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6.4.1样本的数字特征
北师大版（2019）高中数学必修第一册
第六章 统计
第4节 用样本估计总体的数字特征
导入课题
新知讲授
典例剖析
课堂小结
在统计问题中，当我们抽取了样本(数据)后，根据初中已经学过
的知识，可以计算这组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差等，
它们从不同角度反映了数据的数字特征.
然后，我们就可以用样本的数字特征来估计总体的数字特征.
本节我们就一起来进一步学习样本的数字特征.
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新知讲授
典例剖析
课堂小结
一、数字特征
导入课题
平均数：指一组数据的平均数.
中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列后，中间的那个数据为这组
数据的中位数.
众数：指一组数据中出现次数最多的数据为众数.
极差：数据中最大值和最小值的差为极差.
方差：，其中(＝1,2，…，)是样本数
据，是样本容量，是平均数．
标准差：，其中(＝1,2，…，)
是样本数据，是样本容量，是平均数．
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二、对众数、中位数、平均数的理解
导入课题
对众数、中位数、平均数的理解：
①众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最
常用的量，但有时候，如数据中个别数据特别大或特别小时，用中位
数会更合理．
②众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，
当一组数据中部分数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．
③中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，
中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．
④实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．
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三、对方差与标准差概念的理解
导入课题
对方差与标准差概念的理解：
①标准差、方差描述了一组数据偏离平均数的离散程度．
标准差、方差越大，数据的离散程度越大；
标准差、方差越小，数据的离散程度小．
②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据
没有离散性．
③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，
所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解
决实际问题时，一般多采用标准差．
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四、与数字特征有关的常用结论
导入课题
1，若原数据的平均数为，方差为，
则对于新数据，
其平均数为，
其方差为.
2，频率分布直方图里的中位数：用平行于轴的直线()，把频率分
布直方图分成面积相等的两部分，则即为这组数据的中位数.
具体求法：
①计算各组的频率，找到直线所在的组；
②若组的频率为，组左边的所有组的频率之和为,
③计算中位数.
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五、用样本估计总体的数字特征
导入课题
用样本的数字特征估计总体的数字特征时，
如果抽样的方法比较合理，那么样本可以很好地反映总体的信息。
虽然从样本数据得到的数字特征并不是总体真正的数字特征，只是总体
数字特征的一个估计，但这种估计是合理的。
样本容量越大，样本所包含的总体信息就越多，估计的合理性就越充分.
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教材P168例题
例1 某赛季篮球运动员甲每场比赛的得分情况如下表：
求在该赛季比赛中，这名运动员得分情况的平均数、中位数、众数、极
差、方差和标准差.
平均数(分)，
中位数为35(分)，众数为31(分)和36(分)，极差为50-12=38(分)，
方差，
标准差(分).
解：
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教材P169例题
例2 在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港帆船运动员李丽娜，以
惊人的耐力和斗志，勇夺金牌，实现了香港体育史上奥运金牌零的突破，
这枚金牌能在比赛过程中预测出来吗？
在帆船比赛中，成绩以低分为优胜，共赛11场，并以最佳的9场成绩计算
最终的名次，此次比赛前7场比赛结束后，排名前5位的选手积分如下表：
根据前7场比赛的结果，能否预测谁将获得最后的胜利？
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教材P169例题
分别计算出5位运动员前7场比赛积分的平均数和标准差，作为判
断各运动员比赛的成绩及稳定情况的依据，结果如下表，
从表中可以看出，李丽娜的平均得分和标准差都比其他运动员的
小，即前7场比赛，她的成绩最为优异，而且表现也最稳定.
尽管此时还有4场比赛没有进行，但有足够的理由相信，李丽娜
在后面的4场比赛中，会继续保持优异且稳定的成绩，获得最后
的冠军.
解：
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教材P170例题
例3 有甲乙两名设计运动员，10次设计成绩如下表：
现要从两名运动员中选拔一名参加比赛，根据两名运动员的运动成绩，
该如何进行选拔？
情境1，若10次射击中，前9次都是个人独自训练的成绩，第10
次是教练在场时的成绩，那么作为教练员，就有可能会制定以下
标准来选拔，
标准1，以两名运动员最后一次的射击成绩作为评价标准，选择
最后一次成绩较高的乙参加比赛.(最后成绩：甲9环，乙10环)
解：
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教材P170例题
情境2，若这10次射击成绩是大型比赛选拔赛中的成绩.
那么作为教练员，就有可能会制定以下标准来选拔，
标准2，以两名运动员10次射击成绩的众数作为评价标准，选择
众数较高者乙参赛.(众数：甲9环，乙10环)
标准3，以两名运动员10次射击成绩的中位数作为评价标准，选
择中位数较高者甲参赛.(中位数：甲9环，乙8.5环)
标准4，以两名运动员10次射击成绩的平均数作为评价标准，选
择平均数较高者乙参赛.(平均数：甲8.5环，乙8.6环)
解：
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课堂小结
教材P170例题
情境3，若教练员发现，按上面的标准，两名运动员水平相差不
大，且该运动队的成绩已经超过其它同水平运动队，只要维持目
前状态就能取得冠军，此时教练员需要选择一名运动水平相对稳
定的队员参赛，此时就可能会制定以下标准来选拔.
标准5，以两名运动员10次射击成绩的标准差作为评价标准，选
择标准差较小者甲参赛.(标准差：甲约为0.92环，乙约为1.28环)
值得注意的是，不同的标准，没有对和错的问题，也不存在所谓
唯一解的问题，而是应根据需要选择“好”的决策，至于决策的好
坏，是根据提出的标准来制定的.
解：
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教材P170例题
情境4，若运动队的已经得到不少的银牌和铜牌，最想要再得一
块金牌，那么作为教练员，就有可能会制定以下标准来选拔，
标准6，以两名运动员10次射击成绩的标准差作为评价标准，选
择标准差较大但更有可能获得最高环数者乙来冲击金牌.(得最高
环的次数：甲1次，乙4次)
解：
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课堂小结
练习1：21.报讯：“1997年一2008年，铁路执行儿童票的身高限制为1.1m~1.4m.此次是铁道部第二次修改儿童票限高标准.2008年12月21日，铁道部规定儿童票身高限制调整为1.2m~1.5m，将儿童票上、下限都提高了10cm.这意味着12月21日新规实行后，身高1.2m以下的儿童可免票，身高1.2m~1.5m的儿童可购买半票.”阅读以上材料，请你说说儿童票限高标准的提高可能与什么有关，并借助互联网查阅相关原因.
解：儿童票限高标准提高的原因可能与儿童身高的平均值有关，互联网查阅原因略.
教材P171练习
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课堂小结
思考1：16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，那么其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是(　　)
A．平均数　　 B．众数　 C．中位数　 　 D．方差
解：判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可.
小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．故选：C.
思考探究：众数、中位数、平均数的应用
导入课题
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思考2：某鞋店试销一款新女鞋，销售情况见下表：
如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是(　　)
A．平均数　 　 B．众数　　 C．中位数　 　 D．方差
解：鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数．
故选：B.
思考探究：众数、中位数、平均数的应用
鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41
数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2
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思考3：为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
思考探究：众数、中位数、平均数的应用
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解：(1)人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13(人).
(2)设中位数为x，则0.2＋(x55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.
(3)平均数为0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13；(2)62.5；(3)64.
思考探究：众数、中位数、平均数的应用
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
思考4：一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若
求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别
是(　　).
A．40.6,1.1 B．48.8,4,4 C．81.2,44.4 D．78.8,75.6
思考探究：方差、标准差的应用
导入课题
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典例剖析
课堂小结
思考探究：方差、标准差的应用
导入课题
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课堂小结
思考探究：方差、标准差的应用
导入课题
新知探究
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课堂小结
思考5：一次数学知识竞赛中，两组学生的成绩如下：
经计算，两组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由．
思考探究：方差、标准差的应用
分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
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课堂小结
思考探究：方差、标准差的应用
分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
导入课题
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典例剖析
课堂小结
思考探究：方差、标准差的应用
分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
导入课题
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课堂小结
课堂
小结
本节重点
思想方法
1，用样本的数字特征估计总体的数字特征时，
如果抽样的方法比较合理，那么样本可以很好地反映总体的信息。
虽然从样本数据得到的数字特征并不是总体真正的数字特征，只是总体数字特征的一个估计，但这种估计是合理的。
样本容量越大，样本所包含的总体信息就越多，估计的合理性就越充分.
一，数字特征
二，对众数、中位数、平均数的理解
三，对方差与标准差概念的理解
四，与数字特征有关的常用结论
五，用样本估计总体的数字特征
导入课题
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课后作业
作业1：课本P180 A组T2
谢谢聆听！

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