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引申课本，链接中考
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【课本原型题】（北师九上课本108页11题）如图，将一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形？试说明理由。
命题意图：此题属于折叠问题，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
解：重叠部分是等腰三角形。理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB ，又∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EBD=∠ADB，从而△FBD为等腰三角形。
变式一：（四川内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C＇处，BC＇交AD于E，则下列结论不一定成立的是（　　）
A、AD＝BC＇　　B、∠EBD＝∠EDB　　
C、△ABE∽△CBD　　D、△ABE≌△C＇DE
思路点拨：据图形折叠前后, 对应角相等, 对应边相等可知A正确，B利用上题结论显然也正确。如图∠AEB=∠C＇ED，∠A=∠C＇，AB= C＇D，所以△ABE≌△C＇DE,故D也正确。故本题选C.
变式二：（济南市中考试题）
如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG.
分析 ：折叠后的图形（如图一），
设A点落在BD上的位置为A1，
则 A 点关于直线 DG 的对称点为点 A1，
连结 A1G，（如图二）
可知△ADG ≌ △A1DG，AG = A1G，
AD = A1D。∵矩形ABCD，AB = 2，
BC = 1，∴BD ==，
BA1 = –1，∵∠ BA1G = ∠ A = 90°。
设AG = A1G= X，在Rt△BA1G中，
利用勾股定理列出方程：x2 +(–1)2 = ( 2 – x )2,
∴ x = ，即：AG =.
专家引领
通过变式掌握解决折叠问题的方法---根据轴对称图形的特殊性质利用全等或相似三角形,方程等知识来完成。
跟踪训练　　
1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（　　）
　　A．　　　　　B．
　　C．　　　　　D．8　　
方法1：因为折叠四边形ABCD为矩形纸片，
所以AB=AE=CD=6，DE=3
所以可以求BC=AD= 连结BE,
E是CD中点--->△CBE≌△DAE(SAS)--->BE=AE
又AE=AB，故△ABE是正三角形
AF平分∠BAE=60°，则∠BAF=30° ，设BF=x,则AF=2x,于是，所以，x=，AF=2x=。故选A
方法2:在矩形ABCD中,AB=CD=6,AD=BC,根据折叠可知BF=EF,AB=AE=6,要求AF的长,只要求到EF的长,然后利用勾股定理即可.而求EF的长需要先求到AD的长.
解：由折叠可知AB=AE=6，BF=EF，
因为E为BC的中点，所以DE=CE=3，
在Rt△ADE中，AD=
设BF=EF=x，则FC=-x，
在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，即x2=(-x)2+32,
所以x=2,即BF=2,
在Rt△ABF中,AF=
　2.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）
A．6个　　　B．5个　　C．4个　　D．3个　　答案：B　
3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（　　）
Ａ．20　　　Ｂ．22　Ｃ．24　　Ｄ．30
分析：根据折叠可知BF=PF，CH=PH，要求BC的长，只要求到FH的长即可.求FH的长可利用勾股定理.
解： 由勾股定理得，FH2=FP2+HP2，即FH2=62+82=102，所以FH=10，
所以BC=BP+FH+HC=FP+FH+GH=6+10+8=24.
评注：解决本题的关键是找到BF=PF，PH=CH，将求BC的长度转化为求△FPH的周长.
A
B
C
D
F
E
C
A
B
D
G
A1
D
A
B
C
如图一
G
A1
D
A
B
C
如图二
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