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1.4 《线段垂直平分线与角平分线》
一、单选题
1．我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，在 ABC中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（ ）
A．17 B．16 C．18 D．20
3.如图，点P是 ABC内的一点，若，则（　　）

A．点P在的平分线上 B．点P在的平分线上
C．点P在边的垂直平分线上 D．点P在边的垂直平分线上
4．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在 ABC中，，平分，于点．若，则 ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）：
①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点；
②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
③连接，与相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A．垂直平分 B． C．平分 D．
8．如图，在 ABC中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③若，则；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
10．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ．
11．如图，在 ABC中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若 ADE的周长为，，则的长为 ．
12.如图，在 ABC中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ．
13.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．
14.如图， ABC的三边的长分别是30，40，50，其三条角平分线将 ABC分为三个三角形，则等于 ．
15.如图， ABC中，，角平分线、相交于，，，，则 （用含、的式子表示）
三、解答题
16.如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分．
17.如图，在 ABC中，是 ABC的角平分线．请利用尺规作图法求作一点，使得点到 ABC的三个顶点的距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法）
18.如图，为 ABC的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．(1)求证：垂直平分．(2)若，，，求的长．

19.在 ABC中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知．
(1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______；
(2)在图②中，若，求 ADE的面积；(3)若P是直线上的一个动点，求最小值．
20.如图，在 ABC中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.
(1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若，，则________.
21.综合与实践
【问题提出】如图，在 ABC中，是它的角平分线．对于这一图形，某数学兴趣小组进行了如下探究：分别过点作于，于，运用角平分线的性质可证
得．完成这一证明后，提出一个新的问题：与有什么数量关系呢？
【特例感知】（）如图，若时，______（填“”“”或“”）；
【深入探究】（）如图，当时，（）中的结论还成立吗，写出你的猜想并给予证明；
【结论应用】（）如图，是上的点，连接，若，，，求证：是等腰三角形；（）如图，是 ABC的角平分线，且与相交于，若，，直接写出的值是______．
22.如图， ABC中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．(1)的度数是 ；(2)求证：平分；(3)若，且，求的面积．
参考答案
一、单选题
1．D
【详解】解：A、∵，，∴垂直平分，
∴，∴四边形是筝形；
B、∵，，，∴，∴，∴四边形是筝形；
C、∵，，，
∴，∴，，∴四边形是筝形；
D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形；选：D.
2．D
【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分，，
，故选：D．
3.C
【详解】解：∵，∴P在线段的垂直平分线上．故选C．
4．B
【详解】解：根据基本作图，得平分，故，故C选项正确，不符合题意；
根据基本作图，得，故，故A选项正确，不符合题意；
根据题意，得，故D选项正确，不符合题意；
无法证明，故无法证明，故B选项错误，符合题意；故选：B．
5．A
【详解】过点作，垂足为，，垂足为，
是两把完全相同的长方形直尺，，，，
，，，，
点在这把直尺上的刻度读数分别是，，故选：A．

6．D
【详解】解：过作于，平分，于点．，
又，，的面积为：故选：D．
7．B
【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则有，即选项B正确，其它选项错误．
故选：B．
8．C
【详解】解：设，，
平分交于点，平分交于点，，
，，，；
在中，，故①说法正确，符合题意；
是的角平分线，不是三角形的中线，
与不一定相等，故与不一定相等，故②说法错误，不符合题意；
若，则，∵平分，∴，
∴，，，故③说法正确，符合题意；
如图1所示，在边上取，连接，
平分，，，，，
∵，，，
又平分，∴，，
，，，故④说法正确，符合题意；
过作于，于，∵，∴，
∵，，，
故⑤说法正确，符合题意；综上，说法正确的有①③④⑤，共4个．故选：C．
9．B
【详解】解：∵，∴，，∵，
又∵点在的内部，∴点在的平分线上，则结论①正确；如图，连接，
在和中，，∴，
∴，∴点在的平分线上，结论②正确；
如图，延长至点，使得，连接，则，
在和中，，∴，∴，，
∵点在的平分线上，，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，则结论③错误；
由上已证：，∴，
∴的周长为
，则结论④正确；综上，结论正确的是①②④，故选：B．
二、填空题
10. ABC三条角平分线的交点处
【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在 ABC三条角平分线的交点处．故答案为： ABC三条角平分线的交点处．
11．
【详解】解：∵为线段的垂直平分线，∴，
∵，， ADE的周长为，∴
∴，故答案为：．
12.2
【详解】解：连接，∵平分，，，∴，
在和中，，∴，∴，
∵是的垂直平分线，∴，
在和中，，∴，∴，
又∵，，∴，
整理得：，∴，故答案为：2．
13.11．
【详解】解∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，故答案为：11．
14.
【详解】解：过点作于点，作于点，作于点．
，，是的三条角平分线，，于，，
的三边、、长分别为30、40、50，
．答案：．
15.
【详解】解：在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，如图；
平分，，
，，，，，
平分，，
，，，，
，，，
，，又，
，，，则，
∴．故答案为：．
三、解答题
16.证明：，，，
为的角平分线，，，
在和中，，
，平分．
17.解： 如图，点即为所求．
18.（1）证明：∵AD是 ABC的角平分线，，∴
在与中，∴（HL）∴，
∵，∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵，∴
∵，，∴
19.（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线， 故答案为：垂直平分线，平分线；
（2）解：过点E作于点M，如图．
因为射线是的平分线，，所以，
所以．
（3）解：如图，连接，
因为直线是线段的垂直平分线，所以，，所以，
所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为．
20.（1）证明：如图，连接、，∵，D为中点，∴，
∵，，且平分，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：，证明如下：
在和中，，∴，
∴，由（1）知，∴．即；
（3）解：由（2）知，∵，，∴，
∴，∴，故答案为：2．
21.（）如图，∵，平分，
∴平分，即，∴，故答案为：；
（）成立．证明：设 ABC边上的高为，则，
又∵，∴；
（）∵，，∴，∴，∴，∴，
∵平分，∴，又∵，
∴，∴，∴，∴是等腰三角形；
（）在上取，
∵，∴
∵平分，∴，，
∴，
∴，∴，∴，
∵平分，∴，又∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴是的角平分线，∴，又∵是的角平分线，∴，∴，
∴，∴，∴，故答案为：．
22.（1）解：，，
，，．
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，

平分，，，
由（1）可知，，即平分，，，
又点在的内部，平分．
（3）解：如图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，设，
，，，即，
又，，，
，的面积为．

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