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第八章
　解析几何
教考衔接课3　探究“极点、极线”在高考圆锥曲线中的应用
“极点、极线”是圆锥曲线的一种基本特征，除了人教A版选择性必修第一册P99拓广探索T15研究了有关圆的切点弦方程外，中学数学教材中没有提及极点与极线的相关问题，事实上，以“极点、极线”为背景命制的试题屡见不鲜， 在复习备考中，适当了解一些该方面的知识，可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，快速准确解题．
探究点一　极点、极线的定义与配极原则
定义：对于圆锥曲线C：
Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A，B，C不全为零)．
已知点P(x0，y0)(非中心)及直线l：
Ax0x＋B＋Cy0y＋D＋E＋F＝0，则称点P(x0，y0)是直线l关于圆锥曲线C的极点，直线l称为P点关于曲线C的极线．
配极原则：共线点的极线必共点，共点线的极点必共线．
从形式上看：直线l的方程是在圆锥曲线方程中按照以下置换：
x0x→x2；→xy；y0y→y2；
→x；→y．
探究点二　极点、极线的几何意义(以椭圆为例说明)
设点P(x0，y0)的极线l：＝1，椭圆方程：＝1(a＞b＞0)．
①当点P(x0，y0)在椭圆上时，极线l是以点P为切点的切线．
证明如下：
由y2＝b2知，当y≥0时，y＝b＝．
∴以P(x0，y0)为切点的切线方程为
y＝－(x－x0)＋y0．
整理得＝1，
即此时极线l为过点P(x0，y0)的切线．
②当点P(x0，y0)在椭圆外时，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引切线的切点弦所在直线．
证明如下：
lPA：＝1，
lPB：＝1．
∴
即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足＝1．
极线l：＝1即为切点弦AB所在的直线方程．
③当点P(x0，y0)在椭圆内时，极线l与椭圆相离，极线l为经过点P的弦在两端点处切线交点的轨迹，且极线l与以点P为中点的弦所在直线平行．
证明如下：
A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的切线交于点M(m，n)．
∴lAB：＝1，∴＝1，
即点M(m，n)在直线上．
又∵以P为中点的弦，由点差法知k′＝－＝kl，
即极线与中点弦所在直线平行．
特别地，当点P(x0，y0)在椭圆内时，H(x，y)－H(x0，y0)＝0是点P关于椭圆的中点弦方程(P为弦中点)．
探究点三　自极三角形
椭圆E：＝1(a＞b＞0)内接四边形ABCD，对角线AC与BD交于点N，分别延长AD，BC，BA，CD交于点M，P，则△PMN叫自极三角形，若N点为极点，则直线MP是它的极线；若M点为极点，则直线PN是它的极线；若点P为极点，
则直线NM是它的极线．
【真题示例·领悟高考】
(2020·全国Ⅰ卷) 已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
分析：(1)由已知可得，A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1)，即可求得＝a2－1，结合已知即可求得a2＝9，问题得解．
(2)思考切入点一：
利用自极三角形定义，设四边形ADBC的对角线交于极点N(t，0)，则＋0＝1，
∴x＝＝6，t＝，N．
设P(6，y0)，可得直线AP的方程为y＝(x＋3)，联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C的坐标为，同理可得点D的坐标为，即可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得y＝，命题得证．
思考切入点二：
如图，点P在直线x＝6上运动，PA与PB是椭圆的两条割线，且与椭圆的交点构成四边形ACBD．该四边形的两条对角线AB与CD的交点就是直线x＝6所对应的极点．x＝6关于椭圆＋y2＝1的极点为，而AB固定，则CD过定点．
同学们根据分析自己尝试解答吧！
谢 谢！

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