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5.2.1
实际问题的函数刻画
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典例剖析
例1 某公司设计了一种新型的几何模板.经测算每件产品的直接成本是130元,市场的合适售价是 190元.另外,还投人了15 万元用于研发.显然,这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品,另一方面又要争取获得好的收益.当这种新型几何模板畅销时,怎样计算总收益呢 (销售仓储及维护等环节成本忽略不计)
典例剖析
(1)首先看这个问题涉及的几个因素:
①生产总成本(记作 C元)与产量及单件产品的直接成本、研发费用有关系；
②销售总收(记作 R元)与销售量及销售单价有关系；
③总收益(记作 L元)与生产总成本及销售总收有关系.
其中,销售单价、单件产品的直接成本和研发费用都是定量;当产品畅销时，销售量等于产量,产量是变量,可以设为x件.
解析
典例剖析
(2)再来看上述各因素之间满足的关系:
①生产总成本C与产量x的关系为C=150 000+130x;
②销售总收入R与产量的关系为R=190x;
③总收益L与产量x的关系为L=R-C=60x-150 000(x≥0).
L关于x的函数图象如图 5-6.
解析
典例剖析
从图中清晰可见:产量 2 500 件是关键点,若x＜2 500,则要亏损;若x=2 500,则总收益为0;若x>2 500,则可盈利.
解析
典例剖析
典例剖析
典例剖析
（1）观察表5-2,设脚长(新鞋码)、鞋号(旧鞋码)分别为x,y,将每一对数x,y对应的数对(x,y)用平面直角坐系的点来表示(如图5-7).
解析
可以看出，这些点都在一条直线上，不妨设这条直线为y=kx+b.利用表中任意两组数，
得k=0.2,b=－10.
所以y=0.2x－10.
这就是鞋号关于脚长的函数模型.
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解析
(2)当 y=30时,x=200,即能穿 30 号鞋的女童的脚长不超过200 mm.
(3)当x=262时,y=42.4,即脚长为 262 mm 的女篮球运动员应穿 43 号的鞋.
典例剖析
解析
例3 现有一把椅子,四条腿一样长且四脚连线成正方形,需放在起伏不平但光滑的地面上,问能否将这把椅子四脚同时落地放稳
如图5-8,记这把椅子四脚连线所形成的图形为正方形ABCD,对角线的交点为 O;以点O为旋转中心,初始位置的AC转过角时,记A,C两点与地面距离之和为f (),B,D两点与地面距离之和为 g任意位置的椅子都可以三只脚与地面接触,所以总有 f()·g()=0.记 F()=f()-g(),显然函数 F()的图象是不间断的曲线.
典例剖析
解析
对于初始位置,不妨设 f(0°)=0,g(0°) >0，那么
F(0°)=-g(0°)≤0,椅子旋转 90°，点D转到点A,
g(90°)=f(0°)=0,f(90°)=g(0)≥0,那么F(90°)=f(90°) ≥ 0.
于是,根据函数零点存在定理,可知在区间[0°,90°]上存在a,使得 F(a)=0即f(a)=g(a)=0,所以这把椅子四脚能够同时落地放稳.
典例剖析
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例4 加油站的汽油都存储在地下油槽中,由于比较容易测量槽中油料的高度,因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量.现有一圆柱油槽,横卧地下,其母线呈水平状态,纵截面是圆(如图 5-9),截面圆半径是120cm，圆柱的长是400 cm.从资料可查出圆的形面积与圆面积比例系数表(如表 5-3),它给出了形面积占形所在圆面积的比值 C(k).
其中
典例剖析
为了方便加油站操作人员估计油槽中的油料量,请编制一份油料的液面高度 h(单位：cm)与油料量 V(单位：L)的对照表该表的油料液面高度取值从0开始，最大为 120 cm,间隔12 cm.( π取 3.14,油料量精确到 1 L)
典例剖析
如图5-9,油槽截面的油料液面线为AB,油料液面高度时的油料的面为S(h)依题意知
典例剖析
解析
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解析
V(h)=400S(h).
这里r=120 cm,于是可得到油料的液面高度h 与油料量V的对照表(如表5-4).
实际问题的数学刻画
（1）认真读题，慎密审题.
（2）引进数学符号，建立数学模型.
（3）会用数学结果诠释实际问题，用数学的眼光看待实际问题.
课堂小结
谢谢您的聆听
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