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(共61张PPT)
第一章
集合、常用逻辑用语、不等式
第2课时　常用逻辑用语
[考试要求]　
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．
2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
链接教材·夯基固本
若p q，则p是q的____条件，q是p的____条件
p是q的__________条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 __________
p是q的充要条件 ____
p是q的________________条件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
p q且q p
p q
既不充分也不必要
提醒：p是q的充分不必要条件(p q且q p)，与p的充分不必要条件是q(q p且p q)两者是不同的．
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“__”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“__”表示．


3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ____________ ____________
否定 ______________ ______________
提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
x∈M，p(x)
x∈M，p(x)
x∈M， p(x)
x∈M， p(x)
[常用结论]
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
(1)p是q的充分不必要条件 A?B；
(2)p是q的必要不充分条件 A?B；
(3)p是q的充要条件 A＝B；
(4)p是q的既不充分也不必要条件 A与B没有包含关系．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件． (　　)
(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件． (　　)
(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题． (　　)
(4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词． (　　)
×
√
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P31练习T1改编)已知命题p： n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定为(　　)
A． n∈N*，n2≤n－1　 B． n∈N*，n2C． n∈N*，n2≤n－1 D． n∈N*，n2√
C　[由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p： n∈N*，n2>n－1的否定 p为“ n∈N*，n2≤n－1”．故选C．]
2．(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为(　　)
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
√
B　[因为 a＞b， a＜b，所以ac＞bc a＞b，
而由a＞b ac＞bc，所以“ac＞bc”是“a＞b”的既不充分也不必要条件，故A，C错误．又 a＝b， a＝b，所以由ac＝bc a＝b，由a＝b ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故B正确，D错误．故选B．]
3．(多选)(人教A版必修第一册P30例4(1)改编)已知命题p： x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(　　)
A．p是真命题 B． p： x∈R，x＋2>0
C． p是真命题 D． p： x∈R，x＋2>0
√
√
CD　[当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p： x∈R，x＋2≤0的否定为 p： x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误； p是真命题，故C正确．]
4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围为___________．
[3，＋∞)
考点一　充分、必要条件
考向1　充分、必要条件的判定
[典例1]　(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件
B．“a>b”是“<”的充要条件
C．若P，Q为非空集合，“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件
D．“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件
典例精研·核心考点
√
√
√
ACD　[对于A，由a>b ac2>bc2(c＝0时不成立)，由ac2>bc2 a>b，则“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，A中命题是真命题；
对于B，若a>0，b<0，则由a>b得不到<，B中命题是假命题；
易知C，D中命题是真命题，故选ACD．]
【教用·备选题】
1．(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
C　[根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．
故选C．]
2．(2025·江苏扬州模拟)已知集合A＝，B＝{1，a＋1，a－1}，则“a＝1”是“A B”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
B　[当a＝1时，A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则A B；
反之，当A B时，a＋1＝0或a－1＝0，解得a＝－1或a＝1．
若a＝－1，A＝{0，1}，B＝{0，1，－2}，满足A B，若a＝1，显然满足A B，
因此a＝－1或a＝1，所以“a＝1”是“A B”的充分不必要条件．故选B．]
考向2　充分、必要条件的探求
[典例2]　(1) “ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　)
A．－10
C．－1(2)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．a＝－1 B．a＝b
C．b＝1 D．ab＝1
√
√
√
(1)D　(2)AC　[(1)ln (x＋1)<0等价于0因为－1(2)由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故选AC．]
考向3　充分、必要条件的应用
[典例3]　请在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”中任选一个，将序号补充在横线处，并解答．
已知集合A＝，B＝，
且x∈A是x∈B的________条件，判断实数m的值是否存在，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解]　由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝，
由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m，
所以B＝．
若选择条件①，则集合A是B的真子集，得且等号不
能同时取得，解得m≥4．
当m＝4时，B＝，A?B，符合题意．
若选择条件②，则集合B是A的真子集，得且等号不能同时取得，解得0当m＝3时，B＝，则B?A，符合题意．
若选择条件③，则集合A＝B，得无解，所以不存在
满足条件③的实数m．
名师点评　(1)充分条件、必要条件的判定方法：定义法、集合法．
(2)探求充分条件、必要条件要分清题干的条件和结论，如“p的充分条件是q”等价于“q p是真命题”．
(3)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时需注意区间端点值的检验．
[跟进训练]
1．(1)(2025·山西朔州模拟)设a，b∈R，则“a<1且b<1”是“a＋b<2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
(2)(多选)(2024·山西太原模拟)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(　　)
A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是－2C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4
√
√
(3)(2025·浙江台州模拟)若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数．
①若x∈A是x∈B的充要条件，则b＝________；
②若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则b的取值范围是_________．
(1)A　(2)BC　(3)①　②　[(1)若a<1且b<1，则a＋b<2，即充分性成立；
若a＋b<2，例如a＝1，b＝0，满足a＋b<2，
但不满足a<1且b<1，即必要性不成立；
综上所述，“a<1且b<1”是“a＋b<2”的充分不必要条件．故选A．
(2)对于A，当a＝2时，x2＋2x＋5＝0，此时Δ＝22－4×1×5＝
－16<0，
方程没有实数根，故A错误；
对于B，方程无实数根的充要条件是Δ＝a2－4×1×(a＋3)<0，
即－2所以方程无实数根的一个充分条件是{a|－2显然－2对于C，方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得a>6，故C正确；
对于D，方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得a<－3，故D错误．
故选BC．
(3)①由已知可得A＝B，
则x＝2是方程bx＝1的解，解得b＝．
②若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B，
所以所以b＞，
则b的取值范围是．]
考点二　全称量词与存在量词
考向1　含量词命题的否定
[典例4]　(1)命题p的否定为“ x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为(　　)
A． x<0，x＋2>2x
B． x≥0，使得x＋2>2x
C． x<0，x＋2≤2x
D． x≥0，使得x＋2≤2x
(2)命题“素数的立方是素数”的否定是_____________________________．
√
存在一个素数，它的立方不是素数
(1)C　(2)存在一个素数，它的立方不是素数　　[(1)因为命题p的否定为“ x<0，使得x＋2>2x”，所以命题p为“ x<0，x＋2≤2x”．
故选C．
(2)命题的否定为存在一个素数，它的立方不是素数．]
考向2　含量词命题的真假判断
[典例5]　(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题 B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题 D． p和 q都是真命题
√
B　[对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题，综上， p和q都是真命题．故选B．]
考向3　含量词命题的应用
[典例6]　若命题p：“ x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是___________．
(－4，0)
(－4，0)　[法一：若p为真命题，即 x∈R，x2－mx－m≤0，
∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≥0或m≤－4，
∴当p为假命题时，－4法二：∵p为假命题，∴ p： x∈R，x2－mx－m>0为真命题，
即Δ＝m2＋4m<0，∴－4名师点评　含量词命题的解题策略
(1)要判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的取值范围，一是直接由命题的真假求参数的取值范围；二是利用等价转化，根据命题与命题的否定之间的关系求参数的取值范围．
(3)全称量词命题对应恒成立，存在量词命题对应能成立．
[跟进训练]
2．(1)命题p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则对命题p的真假判断和 p正确的为(　　)
A．真命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根
B．假命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根
C．真命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根
D．假命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根
(2)若命题“ x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是_____________．
√
(1)A　(2)　[(1)在一元二次方程x2－ax－1＝0中，Δ＝a2＋4>0恒成立，故对任意a∈R，方程都有实根，故命题p为真命题． p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根．故选A．
(2)若“ x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定“ x∈，使λx2＋x－2≤0”为真命题，即λ≤．令f (x)＝＝2－，
由x∈，得∈，所以f (x)min＝f (4)＝－，所以λ≤－．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2025·山东潍坊期中)命题“所有能被3整除的整数都是质数”的否定是(　　)
A．存在一个能被3整除的整数不是质数
B．所有能被3整除的整数都不是质数
C．存在一个能被3整除的整数是质数
D．不能被3整除的整数不是质数
13
课后作业(二)　常用逻辑用语
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
12
13
A　[命题“所有能被3整除的整数都是质数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是质数”．故选A．]
2．(2024·河北保定二模)设x∈R，则“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题号
1
3
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10
11
12
13
√
A　[由|x－2|<1可得－1所以由1由|x－2|<1推不出1所以“1故选A．]
3．已知全集U和它的两个非空子集A，B的关系如图所示，则下列命题正确的是(　　)
A． x A，x∈B　　　
B． x A，x B
C． x∈B，x A
D． x B，x∈A
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
12
√
13
B　[由题图可知B A，且A，B为非空集合，
则根据子集的定义可得：
对于A， x A，x∈B错误；
对于B， x A，x B正确；
对于C， x∈B，x A错误；
对于D， x B，x∈A错误．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
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11
12
13
4．(人教A版必修第一册P28练习T2改编)下列命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
题号
1
3
5
2
4
6
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7
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10
11
12
√
13
B　[A中，锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中，当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中，因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中，对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2025·福建龙岩期中)命题“ x∈[1，2]，x2＋ln x－2a≤0”为假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．(－∞，0)
C．(－∞，ln 2＋2) D．(－∞，ln 2＋4)
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[因为命题“ x∈[1，2]，x2＋ln x－2a≤0”为假命题等价于“ x∈[1，2]，x2＋ln x－2a>0”为真命题，
所以 x∈[1，2]，2a所以只需2a<(x2＋ln x)min．
设f (x)＝x2＋ln x，x∈[1，2]，
则f (x)在[1，2]上单调递增，所以f (x)min＝1．
所以2a<1，得a<，即实数a的取值范围为，故选A．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
6．(2024·山东烟台二模)已知p：1<2x<4，q：x2－ax－1<0，若p是q的充分不必要条件，则(　　)
A．a≥ B．0C．a>2 D．013
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
A　[命题p：1<2x<4，即p：0因为p是q的充分不必要条件，
显然当x＝0时满足q：x2－ax－1<0，
所以当0则a>x－在0又函数f ＝x－在(0，2)上单调递增，且f (2)＝，所以a≥．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
二、多项选择题
7．(2024·重庆三模)命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．m>－2 B．m>－1
C．m＞0 D．m>1
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
CD　[由题意，存在x>0，使得mx2＋2x－1>0，
即m>＝－2×＝－1，
当－1＝0，即x＝1时，的最小值为－1，故m>－1，所以命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m＞－1}的真子集，结合选项可得，C和D项符合条件．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(2025·福建古田期中)已知命题p： x∈[0，]，a≥x2，命题q： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p与命题q一真一假，则实数a的可能值为(　　)
A．5 B．
C． D．4
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
AC　[如果p为真q为假，对于 x∈[0，]，a≥x2，有a≥3，对于 x∈R，x2＋4x＋a＝0为假命题，
则 x∈R，x2＋4x＋a≠0为真命题，即Δ＝42－4a<0，a>4，所以当p为真q为假时，a>4；
如果p为假q为真，则 x∈[0，]，使得aq为真，则Δ＝42－4a≥0，a≤4，所以a<3；
综上，p和q一真一假，则a<3或a>4，
对于A，5>4，可以；对于B，3<<4，不可以；对于C，>＝4，可以；对于D，不可以．故选AC．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2024·山东潍坊二模)已知命题p： x∈[－1，1]，x2>a，则 p为___________________．
13
x∈，x2≤a
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2025·湖南长沙模拟)已知命题“ x∈(0，＋∞)，ex>ax＋1”为真命题，写出符合条件的a的一个值：___________________．
13
－1(答案不唯一)
－1(答案不唯一)　[ x∈，ex>1，
当a<0时， x∈(0，＋∞)，ax＋1<1，则a可取任意负数，如－1．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．若命题：“ a，b∈R，使得a－cos b≤b－cos a”为假命题，则a，b的大小关系为(　　)
A．ab
C．a≤b D．a≥b
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
B　[由题意，命题的否定“ a，b∈R，使得a－cos b>b－cos a”为真命题，
即a＋cos a>b＋cos b，
设f (x)＝x＋cos x，则f ′(x)＝1－sin x≥0，
所以f (x)是R上的增函数，
所以由f (a)>f (b)可知a>b，
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．已知f (x)＝ax2＋bx＋1，有下列四个命题：
p1：x＝是f (x)的零点；
p2：x＝2是f (x)的零点；
p3：f (x)的两个零点之和为1；
p4：f (x)有两个异号零点．
若只有一个假命题，则该命题是(　　)
A．p1 B．p2
C．p3 D．p4
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[由题意，若p1，p2是真命题，则p3，p4均为假命题，不合题意，故p1，p2中必有一个假命题．
若p1是假命题，p2，p3是真命题，则f (x)的另一个零点为x＝－1，此时p4为真命题，符合题意；
若p2是假命题，p1，p3是真命题，则f (x)的另一个零点为x＝，此时p4为假命题，不符合题意．
故选A．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13．已知f (x)＝x2，g(x)＝－m．若 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是_____________．
13
　[当x∈[0，3]时，f (x)min＝f (0)＝0；当x∈[1，2]时
＝g(2)＝－m．
由f (x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥．]
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