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第一章《三角形》单元测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.）
1．下列说法正确的是（　　）
A．全等三角形对应角相等 B．等腰三角形一边上的中线和这条边上的高重合
C．面积相等的两个图形是全等形 D．周长相等的两个三角形全等
2．下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
3．如图所示，在 ABC中，，点为边的中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中 AOB与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
5.在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ）
A． B． C． D．平分
6.如图，在 ABC中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．是的平分线 C． D．
7．如图，在 ABC中，为边上的中线，于点，，相交于点，连接．若平分，，，则 CDF的面积为（ ）
A． B． C． D．6
8．在 ABC中，，将 ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 ABC中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　）
；平分；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，点 E是的中点，， 平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知 ABC的三边分别为，化简：
12．如图，已知 ABC中，是的角平分线，是边上的高，，那么的度数为 ．
13．如图，在 ABC中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ．
14．如图，是 ABC的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ．
15．如图， ABC中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则 ．
16．如图，在 ABC中，，的平分线相交于点O，过点，且，分别交于点M、N．则的周长为 ．
17．如图，在 ABC中，，，，点P为上一点，点Q为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过的中点，则的长为 ．
18．如图，在中，，，点是边上的点，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，）
19．商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
20．如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接，求证：．
21．已知：如图，为 ABC的外角平分线上的一点，，，求证：(1) ABC是等腰三角形；(2)．
22．如图．四边形的对角线，相交于点，，∠ACB=∠ADB，点在上，．(1)求证：；(2)若，求证：．
23．已知，如图，为等边三角形，，、相交于点
(1)求证：；(2)求的度数；(3)若于，，，求的长.
24．我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明．
（1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：（2）如图②，在 ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则 ADE的周长为________．
（3）如图③，在 ABC中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若， ABC的面积为30，则的最小值是________．
25．下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在 ABC中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在 ABC中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形．
任务：(1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______．
(2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形．
(3)如图3，在等边 ABC中，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接．若，试判断与的位置关系，并说明理由．
26．【阅读理解】
中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形）
（1）如图1，是 ABC的中线，且，延长至点E，使，连接．
①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______；
②若，则的取值范围是______；
【方法运用】运用上面的方法解决下面的问题：（2）如图2，是 ABC的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分．
小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程．
【问题拓展】（3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离．
参考答案
一、选择题
1．A
【详解】解：A、全等三角形对应角相等，故选项正确，符合题意；
B．等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，故选项不正确，不符合题意；
C．面积相等的两个图形不一定是全等形，故选项不正确，不符合题意；
D．周长相等的两个三角形不一定全等，故选项不正确，不符合题意．故选：A．
2．B
【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意；
C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意；故选：B．
3．B
【详解】解：由图可知，∵点为边的中点，，∴，
故选：B．
4．B
【详解】在 APOB与，∵，∴，
∴ APOB与全等的依据是，故选：．
5.B
【详解】解：当时，∵点在上，∴，
∴，∴；故选项A不符合题意；
∵，∴，不能得到；故选项B符合题意；
∵，∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意；故选B
6.D
【详解】解：由作图可得垂直平分，∴，故A选项正确，不符合题意；∴，
又∵，∴，∴，
∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意；
∴，故D选项错误，符合题意；故选：D．
7．C
【详解】解：过F作于G，∵平分，，，∴，
∵为 ABC的边上的中线，∴为的边上在中线，
又∵，∴，故选：C．
8．D
【详解】解：A、如图所示，∵，∴，故A不符合题意；
B、如图所示，∵，∴，故B不符合题意；
C、如图所示，∵，，∴，
又∵，∴，故C不符合题意；
D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意；故选：D．
9．D
【详解】解：∵，∴，∵平分交于，，∴，故正确；如图，过作于点，
∵平分，，∴，∵，∴，
∴点在角平分线上，∴平分，故正确；
∵平分，平分，∴，，
∵，∴，，
∴，，∴，
∵，∴，故正确；
由上得，，∴，，
∴，∴，故正确，
综上可知，正确，共个正确，故选：．
10．A
【详解】解：如图，过E作于F，∵，平分， ∴，

在和中， ， ∴， ∴，，
∵点E是的中点， ∴，∴
在和中，， ∴，
∴，，，故②正确； ∴，故④正确；
∵，∴，故①正确．
∵，∴，故③正确．
综上，四个结论中成立的是①②③④， 故选：A．
二、填空题
11．
【详解】解：∵ ABC的三边分别为，，，，
，故答案为：．
12．
【详解】解：在 ABC中，，∴.
∵是的角平分线，∴．
∵是边上的高，∴，∴，
∴．故答案为：．
13．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：．
14．3
【详解】解：由折叠的性质得：，
∵，∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，故答案为：3．
15．
【详解】解：∵是的角平分线，∴，
∵点在的垂直平分线上，∴，∴，
∵ ABC中，，∴，
∴，∴，故答案为：．
16．19
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
同理，，∴，∵，
∴的周长为，故答案为：19．
17．2
【详解】解：如图，设的中点为，连接，
，， ，的中点为，，
由作图可得，直线是的垂直平分线，恰好经过的中点，，
，，，
是等边三角形，，，．故答案为：2．
18．
【详解】解：连接，∵将沿直线翻折，使点落在边上的点处，
∴，∴，
∴当点三点共线时，取得最小值为，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∵，，∴，
∴，故答案为：9．
三、解答题
19．解：如图，点即为所求．
20．证明：如图，连接、，
，是的中点，，
点是的中点，．
21．（1）证明：∵，，，
为 ABC的外角平分线上的一点，，
，，是等腰三角形；
（2）证明：在和中，，∴，∴．
22．（1）证明：∵，∴，
∵，∠ACB=∠ADB，∴；
（2）证明：∵，∴，
∵，∴，即.
23．（1）证明：是等边三角形，，，
又，．
（2）解：，，
是的外角，，，
是等边三角形，，．
（3）解：，，，
在中，，，，，
，，由（1）知，．
24．（1）证明：在和中，∴，∴；
（2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、，
∴，∴，
∵，∴，即 ADE的周长为24．故答案为：24；
（3）解：在上取点F，使，过点B作于H，
在和中，∴，∴，，
在 APE和中，∴，∴，∴，
当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，
∵， ABC的面积为30，∴，
∴，∴的最小值为．故答案为：．
25．（1）解：∵，∴，
∵，∴，∴，∴ ADE为等腰三角形，
∵，∴，∴，
∴是等腰三角形；故答案为：；
（2）解：过点作于点，如图
，． ，．
．，∴是等腰三角形 ；
（3） 理由如下：过点作交的延长线于点．
答图2为等边三角形，．
，．
为等边三角形．．，即．
，．又，．
26．解：（1）①∵是 ABC的中线，∴，
在和中，∵，∴，故答案为：；
②由可得，
又，∴在中，由三边关系可得：，即，
又，故．故答案为：．
（2）证明：如图2所示，延长至F，使．
在和中，∵，∴．∴，
又∵，，∴，∴，
∵，∴， ∴，
∵，∴．
在和中，∵，∴．∴．故平分．
（3）如图3，延长至点，使得，
在和中，∵，∴．∴，∴．
∵，∴．又，∴，
又∵，∴为等边三角形，，
从而，∴，
在和中，∵，∴．∴，
又∵，∴，故为等边三角形，
∴．设点F到的距离为，∵面积为16.8，∴，
∴，即点F到的距离为．

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