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6.4.2分层随机抽样的平均数和方差
北师大版（2019）高中数学必修第一册
第六章 统计
第4节 用样本估计总体的数字特征
导入课题
新知讲授
典例剖析
课堂小结
在分层随机抽样问题中，如果知道样本中的每一个数据，就可以
计算出样本的平均数和方差.
但是，如果不知道样本中的每一个数据，只知道分层随机抽样中
各层的平均数和方差，以及各层所占的比例，那么能不能计算出样本
的平均数和方差呢？
本节我们就一起来学习如何计算分层随机抽样的平均数和方差.
导入课题
新知讲授
典例剖析
课堂小结
一、分层随机抽样的平均数
导入课题
分层随机抽样的平均数：
一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为
,和，
则这个样本的平均数为，
为了简化表示，引进求和符号，
记作．
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课堂小结
二、分层随机抽样的平均数和方差
导入课题
平均数公式推导过程：
已知样本的平均数为，样本的平均数为，
若样本和合并成一个新样本，
则这个新样本的平均数为
，
记
则新样本的平均数为，其中、称为权重.
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课堂小结
二、分层随机抽样的方差
导入课题
分层随机抽样的方差：
设样本中不同层的平均数和方差和相应权重分别为
,和和，
则这个样本的方差为，
其中为样本的平均数.
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课堂小结
二、分层随机抽样的方差
导入课题
公式推导过程：作为了解内容，能看懂即可，不要求掌握.
根据方差的定义知，
90名学生方差应为,
但在分层抽样中，
很多时候并不知道和中的每一个数，
因此，我们要对公式进行变形，变形过程如下：
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二、分层随机抽样的方差
导入课题
方差公式推导过程：根据方差的定义知，
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课堂小结
二、分层随机抽样的方差
导入课题
同理，
,
所以
.
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导入课题
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教材P172例题
例4 某公司的高收入员工月平均工资是11000元，中等收入员工月平均
工资是6500元，低收入员工月平均工资是2900元，能否认为该公司员
工的月平均工资收入是元？这样计算平均数的方
法合理吗？
不合理.
若该公司有1000名员工，其中高、中、低收入者分别有50、
150、800人，
由于每一类员工所占的比例不同，特别是高收入者很少，
他们的月平均工资对该公司员工的月平均工资影响较小，
所以上述计算方法不合理.
解：
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教材P172例题
例5 甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭，他们分别在A、B两个网站
查看同一家餐馆的好评率，甲在A网站查到的好评率是98％，乙在B网站查到的好评率是85％，综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这两
家网站的好评率？
设A网站评价该餐馆的人数为，其中给出好评的人数为，
B网站评价该餐馆的人数为，其中给出好评的人数为，
则，，综合A、B两个网站的信息，这家餐
馆的总好评率为，
其中和分别为各自的权重.
当且仅当时，总好评率为.
解：
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教材P172例题
例6 甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人，甲
班的平均成绩为80.5分，方差为500，乙班的平均成绩为85分，方差为
360，那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？
设甲班50名学生和乙班40名学生的成绩分别为和
，则
(分)，，
(分)，，
，，
解：
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教材P172例题
例6 甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人，甲
班的平均成绩为80.5分，方差为500，乙班的平均成绩为85分，方差为
360，那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？
而(分)，
所以全部90名学生的方差
.
导入课题
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练习1：在浙江省和青海省各取面积大小一样的A,B两块区域，分别调查人均可支配收入。获得数据显示，浙江省的A区域的人均可支配收入为35537元，青海省的B区域的人均可支配收入为24542元。能否得到这两个区域的人均可支配收入为(元)？
解：不能.
因为题目条件中并未给出A、B两块区域的人数，A、B两块区域的人数所占比重也不清楚，两块区域面积大小一样，人数不一定相同，因此，简单将A区域人均可支配收入与B区域人均可支配收入相加除以2是不科学的，这种算法仅在A、B两块区域人数相等时才能使用.
教材P171练习
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练习1：某歌手电视大赛中，七位评为为甲、乙两名选手打出了如下分数，甲：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9；
乙：7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0；
(1)若评分规则为“根据7位评委的所有评分，计算选手得分的平均数”，求甲、乙两名选手的最终得分；
(2)若评分规则为“去掉一个最高分和一个最低分后，计算选手得分的平均数”，求甲、乙两名选手的最终得分.
解：(1)，；
(2)，.
教材P173练习
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思考1：某班甲、乙两个小组共18名学生的英语口语测试成绩(单位:分)
如下：
甲组：76　90　84　86　81　87　86　82
乙组：82　84　85　89　79　80　91　89　79　72
(1)哪个小组的成绩高一些？哪个小组的成绩更整齐一些？
(2)求这18名学生英语口语测试成绩的平均分和方差．
思考探究：分层随机抽样的平均数和方差
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思考探究：分层随机抽样的平均数和方差
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思考探究：分层随机抽样的平均数和方差
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思考探究：分层随机抽样的平均数和方差
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课堂小结
思考2：样本中共有五个个体，其值分别为,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，求样本的方差.
思考探究：分层随机抽样的平均数和方差
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
思考3：甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从甲、乙机床生产的零件中分别抽取40件、60件，甲的平均尺寸为10，乙的平均尺寸为12，那么抽取的100件产品的平均尺寸是多少？
思考探究：分层随机抽样的平均数和方差
导入课题
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课堂小结
课堂
小结
本节重点
思想方法
1，计算分层随机抽样平均数的关键是知道样本中不同层的平均数及它们相应的权重，然后运用公式计算即可．
2，计算分层随机抽样方差的关键是知道样本中不同层的平均数、方差及它们相应的权重，然后代入公式计算即可．
一，分层随机抽样的平均数
二，分层随机抽样的方差
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
课后作业
作业1：课本P180 A组T6
谢谢聆听！

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