)=x3-4x在区间[-3,3]的最大值与最小值.
题型2 由函数的最值确定参数的值
例2 设方法归纳
由函数最值求参数的方法
先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.结合已知求出参数,进而使问题得以解决.要注意极值点是否在区间内.
巩固训练2 若f(x)=ax3-6ax2+b(a>0),x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a、b的值.
题型3 与最值有关的恒成立问题
例3 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
方法归纳
与最值有关的恒成立问题的解题策略
若不等式中含参数,则可考虑分离参数,以避免分类讨论.a>f(x)恒成立 a>f(x)max,a巩固训练3 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意x∈[-1,2],不等式f(x)1.3.3 三次函数的性质:单调区间和极值
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
连续不断
要点二
(1)极值 (3)极值 最大值 最小值
[基础自测]
1.(1)√ (2)× (3)×
2.解析:因为y′=-3x(x-4),所以当0≤x≤4时,y′≥0;
当x>4时,y′<0.
所以函数在[0,4]上单调递增,在(4,+∞)上单调递减,
因此,y=-x3+6x2(x≥0)的最大值为-43+6×42=32.
答案:A
3.解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值.
答案:D
4.解析:由题设,f′(x)=x2+2x-3=(x-1)(x+3),
∴[0,1)上f′(x)<0,f(x)单调递减;(1,2]上f′(x)>0,f(x)单调递增;
∴f(x)在[0,2]上的最小值为f(1)=-7=-.
答案:-
题型探究·课堂解透
例1 解析:(1)由已知可得f(0)=b=1.
又f′(x)=3x2-2x+a,
所以f′(0)=a=-1.
(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+1,f′(x)=3x2-2x-1,
令f′(x)>0,解得x<-或x>1,
所以f(x)在[-2,-)和[1,2]上单调递增,在[,1)上单调递减.
又因为f(-2)=-9,f(1)=0,
所以函数y=f(x)在[-2,2]上的最小值为-9.
巩固训练1 解析:∵f′(x)=x2-4,令f′(x)=x2-4=0得x=±2.
当x变化时,f(x),f′(x)变化如下:
∴f(x)min=f(2)=-,f(x)max=f(-2)=.
例2 解析:f′(x)=3x2-3ax,
令f′(x)=0,得x=0或x=a.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
从上表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(1)>f(-1),
故需比较f(0)与f(1)的大小及f(-1)与f(a)的大小.
因为f(0)-f(1)=a-1>0,
所以f(x)的最大值为f(0)=b,所以b=1.
又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)<0,
所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-a+b=-a,
所以-a=-,所以a=.
故所求函数的解析式是f(x)=x3-x2+1.
巩固训练2 解析:∵f(x)=ax3-6ax2+b(a>0),
∴f′(x)=3ax2-12ax=3a(x2-4x)=3ax(x-4),
令f′(x)=0,得x=0或x=4,
∵x∈[-1,2],∴x=0.
∵a>0,所以f(x),f′(x)随x变化情况如下表:
所以当x=0时,f(x)取最大值f(x)max=f(0)=b,
∵f(x)=ax3-6ax2+b(a>0),x∈[-1,2]的最大值为3,
∴f(x)max=f(0)=b=3.
又∵f(2)=8a-24a+3=-16a+3,f(-1)=-7a+3且a>0,
∴f(2)∴当x=2时,f(x)取最小值f(x)min=f(2)=-16a+3,
∵f(x)=ax3-6ax2+b(a>0),x∈[-1,2]的最小值为-29,
∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2,
综上所述:a=2,b=3.
例3 解析:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),
∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,
即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g′(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(舍).
当t变化时,g′(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在(0,2)上有最大值,g(1)=1-m.
h(t)<-2t+m在(0,2)上恒成立,等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,即等价于1-m<0,
所以m的取值范围为(1,+∞).
巩固训练3 解析:(1)由题设,f′(x)=3x2+2ax+b,
又f′=a+b=0,
f′(1)=3+2a+b=0,解得a=-,b=-2.
(2)由(1),知f(x)=x3-x2-2x+c,
即f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
当x∈[-1,2]时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
∴f(x)在[-1,-)上单调递增,在(-,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,
∴当x=-时,f(-)=+c为极大值,
又f(2)=2+c,则f(2)=2+c为f(x)在[-1,2]上的最大值,
要使f(x)f(2)=2+c,解得c<-1或c>2,
∴实数c的取值范围为(-∞,-1)

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