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(共59张PPT)
第一章
集合、常用逻辑用语、不等式
第3课时　不等式的性质
[考试要求]　
1．掌握不等式的性质，并能简单应用．
2．会比较两个数的大小．
1．比较实数a，b大小的基本事实
作差法
链接教材·夯基固本
2．不等式的性质
性质1　对称性：a>b ______；
性质2　传递性：a>b，b>c ______；
性质3　可加性：a>b ______________；
性质4　可乘性：a>b，c>0 __________；a>b，c<0 __________；
性质5　同向可加性：a>b，c>d ______________；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 __________；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)；
性质8　同正可开方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2)．
ba>c
a＋c>b＋c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
[常用结论]
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<<(b－m>0)，
即真分数越加越大，越减越小；
(2)假分数性质：<<(b－m>0)，
即假分数越加越小，越减越大．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＞b，则ac2＞bc2． (　　)
(2)若>1，则b>a． (　　)
(3)若>，则b(4)若a×
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则(　　)
A．M＞N　　　　 B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
√
A　[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N．故选A．]
2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水变淡了．下面式子可以说明这一事实的是(　　)
A．＜ B．＞
C．＜ D．＜
√
A　[向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为，此时浓度变小，糖水变淡，即＜，故选A．]
3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空．
(1)如果a＜b，c＞d，那么a－c________b－d；
(2)如果a＜b＜0，那么________；
(3)如果c＞a＞b＞0，那么________．
＜
＜
＞
4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1则a－b的取值范围是___________．
(－6，5)　[∵－3又－1(－6，5)
考点一　数(式)的大小比较
[典例1]　(1)若a<0，b<0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．pC．p>q D．p≥q
(2)若正实数a，b，c满足c＜cb＜ca＜1，则(　　)
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
典例精研·核心考点
√
√
(1)B　(2)C　[(1)p－q＝－a－b
＝＝(b2－a2)·＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0．
又(b－a)2≥0，所以p－q≤0．
综上，p≤q．故选B．
(2)∵c是正实数，且c＜1，∴0＜c＜1．
由c＜cb＜ca＜1，即c1＜cb＜ca＜c0，
得0＜a＜b＜1，
∵＝aa－b＞1，∴ab＜aa．
∵＝，0＜＜1，a＞0，
∴＜1，即aa＜ba．
综上可知ab＜aa＜ba，故选C．]
【教用·备选题】
1．若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．aC．c√
B　[法一(作差法)：
a－b＝＝＝＞0，
b－c＝＝＝＞0，所以a＞b＞c．
法二(作商法)：
易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，所以a＞b；＝＝log6251 024＞1，所以b＞c．即c＜b＜a．
法三(单调性法)：
对于函数y＝f (x)＝，y′＝．
易知当x＞e时，函数f (x)单调递减．
因为e＜3＜4＜5，
所以f (3)＞f (4)＞f (5)，即c＜b＜a．]
2．若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>b>a D．b>c>a
√
A　[因为a－c＝＝＝>0，所以a>c．
c－b＝＝，
因为(2)2－(2)2＝4－9＝>0，
且2>0，2>0，所以2>2，所以c－b>0，所以c>b．故a>c>b．故选A．]
名师点评　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
(4)找中间量比较大小(如1，－1，0，2，…)．
[跟进训练]
1．(1)设a＝，b＝，c＝－2，则a，b，c的大小关系是
(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．b>c>a
(2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为_____________．
√
aabb>abba
(1)C　(2)aabb>abba　[(1)b＝＝，c＝－2＝，
∵>＋2，∴<，
∴b又a－c＝＝>0，故a>c．
则a>c>b．故选C．
(2)因为＝＝，
又a>b>0，故>1，a－b>0，
所以>1，即>1，
又abba>0，所以aabb>abba．]
考点二　不等式的性质
[典例2]　(1)(多选)(2024·湖南长沙二模)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　)
A．c2C．ac0
√
√
(2)下列说法正确的是(　　)
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若>，则aC．若a＋b>0，c－b>0，则a>c
D．若a>0，b>0，m>0，且a
√
(1)AD　(2)D　[(1)对于A，由0>c>d和不等式性质可得c2对于B，因为a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故B错误；
对于C，因为a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故C错误；
对于D，因为a>b>0，则0<<，又因为0>c>d，则0<－c<－d，
由不等式的同向同正可乘性得，－<－，故>0，故D正确．故选AD．
(2)对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误；
对于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，则满足>，但不满足a对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b>0，c－b>0，但不满足a>c，故C错误；
对于D，若a>0，b>0，m>0，且a0，
所以＝＝>0，即>，故D正确．故选D．]
名师点评　判断不等式正误的常用方法
(1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件．
(2)利用特殊值法排除错误不等式．
(3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．
[跟进训练]
2．(多选)(2024·安徽淮北一模)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>c，则a＋b>c
B．若a>b>|c|，则a2>b2>c2
C．若a
D．若a>b>c>0，则<
√
√
BD　[当b为负数时，A可能不成立，例如－2>－3>－4，但－2＋
(－3)>－4是错误的；
因为a>b>|c|≥0，根据不等式性质可得a2>b2>c2，故B正确；
因为a0，所以a即<<0，因为c＜0，所以>>0，故C错误；
因为a>b>c>0，所以＝＝<0，
所以<，故D正确．故选BD．]
【教用·备选题】
1．(多选)已知实数a，b，c满足0A．>　　　　 B．>
C．> D．ab＋c2>ac＋bc
√
√
√
BCD　[因为0b－a>0，<，故A错误；
因为0＜a＜b＜c，所以＞＞0，c－a＞0，则＞，故C正确；
> > b>a，故C正确；
由糖水不等式的倒数形式， b>a>0，c>0, 则有>，故B正确；
ab＋c2>ac＋bc c(c－b)－a(c－b)>0 (c－a)(c－b)>0，故D正确．故选BCD．]
2．(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　)
A．< B．|a|＋b>0
C．a－>b－ D．ln a2>ln b2
√
√
AC　[由<<0，可知b0，所以<0，>0．故有<，即A正确；B中，因为b－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；C中，因为b－>0，所以a－>b－，故C正确；D中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．故选AC．]
考点三　不等式性质的应用
[典例3]　(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知实数x，y满足－3A．x的取值范围为(－1，2)
B．y的取值范围为(－2，1)
C．x＋y的取值范围为(－3，3)
D．x－y的取值范围为(－1，3)
√
√
√
ABD　[因为－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8．因为－3所以－5<5x<10，则－1因为－3因为－3则－2因为－3则－1名师点评　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围．
提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，如“a＜b，c＜d a＋c＜b＋d”，反之不成立．
[跟进训练]
3．(1)已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为(　　)
A．(1，3) B．
C．
(2)已知－1＜2s＋t＜2，3＜s－t＜4，则5s＋t的取值范围为________．
√
(1，8)
(1)A　(2)(1，8)　[(1)∵－3＜a＜－2，3＜b＜4，
∴4＜a2＜9，＜＜，
∴1＜＜3，故选A．
(2)设5s＋t＝m(2s＋t)＋n(s－t)，
则5s＋t＝(2m＋n)s＋(m－n)t，
则解得
则5s＋t＝2(2s＋t)＋(s－t)，
因为－1＜2s＋t＜2，所以－2＜2(2s＋t)＜4，
又因为3＜s－t＜4，
所以1＜2(2s＋t)＋(s－t)＜8，即1＜5s＋t＜8，
所以5s＋t的取值范围是(1，8)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2025·河南名校联盟模拟)“a>b>0，c>d”是“ac>bd”的(　　)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
13
课后作业(三)　不等式的性质
√
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[由于c，d的正负性不确定，由“a>b>0，c>d”不能推出“ac>bd”，故充分性不成立；同时当“ac>bd”时也不能推出“a>b>0，c>d”，故必要性也不成立．故选D．]
13
14
2．(2024·北京东城一模)已知a，b∈R，ab≠0，且aA．> B．abC．a3题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
C　[当a＝－2，b＝1时，<，lg |a|>lg |b|，故AD错误；当a＝－2，b＝－1时，ab＝2>1＝b2，故B错误；
对于C，因为a3．已知0＜x＜5，－1＜y＜1，则x－2y的取值范围是(　　)
A．2＜x－2y＜3 B．－2＜x－2y＜3
C．2＜x－2y＜7 D．－2＜x－2y＜7
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
14
D　[由－1＜y＜1，得－2＜－2y＜2，∴－2＜x－2y＜7，故选D．]
4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
14
B　[因为()2－()2＝9＋2－9－2<0，所以<，所以<，即b0，故a>c．综上，a>c>b．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2024·广东广州二模)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b，则>
B．若a>b，c>d，则a－d>b－c
C．若aD．若a>b，则>
13
√
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[对于A，可以取a＝2，b＝1，c＝－1，此时<，所以A错误；
对于B，∵c>d，∴－d>－c，因为a>b，所以a－d>b－c，故B正确；
对于C，取a＝－2，b＝－1时，则a2＝4，ab＝2，b2＝1，则a2>ab>b2，故C错误；
对于D，当a＝1，b＝－1时，＝＝1，则<，故D错误．故选B．]
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为(　　)
A．eπ·πe>ee·ππ　　　 B．eπ·πe＝ee·ππ
C．eπ·πe13
√
14
C　[＝＝，
又0<<1，0<π－e<1，∴0＜<1，
即<1，即eπ·πe题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
二、多项选择题
7．(2025·江苏南京模拟)若a<00，则(　　)
A．>－1 B．<
C．>0 D．<1
13
√
14
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ABD　[对于A，由a＋b>0，可得a>－b，因为b>0，可得>－1，所以A正确；
对于B，由＝－a－b＝－(a＋b)<0，所以<，所以B正确；
对于C，因为a<00，可得＝<0，所以<0，所以C错误；
对于D，因为a<00，可得ab<0，
则＝ab－(a＋b)＋1<1，所以D正确．故选ABD．]
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(2025·浙江嘉兴模拟)已知实数x，y满足1＜x＜6，2＜y＜3，则(　　)
A．3＜x＋y＜9 B．－1＜x－y＜3
C．2＜xy＜18 D．＜＜3
13
√
14
ACD　[实数x，y满足1＜x＜6，2＜y＜3，
由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有3＜x＋y＜9，2＜xy＜18，A，C选项正确；
由－3＜－y＜－2，得－2＜x－y＜4，B选项错误；
由＜＜，得＜＜3，D选项正确．故选ACD．]
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．若－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是___________．
13
14
(－π，0)　[由已知，得－＜α＜，－＜－β＜，所以－π＜α－β＜π，又α＜β，所以α－β＜0，故－π＜α－β＜0．]
(－π，0)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．a，b，c，d均为实数，使不等式＞＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是_________________________________．(只要写出适合条件的一组值即可)
13
14
(2，1，－3，－2)(答案不唯一)　[根据不等式＞＞0和ad＜bc都成立，可知a，b同号，c，d同号，＞＞0 ＞0 ＞0，又ad＜bc ad－bc＜0，由此可知b，d异号，由这些信息可写出适合条件的一组值，如(2，1，－3，－2)．]
(2，1，－3，－2)(答案不唯一)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(多选)(2025·河北石家庄模拟)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．> B．a－c>2b
C．a2>b2 D．ab＋bc>0
13
√
14
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
BC　[对于A，∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，
∴<，A错误；
对于B，∵a>b>c，a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0，∴b＋c＝－a<0，a－b>0，
∴a－b>b＋c，即a－c>2b，B正确；
对于C，∵a－b>0，a＋b＝－c>0，∴a2－b2＝>0，即a2>b2，C正确；
对于D，ab＋bc＝b＝－b2≤0，D错误．故选BC．]
13
14
题号
1
3
5
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4
6
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9
10
11
12
12．某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑．若a≠b，则(　　)
A．甲先到达终点
B．乙先到达终点
C．甲、乙同时到达终点
D．无法确定谁先到达终点
13
√
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[由题意可知对于选手甲，a＋b＝S，则T＝，设选手乙总共用时T′，则对于选手乙，＝T′，则T′＝，
又a≠b，则T－T′＝＝＝＝<0，即T13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13．(多选)(2024·安徽合肥三模)已知实数a，b满足0(　　)
A．< B．a＋b>ab
C．ab13
√
14
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
BCD　[对于A，由00，所以A错误；
对于B，由a＋b－ab＝a＋b(1－a)>0，则a＋b>ab，所以B正确；
对于C，令f (x)＝，可得f ′(x)＝，
当00，f (x)单调递增，
因为0即b ln a所以ab13
14
题号
1
3
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2
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6
8
7
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10
11
12
对于D，由函数g(x)＝2x－在上单调递增，因为0所以2a－2b<－，所以D正确．
故选BCD．]
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
14．实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d那么a，b，c，d的大小关系是__________．(用“＞”连接)
13
14
b>d>c>a　[由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得ad⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a．]
b>d>c>a
谢 谢！