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第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布
第3课时　随机事件与概率
[考试要求]　1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
2．理解事件间的关系与运算．
3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．
链接教材·夯基固本
1．样本空间与样本点
(1)样本点：随机试验E的每个可能的__________称为样本点，常用ω表示．
(2)样本空间：____________的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
基本结果
全体样本点
2．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)随机事件：_________________称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件?(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．
样本空间Ω的子集
3．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 ______
相等关系 B?A且A?B ______
并事件 (和事件) A与B至少一个发生 ____________
交事件 (积事件) A与B同时发生 __________
A?B
A＝B
A∪B或A＋B
A∩B或AB
含义 符号表示
互斥(互 不相容) A与B不能同时发生 __________
互为对立 A与B有且仅有一个发生 __________，_________
A∩B＝?
A∩B＝?
A∪B＝Ω
4．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有________；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性______．
5．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝．
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
有限个
相等
6．概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝___________．
P(A)＋P(B)
1－P(B)
性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为??A?Ω，所以0≤P(A)≤1．
性质6：(一般概率加法公式)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝___________________________．
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
7．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
(3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
稳定于
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的． (　　)
(2)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件． (　　)
(3)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生． (　　)
(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件． (　　)
×
×
√
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P235练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是(　　)
A．至少有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
B　[“至多有一次中靶”的对立事件是“两次都中靶”．]
2．(人教A版必修第二册P238例9改编)袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
√
B　[]
3．(人教A版必修第二册P247习题10.1T13改编)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为(　　)
A．0.9 B．0.3
C．0.6 D．0.4
√
D　[设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件是“该射手在一次射击中不小于8环”．
∵事件包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的，
∴P＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，
∴P(A)＝1－P＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4．]
4．(人教A版必修第二册P245练习T1改编)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．
(1)如果B?A，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝__________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝__________，
P(AB)＝__________．
0.4　
0.2　
0.6
0　
(1)0.4　0.2　(2)0.6　0　[(1)因为B?A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2．
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝P(?)＝0．]
考点一　随机事件与样本空间
[典例1]　(1)同时投掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是
(　　)
A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6
典例精研·核心考点
√
(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(　　)
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
√
(1)D　(2)B　[(1)事件A包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点．故选D．
(2)对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．故选B．]
名师点评　1．求样本空间中样本点个数的方法：
(1)列举法；(2)树状图法；(3)排列组合法．
2．互斥事件与对立事件的关系
对立事件是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．
3．判断事件关系时，一可以紧扣定义，二可以将所有试验结果列出，三可以借助Venn图．
[跟进训练]
1．(1)(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断正确的是(　　)
A．A与D为对立事件
B．B与C是互斥事件
C．C与E是对立事件
D．P(C∪E)＝1
√
√
(2)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件
√
√
(1)AD　(2)AB　[(1)当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；
当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；
显然A与D是对立事件，A正确；
C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确．
(2)对于C，概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，错误；
对于D，两个事件概率和为1，这两个事件不一定是对立事件，故D错误．]
考点二　随机事件的频率与概率
[典例2]　如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时 间(分钟) 10～ 20 20～ 30 30～ 40 40～ 50 50～
60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为＝0.44．
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
所用时间 (分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1．
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2．
名师点评　计算简单随机事件的频率或概率的步骤
提醒：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概率和等于1，用间接法求概率，即“正难则反”的思想，常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
[跟进训练]
2．(1)(多选)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种)，结果如表所示：
总人数 食用大米套餐人数 食用面食人数
1 000 550 260
假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”为事件N，“吃米线、汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则下列结论正确的是(　　)
A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26
C．P(H)＝0.19 D．P(N∪H)＝0.65
(2)设A，B是随机事件，且P，则P＝________．
√
√
√
　
(1)ABC　(2)　[(1)用频率估计概率得P(M)＝＝0.55，P(N)＝＝0.26，P(H)＝＝0.19，故A，B，C正确； P(N∪H)表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D错误．
(2)因为P，所以P，
故P．]
【教用·备选题】
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．
一次购物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件及
以上
顾客数/人 x 30 25 y 10
结算时 间/(min/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．
解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．则顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝．
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝，
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为．
考点三　古典概型
[典例3]　(1)(2025·江苏常州模拟)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A． B．
C． D．
√
(3)(2025·福建泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8．将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为________．
(1)A　(2)B　(3)　[(1)从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种情况，
其中数字之和为5的倍数的有：
(1，4)，(2，3)，(4，6)，共3种情况，
所以所求的概率为．故选A．
(2)画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为．故选B．
(3)由题意可知所有可能情况共有83种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，
可以按照公差为－3，－2，－1，0，1，2，3分类，其中公差为－3，－2，－1和3，2，1的结果数对应相等．
公差为0的有共8种结果；
公差为1的有共6种结果，同公差为－1的；
公差为2的有，(4，6，8)共4种结果，同公差为－2的；
公差为3的有共2种结果，同公差为－3的；
所以三个数恰好构成等差数列的概率P＝．]
名师点评　利用公式法求解古典概型问题的步骤
提醒：若样本点个数不多，要列出样本空间，若样本点个数多，用排列组合方法求．
[跟进训练]
3．(1)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)
A． B．
C． D．
(3)(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为________．
√
(1)A　(2)D　(3)　[(1)设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表：
乙 甲　 A B C D E F
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) (B，E) (B，F)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) (C，E) (C，F)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) (D，E) (D，F)
E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，E) (E，F)
F (F，A) (F，B) (F，C) (F，D) (F，E) (F，F)
共36种情况．其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为．故选A．
(2)从2至8的7个整数中随机取2 个不同的数，共有＝21(种)不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，
故所求概率P＝．
故选D．
(3)从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为＝56，
因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，
则抽出的3张卡片上的数字之和应为18，
则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5，共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点共3个，
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为．]
【教用·备选题】
班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[根据题意，画出树状图如图所示．
由图可知，共有24种等可能的结果，其中A，B两位同学座位相邻的结果有12种，故A，B两位同学座位相邻的概率是．故选A．]
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、单项选择题
1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
课后作业(五十九)　随机事件与概率
B　[由题意知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
2．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(　　)
A．64个 B．640个
C．16个 D．160个
C　[因为市场上食用油合格率为80%，所以市场上食用油不合格率为1－80%＝20%．又市场上的食用油大约有80个品牌，所以不合格的食用油品牌大约有80×20%＝16(个)．故选C．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
3．(2024·湖南学业考试)某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，则该志愿者选择甲社区的概率为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
A　[因为某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，共有四种选择方法：甲、乙、丙、丁，所以该志愿者选择甲社区的概率为．故选A．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
4．在手工课上，老师将5个环(颜色分别为蓝、黑、红、黄、绿)分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学加工制作，每人分得一个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”(　　)
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥但不是对立事件
D．不是互斥事件
题号
4
2
3
5
6
8
7
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13
1
14
15
C　[甲、乙不可能同时得到红环，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红环，即事件“甲或乙分得红环”不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
5．(2024·广东汕头二模)袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
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12
13
1
14
15
D　[18组随机数中，满足条件的有221，132，112，241，142，
所以估计恰好抽取三次就停止的概率P＝．故选D．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
6．(教材改编)甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始，在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率为(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
C　[记事件A＝“甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8”，两个人各有6种不同的下法，故共有36个样本点，事件A包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，共有2＋2＋1＝5(个)样本点，所以P(A)＝．]
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
√
14
15
7．(2024·浙江金华十校联考)袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个是白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记A＝“第一次摸到红球”，B＝“第二次摸到红球”，则以下说法正确的是(　　)
A．P(A)＋P(B)＝P(A∩B)
B．P(A)·P(B)＝P(A∪B)
C．P(A)＝P(B)
D．P(A∪B)＋P(A∩B)<1
题号
2
4
5
3
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6
8
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10
11
12
13
1
14
15
C　[P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝P(B)，C正确； P(A∩B)＝，则P(A)＋P(B)≠P(A∩B)，A错误；
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝，则P(A)·P(B) ≠P(A∪B)，B错误； P(A∪B)＋P(A∩B)＝>1，D错误．故选C．]
题号
2
4
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3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
√
14
15
8．(2025·湖南长沙模拟)将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是(　　)
A． B．
C． D．
题号
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1
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B　[将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，共有＝24(种)放法，
恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有＝6(种)放法，4个凹槽与其放入小球编号相同的有1种放法，
所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是P＝．故选B．]
题号
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1
√
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二、多项选择题
9．(2024·河北沧州一模)某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是(　　)
A．A与D是互斥事件 B．B与E是对立事件
C．E＝C∪D D．A＝C∩E
√
√
题号
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ABC　[根据题意，依次分析选项：
对于A，事件A与事件D不会同时发生，A与D是互斥事件，A正确；
对于B，事件B：至少参加两种科普活动，其对立事件为至多参加一种科普活动，B正确；
对于C，事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，E＝C∪D，C正确；对于D，C∩E＝C，D错误．故选ABC．]
题号
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10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
所需时间/分钟 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
题号
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√
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则下列说法正确的是(　　)
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．线路一所需的平均时间比线路二少
C．如果要求用不超过40分钟的时间从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
√
题号
9
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BD　[“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平均时间比线路二少，所以B正确；线路一所需时间不超过40分钟的概率为0.7，线路二所需时间不超过40分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正确．]
题号
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√
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11．(2025·河南郑州模拟)素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对．其中当k＝1时，称为“孪生素数”，k＝2时，称为“表兄弟素数”．在不超过40的素数中，任选两个不同的素数p，q(pA．P B．P
C．P>P D．P√
√
题号
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ABC　[由题设，不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12个，
从中任意取两个不同的素数p、q：
p＝2有11个；p＝3有10个；p＝5有9个；
p＝7有8个；p＝11有7个；p＝13有6个；p＝17有5个； p＝19有4个；p＝23有3个；p＝29有2个；p＝31有1个；所以共有11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝66(个)样本点；
A＝{(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，(29，31)}共5个样本点；
B＝{(3，7)，(7，11)，(13，17)，(19，23)}共4个样本点；
题号
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C＝{(2，3)，(2，5)，(3，5)，(3，7)，(5，7)，(7，11)，(11，13)，(13，17)，(17，19)，(19，23)，}
共11个样本点；
所以P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
显然P≠P故选ABC．]
题号
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三、填空题
12．已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ________．
　
题号
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　[甲选2个去参观，有＝6(种)，乙选2个去参观，有＝6(种)，共有6×6＝36(种)，
若甲、乙恰有一个馆相同，则选定相同的馆有＝4(种)，然后从剩余3个馆中选2个进行排列，有＝6(种)，共有4×6＝24(种)，则对应概率P＝．]
题号
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13．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
　[根据题意，从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝＝70(种)结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12(种)，故所求概率P＝．]
　
题号
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四、解答题
14．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费/元 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
题号
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随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如表所示的统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
题号
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(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55．
题号
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(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3．
(3)由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a．
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a．
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
题号
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15．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
题号
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以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
最高 气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
题号
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解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6．
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
题号
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若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝
－100．
所以Y的所有可能值为900，300，－100．
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．
谢 谢！

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